四川省绵阳中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题

2023级数学期末摸考（一） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（ ） A. 100名学生是个体 B. 样本容量是100 C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 1000名学生是样本 2. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 4. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 7. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知一组数据，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则这组数据的众数为1 B. 若，则这组数据的分位数为3 C. 若，则这组数据的平均数的最小值为 D. 若，则这组数据的平均数的最小值为2 10. 以下说法正确的有（ ） A. 若且，则一定有四点共面 B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 C. 若，则 D. 正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上 11. 已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 已知点，则的最小值为 C. D. 若，则与的面积相等 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件M发生的概率为___________. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为___________. 14. 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则___________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． （1）求曲线的方程； （2）记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 16. 黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：为定值. 19. 如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率． （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2023级数学期末摸考（一） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）且； （2）证明见解析； 【16题答案】 【答案】（1）， （2）第二组、第四组的方差是 （3） 【17题答案】 【答案】（1）∵为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，∴． ∵四边形为矩形，平面， ∴，平面， 又平面，∴， 又∵，平面，平面， ∴平面．又平面， ∴平面平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）；；（2）存在，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $