精品解析：四川省2024-2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷

四川省2024—2025学年上学期12月学情检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第一册全册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ） A. 1000株 B. 1200株 C. 1500株 D. 1800株 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为，则（ ） A. B. C. 75 D. 7. 已知，点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知一组样本数据：的平均数为，方差为，现由这组数据衍生得到新的样本数据：，其中，则（ ） A. 新的样本数据的平均数为69 B. 新的样本数据的平均数为65 C. 新的样本数据的方差为270 D. 新的样本数据的方差为360 11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为_______. 13. 已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为_______. 14. 已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）已知圆过点，求圆的方程. 16. 在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响. （1）若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率； （2）若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率. 17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 18. 如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）. （1）若平面，求的值； （2）若，求的值； （3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且. （1）求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程； （2）将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省2024—2025学年上学期12月学情检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第一册全册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ） A. 1000株 B. 1200株 C. 1500株 D. 1800株 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 2. 已知向量，，若，共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得，， 所以. 故选：C. 3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出关于的方程组，求得，再计算离心率． 【详解】，， 依题意，解得，， 则. 故选：C. 4. 已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】判断出两圆的位置关系即可得出圆，的公切线条数. 【详解】由已知得，圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为，故， 而，故圆，相交，有两条公切线. 故选：. 5. 已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 6. 将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为，则（ ） A. B. C. 75 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用频率和为1计算求得，再应用中位数定义计算即可. 【详解】由图可知，解得， 所以前3组的频率和为， 前4组的频率和为， 故在第4组，且. 故选：A. 7. 已知，点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知消去参数可得P在线段上，点Q在圆C：上，根据点到线的距离公式求解即可. 【详解】 对点P，，消去t可得，， 故点P在线段上， 对点Q，，消去可得，， 故点Q在圆C：上， 则. 故选：B. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率. 【详解】如下图： 由可得，即， 又，可得为的中点，故， 又，故为等边三角形， 设的边长为， 由双曲线定义可知，，， 所以，， 又，故，故， 在中，由余弦定理可得， 即，可得 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用向量的差判断A,应用模长公式计算判断B,应用数量积及夹角余弦公式计算判断C,D. 【详解】依题意，，故A正确； ，故B错误； ，故，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知一组样本数据：的平均数为，方差为，现由这组数据衍生得到新的样本数据：，其中，则（ ） A. 新的样本数据的平均数为69 B. 新的样本数据的平均数为65 C. 新的样本数据的方差为270 D. 新的样本数据的方差为360 【答案】BC 【解析】 【分析】由平均数和方差的定义及性质即可求解. 【详解】依题意，所求平均数为，方差为. 故选：BC. 11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，设直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理即可求解；对于，由弦长公式求解即可；对于，由求解即可；对于，由中点坐标公式可得，所以，当和分别求解即可. 【详解】 依题意直线的斜率不为0，， 设直线：，联立， 则，则，故A正确； 又，， ， 解得， 故直线的斜率为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故直线的倾斜角为或，故C正确； ，而，故， 当时，易知， 当时，，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为_______. 【答案】30 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，然后计算结合下四分位数定义即可求解. 【详解】将数据按照从小到大排列可得20，30，50，70，90，120， 因为，故下四分位数为30. 故答案为：30. 13. 已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以N为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴，过点N与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为等边三角形，所以面积为，所以，， 则，，，所以， 则，， 则直线，所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）已知圆过点，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段AC的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）仿照（1），求出线段的垂直平分线的方程，再将两线段的中垂线方程联立，依次求出圆心和半径，即得圆的方程. 【小问1详解】 依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即； 【小问2详解】 仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即， 由解得：， 即圆心为，圆的半径为：, 故圆的方程为：. 16. 在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响. （1）若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率； （2）若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可； 【小问1详解】 记男生答对第个问题为事件，女生答对第个问题为事件，仅有一位代表答对问题为事件M， 则， 故仅有一位代表答对问题的概率为. 【小问2详解】 记女生代表答对问题个数多于男生代表为事件N， 则 ， 故女生代表答对问题个数多于男生代表的概率为. 17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即得双曲线的焦点坐标，再利用双曲线的定义求出，进而，即可解答； （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，当时，直线与渐近线平行，与与双曲线仅有1个交点符合题意，当时，利用判别式法列方程求解，即可解答. 【小问1详解】 抛物线C：的焦点坐标为， 设双曲线：， 则的焦点坐标为，， 则，则， 而，故， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点； 设直线的方程为， 联立则， 故， 若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点； 若，则，解得. 综上所述，直线的斜率为或. 18. 如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）. （1）若平面，求的值； （2）若，求的值； （3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得，再利用中位线的性质即可得解； （2）由题意结合面面垂直的性质定理可得、、两两垂直，即可建立适当空间直角坐标系，设，即可表示出、，再利用空间向量数量积公式计算即可得，即可得解； （3）表示出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得，即可得解. 【小问1详解】 由平面，平面平面，平面， 故，又为线段的中点，故为线段的中点，即. 【小问2详解】 由，则，则， 由，，则， 因为，故， 又二面角为直二面角，故平面平面， 由平面平面，，平面， 故平面，又平面，故， 即有，，两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 即，，， 设，则， 若，则，解得， 即，故. 【小问3详解】 由（2）得，，，， 则， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， ， 令，则有，，，， 即可取，， 由平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 则有， 整理得，解得或， 即或，故或. 19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且. （1）求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程； （2）将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：. 【答案】（1）， （2）存在，且，理由如下： 由的方程为，则曲线的方程为， 假设存在该点，其为定值， 令，则有， 则， ， 则有，整理得， 令，解得或（舍去）， 故存在，即定点，使得为定值； （3） 设、， 由，消去可得， ，即， ，， ， 令，则， 同理可得， 则 ， 即线段中点坐标为，则，故. 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合两点间距离公式计算即可得椭圆方程，再借助伴随圆定义即可得伴随圆方程； （2）得到方程后，假设存在该定点，设为定值，，利用两点间距离公式表示出、，则可由，得到方程，再令，解出即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再求出直线，即可得，同理可得，则可结合韦达定理得到线段中点为定点，再由几何性质即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得，则， 即椭圆C的方程为，伴随圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于由、得到线段中点坐标，从而利用几何性质证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $