精品解析：广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期人教版期末数学试题模拟卷

广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题模拟卷（问卷） （本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 一元二次方程二次项系数和常数项分别是（ ） A. 1， B. 2， C. ， D. ， 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 7. 2020年11月24日中国探月工程嫦娥五号在我国文昌航天发射场发射成功，目前已完成两次轨道修正，两次近月制动，11月30日完成轨返组合体与着上组合体受控分离，12月1日择机实施动力下降，软着陆于月球正面预选区域．关于嫦娥奔月，中国古代有很多流传至今的美丽神话，相传很久很久以前，嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑，由于一次疫情影响，其中一只兔子生病了，嫦娥让她的好友章离子带去看医生，章离子去领兔子时恰好嫦娥不在月宫，章离子就随机带了一只兔子去看医生，请问章离子所带的兔子恰好是生病的兔子的概率是（） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点B在圆上，交于点D，连接，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，现将绕点逆时针旋转后能与重合，已知，则长度为_____． 12. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是_____． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____． 14. 抛物线部分图象如图所示，对称轴是直线，则关于的一元二次方程的解为____． 15. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为__（结果保留π）． 16. 如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 19. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移个单位得到，画出． （2）将以点为位似中心放大倍得到，在网格中画出． 20. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 21. 如图，是的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，．求证：直线是的切线． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 23. 在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12 （1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值； （2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值． 24. 如图1，在中，，点分别是边 的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，记旋转角为α． （1）①当时，＝________；②当时，＝________； （2）当时，过点D作于点M，过E作于点N，请在图2中补全图形，并求出值． （3）当时，若点O为的中点，求在旋转过程中长的最小值． 25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点． （1）求点坐标和抛物线的解析式； （2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题模拟卷（问卷） （本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ） A. 1， B. 2， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟知根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式直接进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程的二次项系数为2，常数项为， 故选：B． 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标． 【详解】解：当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点，掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键． 4. 如图所示，在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长． 【详解】解：连接OA，如图： ∵AB＝16，OC⊥AB， ∴ACAB＝8， 在Rt△OAC中，OC6． 故选：B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以得到△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的性质即可求出CD的长度． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， 而CD为AB边上的高， ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴CD2=AD•BD， 又AD=4，BD=8， ∴CD=4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键证明三角形相似解决问题． 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 7. 2020年11月24日中国探月工程嫦娥五号在我国文昌航天发射场发射成功，目前已完成两次轨道修正，两次近月制动，11月30日完成轨返组合体与着上组合体受控分离，12月1日择机实施动力下降，软着陆于月球正面预选区域．关于嫦娥奔月，中国古代有很多流传至今的美丽神话，相传很久很久以前，嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑，由于一次疫情影响，其中一只兔子生病了，嫦娥让她的好友章离子带去看医生，章离子去领兔子时恰好嫦娥不在月宫，章离子就随机带了一只兔子去看医生，请问章离子所带的兔子恰好是生病的兔子的概率是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握等可能事件概率的性质，从而完成求解．根据等可能事件概率的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵嫦娥在月宫养了5只兔子，她们分别叫大白，二白，三白，小白和小黑， 又∵其中一只兔子生病了， ∴随机带了一只兔子，恰好是生病兔子的概率是， 故选：A． 8. 如图，为的直径，点B在圆上，交于点D，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，等边对等角，关键是根据直径和垂直得出的度数．连接，得出的度数，进而得出的度数，利用互余解答即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，明确题意、利用二次函数的性质以及数形结合的思想是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断即可解答． 详解】解：抛物线开口向下，则， 对称轴为，即， 抛物线与y轴交在正半轴，， 故，故①正确， 抛物线的对称轴是，则，故，故②正确； ∵与轴的一个交点坐标为， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，所以③正确； ∵当时，此时，即该函数取得最大值， ∴点在该抛物线上，则，故正④确； ∵由图象可得，抛物线的顶点的纵坐标大于4， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确． 综上，正确的有①②③④⑤，共5个． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，现将绕点逆时针旋转后能与重合，已知，则长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等式的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由是等腰直角三角形可得，由旋转的性质可得，，利用等式的性质可得，即，然后利用勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， ， 即：， ， 故答案为:． 12. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．有一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正形区域（含边）的概率是_____． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：大正方形的边长为：， 总面积为20， ∵阴影区域的边长为2， ∴面积为2×2=4； 故飞镖落在阴影区域的概率为 故答案为:． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长． 13. 某商品原价元，连续两次涨价后，售价元．若平均增长率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，列出方程，求解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 14. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，则关于的一元二次方程的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程的解，本题得以解决． 【详解】由图象可得， 抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线， 则抛物线与轴的另一个交点为（-3，0）， 即当时，，此时方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为__（结果保留π）． 【答案】3π 【解析】 【分析】首先连接OC，OE，分别交BD，DF于点M，N，易证得S△OBM=S△DCM，同理：S△OFN=S△DEN，则可得S阴影=S扇形OCE． 【详解】 解：连接OC，OE，分别交BD，DF于点M，N， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠BOC=60°，∠BCD=∠COE=120°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠OCD=∠OCB， ∵BC=CD， ∴∠CBD=∠CDM=30°，BM=DM， ∴∠OBM=30°，S△DCM=S△BCM， ∴∠OBM=∠CBD， ∴OM=CM， ∴S△OBM=S△BCM， ∴S△OBM=S△DCM， 同理：S△OFN=S△DEN， ∴S阴影=S扇形OCE==3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识以及扇形的面积公式．注意证得S阴影=S扇形OCE是关键． 16. 如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6﹣2 【解析】 【分析】由扇形的面积计算公式结合三角形、平行四边形的面积计算公式计算即可. 【详解】解：如图 连接OB,过C点做OB的垂线，垂足为E点， 由四边形OABC为菱形，∠MON=60°，可得∠COB=∠BOA=∠COA=， 可得, 在RT△OCE中，OC=2, ∠COB=,可得CE=1,OE=,则OB=,即圆的半径为， 可得：==， =， , , 阴影部分的面积即为四边形ABDN的面积， 由BD∥AN,AB∥DN, 可得四边形ABDN为平行四边形， 过点B做BF⊥AN,可得BF=， , 故阴影部分的面积为. 【点睛】本题主要考查扇形的计算公式、三角形和平行四边形的面积公式，综合性较强，需综合运用所学知识求解. 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】观察方程左右两边可知，整理后含有公因式，故用因式分解法求解即可． 【详解】 ∵， ∴，即 故或， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础的计算题考查，难度不大．解题的关键是观察到公因式，采用因式分解法求解． 18. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 19. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移个单位得到，画出． （2）将以点为位似中心放大倍得到，在网格中画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（）先找到对应点，然后顺次连接即可； （）先找到的对应点，然后顺次连接即可； 本题主要考查了画平移图形，画位似图形，熟知掌握作图方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∴即为所求． 20. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可； （2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可； （3）画出表格或树状图，然后计算概率即可 【详解】解：（1）（件） （2）12-2-5-2=3，补充作图如下： （3）列表如下： 由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为 【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键， 21. 如图，是的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边对等角，连接，证明得出，由等边对等角得出，从而得出，推出，由平行线的性质得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 【答案】（1）降价10元；（2）每件商品降价20元时，每日利润最大，最大利润为1800元 【解析】 【分析】（1）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可； （2）根据题意，可以得到利润与降价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：（1）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元， 由题意得：(50-x)(20+2x)=1600， 整理得：x2-40x+300=0， ∴(x-10) (x-30)=0， ∴x1=10，x2=30， ∵每件盈利不少于25元， ∴x2=30应舍去． 答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元； （2）设每件商品降价m元，销售利润为w元， w=(50-m) (20+2m)=-2(m-20)2+1800， ∴当m=20时，w取得最大值，此时w=1800， 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．还考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23. 在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12 （1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值； （2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值． 【答案】（1）；（2）54． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可； （2）根据EH＝KD＝x，得出AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），再根据S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+54，可得当x＝6时，S有最大值为54． 【详解】解：（1）∵△AEF∽△ABC， ∴， ∵边BC长为18，高AD长为12， ∴＝； （2）∵EH＝KD＝x， ∴AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x）， ∴S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+54. 当x＝6时，S有最大值为54． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标． 24. 如图1，在中，，点分别是边 的中点，连接．将绕点C逆时针旋转，记旋转角为α． （1）①当时，＝________；②当时，＝________； （2）当时，过点D作于点M，过E作于点N，请在图2中补全图形，并求出的值． （3）当时，若点O为的中点，求在旋转过程中长的最小值． 【答案】（1）①2；②2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①当时，在中，由勾股定理求出的值，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的值；②如图1，当 时，由旋转的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； （2）通过证明，可得，，通过证明，可得 ； （3）由勾股定理可求的长，由点O在以C为圆心，长为半径的圆上，则当点O在时，有最小值． 【小问1详解】 解：（1）①∵ ∴＝， ∵点D、E分别是边的中点， ∴， ∴． 故答案为2． ②当时，如图1：将绕点C逆时针旋转得到，连接 ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故答案为2． 【小问2详解】 解：如图2，分别过点作，垂足分别为 ∵ ， ∴，且， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接 ∵O是 中点， ∴ ∴ ∵在旋转过程中绕着点C旋转， ∴点O在以C为圆心，长为半径的圆上， ∴当点O在时，有最小值， ∴此时． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，交轴于点． （1）求点的坐标和抛物线的解析式； （2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的边时，求点的坐标． 【答案】（1），抛物线的解析式为； （2）； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）先求出直线的解析式为，设，则，然后即可求出，再由二次函数的性质即可求解； （）设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，由点在线段的垂直平分线上，则，，求出，则点的纵坐标为，设的坐标为，得出，然后解一元二次方程即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，一元二次方程解法，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，最大，此时，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴轴， 由（2）知，直线的解析式为，由（1）可知：抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为， 设的坐标为， ∴， ∴ ， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$