精品解析：广东省汕头市2024-2025学年高三上学期12月期末教学质量监测数学试题

试卷类型：A 汕头市2024—2025学年度普通高中毕业班教学质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷选择题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知选项A、D为全称量词命题，令可得选项B正确，根据二次根式的概念可得选项C错误. 【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题. 当时，，选项B为真命题. 当时，，选项C为假命题. 故选：B. 2. 若，则 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，得复数的模，代入根据复数相等的条件得方程组，解之可得选项. 【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 3. 已知平面向量满足：，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再代入向量的模长公式求解. 【详解】已知，两边同时平方可得：. 展开得到：. 因，则，上式化为：，即. . 故选：A. 4. 我们研究成对数据的相关关系，其中，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案. 【详解】由可知前9个点在直线上. ∵， ∴要使相关性最强，应更接近10，四个选项中 最接近 . 故选：B. 5. 某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（ ） A. 100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B. 100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C. 100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D. 100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为求出的值，再分别求出100户居民的月均用水量的中位数，平均数，极差等即可判断. 【详解】由频率分布直方图可知， ， 解得， 对于A，月均用水量在的频率为， 月均用水量在的频率为， 所以100户居民的月均用水量的中位数在，故A错误； 对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2的用户的频率为 ， 所以100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例为，故B错误； 对于C，由图知，极差的最大值为，最小值为， 所以100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间，故C正确； 对于D，100户居民的月均用水量的平均值为 t，故D错误. 故选：C. 6. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得 的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合 ，解得 ， 所以C的方程为． 故选：B． 7. 已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 148 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合异面直线所成角，根据正四棱台的底面面积求侧棱长，再求正四棱台的高，继而可得正四棱台的体积. 【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为， ， 所以上、下底面边长分别为，． 如图，过点作于点，则． 因为，所以与所成的角为， 所以，得． 设该正四棱台上、下底面的中心分别为， ，连接，，， 易得， ，过作于点 ，则 ， ． 所以该正四棱台的体积． 故选： . 8. 设函数，若 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求出 的值，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，，，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则， 当时，，，此时，； 当时， ，，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是椭圆 C. 若，则曲线是双曲线 D. 若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又， 所以， 则曲线为， 则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，则（ ） A. 若，且，则 B. ，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 C. 当时，函数恰有三个零点，且，则 D. 若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由周期为 判断；对于B，由平移变换得到，再由求解判断；对于C，由函数，令，求解判断；对于D，令，由求解判断. 【详解】因为，所以周期， 对于A，由条件知，周期为 ，所以，故A错误； 对于B，函数图象左移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于原点对称，则，解得，， 又，所以，B正确； 对于C，函数， 令，，可得：，. ，令，可得一条对称轴方程为， 令，可得一条对称轴方程为， 函数恰有三个零点， 可知，关于其中一条对称轴是对称的，即， ，关于其中一条对称轴是对称的，即， 那么，C正确； 对于D，令， 由在上恰有2个极大值点和1个极小值点， 得，解得，故D正确， 故选：BCD. 11. 将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】若函数 逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数 的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点，依次判断选项. 【详解】若函数 逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数， 则函数 的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点. 对于，设，则， 则 为上的单调递减函数，即方程只有一解， 所以与只有一个交点，故符合题意，A正确； 对于 ，设， , 则 在有零点，即方程不只有一解， 所以 与多个交点，不符合题意，B错误； 对于，设， 显然为上减函数，当时，， 即所以与只有一个交点，故符合题意，C正确； 对于，设， 则， 显然在和上各有零点， 即所以与有多个交点，故不符合题意，D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：若函数 逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数 的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点. 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据成等差数列求出公比，再根据等比数列通项公式求出. 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或 （公比不为，舍去 ）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 13. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点 ，若，则双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线定义可得，再由可得，在中利用余弦定理可得，从而求出渐近线. 【详解】根据题意，由切线性质，，， 所以，则，且， 由余弦定理得， 解得，又，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为 的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 ，则山高_________m.（结果用d、、 、 表示） 【答案】 【解析】 【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得． 【详解】设山高，则，延长 交于 ，如图， 则，因此，，， ， 在中由正弦定理得， 所以， 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 人可以在2小时内完成各科作业，求 的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算 的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【小问1详解】 设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. 【小问2详解】 样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有 （人），其中可以在2小时内完成的有3人， 的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴ 的分布列为： ∴. 【小问3详解】 由题意得，， ∴. 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. （1）求直线的方程； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，根据求出的范围，将转化为点到 的距离和点到 的距离之比，即可求出的值. （2）联立方程求出点的坐标，表示的面积，利用余弦定理及椭圆的定义表示的面积，根据面积相等可求结果. 【小问1详解】 由得. ∵直线与交于两点， ∴，解得. 设到 的距离为，到 的距离为， 由题意得，，则， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为. 【小问2详解】 由题意得，. 设，则. 由得，解得， ∵点在第一象限，∴，， ∴. 在中，由余弦定理得，, ∴，∴， ∴， ∴，即. 17. 如图，平面四边形中，，，点 为 中点，于，将 沿翻折至 ，使得. （1）证明： 平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质得到一些垂直关系，再利用平行关系和已有的垂直关系推出更多垂直关系，最后根据线面垂直的判定定理得出结论. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出面的法向量，结合向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为 由 翻折而成，且， 根据翻折的性质，翻折前后对应边和对应角不变，所以. 已知，所以 因为，，所以 ， 又因为，即，，平面，所以 平面 【小问2详解】 由（1）知 平面，平面，所以 ， 又，.可求得. 又.则.则. 则两两垂直，可以建立空间直角坐标系. 平面的法向量可取. 点 为 中点，则，， 则.则， 则 点 为 中点，则，则. 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 设平面与平面的夹角为 ，则 . 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）证明曲线是轴对称图形； （2）设函数，解不等式（ 是自然对数的底数）. 【答案】（1） 由得或，所以函数的定义域为， 因为， ， 所以，所以关于对称， 即曲线是轴对称图形； （2） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明； （2）写出函数并求导，令 ， ，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 则， 令， 则 ， 令， 则 ，所以在单调递增， 所以 ，即，所以在单调递增， 所以 ，即，所以在单调递增， 又， 则，即，所以 ， 所以不等式的解集为. 19. 设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. （1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； （2）设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； （3）对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 【答案】（1） （答案不唯一）； （2）证明见解析； （3）是无理数. 【解析】 【分析】（1）既是等差数列又是等比数列的数列是非0常数列，由此可得； （2）用反证法证明其中任意三项都不可能成等比数列； （3）在（2）的提示下， 是无理数是其充分条件，利用反证法得是无理数时，假设其为等比数列不成立． 【小问1详解】 既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列， 如 ，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列； 【小问2详解】 若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列， 下证的任意三项不能构成等比数列， 假设，其中且， 因为公差，所以， 从而， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等， 所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列， 从而的任意子列不是等比数列； 【小问3详解】 若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列， 设的公差为 ，则 ，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件． 假设，其中且， 因为， 所以， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，有理数， 所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列， 故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． 【点睛】方法点睛：在证明数列无穷等差数列的任意子列不可能是等比数列时，考虑其中任意三项（成等比数列的数列的最小项数）不能成等比数列，由于题中条件较少，因此用反证法，可以把等比数列作为一个条件进行推导，根据是有理数与无理数不可能相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 汕头市2024—2025学年度普通高中毕业班教学质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷选择题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知平面向量满足：，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 我们研究成对数据的相关关系，其中，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 13 5. 某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（ ） A. 100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B. 100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C. 100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D. 100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 6. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 148 D. 8. 设函数，若 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示两条直线 B. 若，则曲线是椭圆 C. 若，则曲线是双曲线 D. 若，则曲线的离心率为 10. 已知，则（ ） A. 若，且，则 B. ，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 C. 当时，函数恰有三个零点，且，则 D. 若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 11. 将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 13. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点 ，若，则双曲线的渐近线方程为___________. 14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为 的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 ，则山高_________m.（结果用d、、 、 表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 人可以在2小时内完成各科作业，求 的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 人可以在3小时内完成各科作业，求. 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. （1）求直线的方程； （2）求. 17. 如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将 沿翻折至 ，使得. （1）证明： 平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）证明曲线是轴对称图形； （2）设函数，解不等式（ 是自然对数的底数）. 19. 设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. （1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； （2）设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； （3）对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $