第02讲 二次根式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第一章 数与式 第02讲 二次根式（4~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 常见二次根式化简的10种技巧 技巧一 数形结合法 技巧二 估值法 技巧三 公式法 技巧四 换元法 技巧五 拆项法 技巧六 整体代入法 技巧七 因式分解法 技巧八 配方法 技巧九 辅元法 技巧十 先判断后化解 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02 二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 10年4考 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 近10年连续考查 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 近10年连续考查 考点一 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 1．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 2．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 4．化简二次根式的结果等于 ． 考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．计算的结果是 ． 2．计算的结果是 ． 3．计算： ． 4．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 5．估计的值应在 （    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 命题点一 二次根式的概念 题型01二次根式有意义的条件 【例1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式1 -1】要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A．0 B． C． D． 【变式1 -2】若代数式在实数范围内有意义，x应满足的条件是 ． 【变式1 -3】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型02最简二次根式 【例2】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式2 -1】最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ． 题型03判断同类二次根式 【例3】下列各式中与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式3 -1】与是同类二次根式，符合条件的a的值可以是（　　） A．12 B．14 C． D．24 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01利用二次根式的性质化简 【例1】若﹣1＜x＜0，则﹣＝（　　） A．2x+1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1 【变式1 -1】如果，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -2】下列等式正确的是（　　） A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3 题型02 常见二次根式化简的10种技巧 技巧一 数形结合法 方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标. 【例2】实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】实数在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为(     ) A．-1 B．1-2m C．1 D．2m-1 技巧二 估值法 方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围. 【例3】估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式3 -1】估计2﹣4的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 技巧三 公式法 方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解. 【例4】已知：，则化简的结果是 ． 【变式4 -1】计算：． 【变式4 -2】计算：． 技巧四 还原法 方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解. 【例5】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算： ； (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求 的值． 技巧五 拆项法 方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项. 【例6】观察下列等式： ①； ②； ③ …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算： ． 【变式6 -1】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 技巧六 整体代入法 方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入. 【例7】问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和 利用根与系数的关系得： _____；_____；… 请你根据小刚的思路完整地解答本题． 【变式7 -1】阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，∴，∴．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，则代数式的值为______． 技巧七 因式分解法 方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果. 【例8】已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式8 -1】设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 技巧八 配方法 【例9】已知，那么的值等于 ． 【变式9 -1】若a＝1+，b＝1﹣，则代数式的值为 . 【变式9 -2】已知.则xy=（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 技巧九 辅元法 方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值. 【例10】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 技巧十 先判断后化解 【例11】已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则 ． 【变式11 -1】已知，，则的值为 ． 【变式11 -2】若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 【例1】下列对于二次根式的计算正确的是(   ) A． B．2＝2 C．2＝2 D．2＝ 【变式1 -1】下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．（2a）2＝4a C． D． 【变式1 -2】计算（+1）2019•（﹣1）2018的结果是（　　） A． +1 B．﹣1 C． D．1 【变式1 -3】下列运算正确的是（　　） A． B． C．x﹣x= D．（﹣2）（+2）=﹣1 【变式1 -4】下列计算正确的是（　　） A．2a﹣3a＝a B．（a3）2＝a6 C． D．a6÷a3＝a2 【变式1 -5】下列计算正确的是（　　） A．a2+a2=2a4 B．（2a）2=4a C． D． 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. 题型02 二次根式的加减运算 【例2】在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】计算的结果为 ． 【变式2 -2】计算： 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 题型03 二次根式的混合运算 【例3】计算的结果估计在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【变式3 -1】估计的运算结果最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3 -2】估计的运算结果应在（  ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【变式3 -3】计算的结果等于 ． 【变式3 -4】计算． （1）（1﹣π）0＋|﹣|﹣＋（）﹣1； （2）（﹣2）2＋＋6． 题型04 二次根式的化简求值 【例4】如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 【变式4 -1】先化简再求值：，其中x＝． 【变式4 -2】已知，求代数式的值． 【变式4 -3】先化简，再求值：，其中． 题型05 二次根式的应用 【例5】已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5 -1】如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）． 【变式5 -2】阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 基础巩固 一、单选题 1．要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A．0 B． C． D． 2．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 5．若在实数范围内有意义：则实数的取值范围是 ． 6．要使式子 在实数范围有意义，则x的取值范围为 ． 7．要使分式有意义，则应满足的条件是 ． 8．使成立的条件是 ． 9．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ． 10．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为 ． 11．计算： ． 12．计算 的结果是 ． 三、解答题 13．计算： 14．计算： (1)； (2)． 15．计算：（结果保留带分数形式）． 16．计算：． 17．计算：． 18．计算：． 19．先化简，再求值：，其中． 能力提升 一、单选题 1．估计2﹣4的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．以下变形正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 4．若，则x的取值范围为 ． 5．若，为实数，，则的平方根是 ． 6．将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 7．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ． 8．观察下列等式：； ； ； …… 根据以上规律，计算 ． 三、解答题 9．计算：． 10．计算：． 11．计算： 12．先化简，再求值：，其中． 13．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． $$第一章 数与式 第02讲 二次根式（4~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 常见二次根式化简的10种技巧 技巧一 数形结合法 技巧二 估值法 技巧三 公式法 技巧四 换元法 技巧五 拆项法 技巧六 整体代入法 技巧七 因式分解法 技巧八 配方法 技巧九 辅元法 技巧十 先判断后化解 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02 二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 10年4考 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 近10年连续考查 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 近10年连续考查 考点一 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式. 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 1．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：， 解得：x≥﹣2且x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式和二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义， 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 2．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A.，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 命题点一 二次根式的概念 题型01二次根式有意义的条件 【例1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 【变式1 -1】要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】要使二次根式有意义，则， ∴四个选项中，只有选项A中的0满足题意， 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【变式1 -2】若代数式在实数范围内有意义，x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1 -3】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型02最简二次根式 【例2】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴x+3＝2x， 解得：x＝3， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式2 -1】最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ． 【答案】21 【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ， 解得，， ∴ 故答案为21. 题型03判断同类二次根式 【例3】下列各式中与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义“化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解． 【详解】解：.与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； .，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； .，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； .，与是同类二次根式，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟知同类二次根式的定义是解题关键． 【变式3 -1】与是同类二次根式，符合条件的a的值可以是（　　） A．12 B．14 C． D．24 【答案】C 【分析】将各选项中a的值代入化简，再根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：a＝12时，=＝2， a＝14时，=， a＝时，=＝， a＝24时，=＝2， 其中，与是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，确定是否是同类二次根式的前提条件是要把二次根式先化简、再根据同类二次根式的概念来判断．掌握以上技巧，是解题的关键． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01利用二次根式的性质化简 【例1】若﹣1＜x＜0，则﹣＝（　　） A．2x+1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【详解】解：∵﹣1＜x＜0， ∴x+1＞0 ∴﹣ ＝﹣x﹣（x+1） ＝﹣x﹣x﹣1 ＝﹣2x﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简法则正确计算是本题的解题关键． 【变式1 -1】如果，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 【变式1 -2】下列等式正确的是（　　） A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 题型02 常见二次根式化简的10种技巧 技巧一 数形结合法 方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标. 【例2】实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图示，可得：-1＜a＜0＜1＜b，据此化简即可． 【详解】解：由数轴可得：-1＜a＜0＜1＜b， ∴ = = = 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式2 -1】实数在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为(     ) A．-1 B．1-2m C．1 D．2m-1 【答案】B 【分析】根据化简即可． 【详解】由题意m＜0，1-m＞0， 原式=-m+1-m=1-2m． 故选B. 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，实数与数轴等知识，熟练掌握公式是解决问题的关键． 技巧二 估值法 方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围. 【例3】估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】直接利用估算无理数的方法估算出的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的化简，正确得出的取值范围是解题关键． 【变式3 -1】估计2﹣4的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】找出与24接近的开方开的尽的数，根据被开方数越大算术平方根越大，求解即可． 【详解】 ， ， 即： ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了无理数的估值，二次根式性质化简，求出无理数的范围是关键． 技巧三 公式法 方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解. 【例4】已知：，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式4 -1】计算：． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键． 【变式4 -2】计算：． 【答案】21 【分析】先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、化简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键． 技巧四 还原法 方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解. 【例5】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算： ； (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求 的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据分母有理化的步骤逐项化简，再把分母提出来，括号内合并再计算即可求解； （）先对进行分母有理化，再求出和，代入到中计算即可求解； （）设，，则，利用完全平方公式由可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了分母有理化、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或（不合，舍去）， ∴． 技巧五 拆项法 方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项. 【例6】观察下列等式： ①； ②； ③ …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算： ． 【答案】（1）；（2） 【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可. 试题解析：（1） = = ； （2） =+…+ =． 【变式6 -1】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 技巧六 整体代入法 方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入. 【例7】问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和 利用根与系数的关系得： _____；_____；… 请你根据小刚的思路完整地解答本题． 【答案】；；见解析 【分析】令，则，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值． 【详解】解：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和. 利用根与系数的关系得：；； ∴ ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值． 【变式7 -1】阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，∴，∴．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，则代数式的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）把已知变形可得，代入即可求出答案． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 变形整理得：， ． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形． 技巧七 因式分解法 方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果. 【例8】已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【变式8 -1】设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 技巧八 配方法 【例9】已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：由，两边分别平方得：， ∴， 原式===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 【变式9 -1】若a＝1+，b＝1﹣，则代数式的值为 . 【答案】3 【分析】根据a=1+，b=1-，可以求得ab和a+b的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】∵a=1+，b=1-， ∴a-b=2，ab=-1， ∴ = = =3， 故答案为3． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 【变式9 -2】已知.则xy=（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】 配方得 将代入得： 计算得： 故选：D. 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握. 技巧九 辅元法 方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值. 【例10】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设 ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键． 技巧十 先判断后化解 【例11】已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则 ． 【答案】 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当x+y=-5，xy=4时， =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式11 -1】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案. 【详解】解： =， ∵，， ∴原式=； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题. 【变式11 -2】若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 【例1】下列对于二次根式的计算正确的是(   ) A． B．2＝2 C．2＝2 D．2＝ 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【详解】A、原式=2，所以A选项错误； B、原式＝，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项正确； D、原式＝6，所以D选项错误． 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【变式1 -1】下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．（2a）2＝4a C． D． 【答案】C 【分析】A、合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变；B、系数和字母都乘方；C、D利用二次根式的乘除法计算． 【详解】解：A、a2+a2＝2a2，故A选项错误； B、（2a）2＝4a2，故B选项错误； C、，此C选项正确； D、÷3＝，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则． 【变式1 -2】计算（+1）2019•（﹣1）2018的结果是（　　） A． +1 B．﹣1 C． D．1 【答案】A 【分析】直接利用乘方的积等于积的乘方对原式进行变形然后运算求出答案． 【详解】(+1)2 019·(-1)2 018=[(+1) ·(-1)]2018×(+1)= (+1). 故选A. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 【变式1 -3】下列运算正确的是（　　） A． B． C．x﹣x= D．（﹣2）（+2）=﹣1 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的运算法则、合并同类项的法则及二次根式的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项中，因为，所以A中运算错误，不符合题意； B选项中，因为，所以B中运算错误，不符合题意； C选项中，因为，所以C中运算错误，不符合题意； D选项中，因为，所以D中运算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、二次根式的乘法及平方差公式的应用，解题的关键是熟记相关的运算法则并能正确用于计算． 【变式1 -4】下列计算正确的是（　　） A．2a﹣3a＝a B．（a3）2＝a6 C． D．a6÷a3＝a2 【答案】B 【分析】分别计算出各项结果即可判断. 【详解】A. ，原选项错误； B.正确；   C. ，不一定成立，故原选项错误； D. ，原选项错误； 故选B 【变式1 -5】下列计算正确的是（　　） A．a2+a2=2a4 B．（2a）2=4a C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 故A选项错误； B、 故B选项错误； C、，此C选项正确； D、，故D选项错误． 故选C． 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. 题型02 二次根式的加减运算 【例2】在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，算术平方根，完全平方公式的应用，分式的加减运算，正确的计算是解题的关键．分别根据以上知识逐一计算即可． 【详解】解：A． ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意；     C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选D 【变式2 -1】计算的结果为 ． 【答案】 【详解】试题分析：首先将各二次根式进行化简，然后进行实数的加减法计算. 考点：二次根式的计算. 【变式2 -2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的混合运算及实数的混合计算，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】 ． 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 题型03 二次根式的混合运算 【例3】计算的结果估计在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式，进而估计即可． 【详解】解：， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，掌握二次根式的性质和运算法则是关键． 【变式3 -1】估计的运算结果最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果． 【详解】解： ， ∵， ∴1.5＜＜2， ∴3.5＜2+＜4， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3 -2】估计的运算结果应在（  ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再进行估算． 【详解】原式= =+2 =2+2 ∵1.5<<2, ∴3<2<4, ∴5<2+2<6, 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【变式3 -3】计算的结果等于 ． 【答案】3 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】解：原式=（）2-（）2 =6-3 =3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 【变式3 -4】计算． （1）（1﹣π）0＋|﹣|﹣＋（）﹣1； （2）（﹣2）2＋＋6． 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简，再计算加减法即可求解； （2）根据完全平方公式、二次根式化简，再计算加减法即可求解． 【详解】解：（1）（1﹣π）0＋|﹣|﹣＋（）﹣1； ＝1＋ ﹣ ﹣2＋ ＝1﹣； （2）（﹣2）2＋＋6 =3-4 +4+2+2 ＝7 ． 【点睛】本题考查了实数的运算,关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简和完全平方公式． 题型04 二次根式的化简求值 【例4】如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 【答案】A 【分析】先进行分式化简，再把m2+m代入即可. 【详解】解：（1） ＝m2+m， ∵m2+m0， ∴m2+m， ∴原式， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【变式4 -1】先化简再求值：，其中x＝． 【答案】 【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后计算括号外面的进行化简，最后代入求值． 【详解】解： ． ∵x＝， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值及二次根式的分母有理化计算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 【变式4 -2】已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：原式= ， 当时，原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【变式4 -3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值以及分母有理化，先通分括号内，再运算除法，运用分式的性质进行化简，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 把代入 得 题型05 二次根式的应用 【例5】已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解． 【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点， 设， ， ∴，， ∴在、、中，依次可得到： ， ， ， ∴ ． 故选：A 【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键． 【变式5 -1】如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）． 【答案】 M N-B-A-C 【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：∵MA+AC<NA+AC， ∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运； ∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)， ∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2， ∵a:b:c=3:2:1， ∴a=3c，b=2c， 当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c； 按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c； 按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c； ∵24c<24.97c<32c， ∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小， 故答案为：M；N-B-A-C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【变式5 -2】阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【分析】本题考查了使用平方差公式变形整式，三角形的面积与其内切圆的关系等知识，解决问题的关键是变形等式． （1）把，，代入公式求得结果； （2）将秦九韶公式利用平方差公式分解因式，进而得出海伦公式结论； （3）先求出三角形的面积，进而根据三角形面积等于其周长与内切圆的半径之积的一半，列出方程，求得结果． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴； （2）证明： 设，则． （3）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设三角形的内切圆半径为r， ∴， ∴， 则这个三角形的内切圆半径为：． 基础巩固 一、单选题 1．要使二次根式有意义，则a的值可以为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】要使二次根式有意义，则， ∴四个选项中，只有选项A中的0满足题意， 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 2．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，根据二次根式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 二、填空题 4．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次公式有意义的条件是解题的关键； 根据被开方数为非负数，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．若在实数范围内有意义：则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，，根据二次根式中被开方数为非负数，即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为： ． 6．要使式子 在实数范围有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式中分母不为零． 7．要使分式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】且/且 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；根式中，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得，且． 故答案为：，且． 【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 8．使成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数要大于等于零，列不等式组求x的范围即可． 【详解】根据二次根式有意义的条件，，， ∴x必须满足的条件是，即， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 9．如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵＝2， ∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可． 10．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为 ． 【答案】4 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案． 【详解】解：∵b＝+﹣2， ∴ ∴1-2a=0， 解得：a=，则b=-2， 故ab=（）-2=4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键． 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法计算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12．计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 13．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法、除法运算和平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法、除法运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可计算； （2）先将二次根式化简，再按照二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：（结果保留带分数形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据相关运算法则化简各项后，再合并即可． 【详解】解： ＝ ＝． 16．计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键． 17．计算：． 【答案】 【分析】将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得． 【详解】解： . 【点睛】本题主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 18．计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂的法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可． 【详解】解：原式=， 把代入得：原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键． 能力提升 一、单选题 1．估计2﹣4的值应在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】找出与24接近的开方开的尽的数，根据被开方数越大算术平方根越大，求解即可． 【详解】 ， ， 即： ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了无理数的估值，二次根式性质化简，求出无理数的范围是关键． 2．以下变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的法则计算即可 【详解】解： A、，故错误 B、，故错误 C、，故错误 D、，正确 故选：D 【点睛】本题考查二次根式的化简，正确使用法则是关键 二、填空题 3．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，分式有意义的条件分母不等于0解答. 【详解】根据题意得：  解得： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是关键. 错因分析：较易题．失分原因：没有掌握分式和二次根式有意义的条件，即分式的分母不为零，二次根式根号下的式子为非负数． 4．若，则x的取值范围为 ． 【答案】4≤x≤6 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出x的取值范围． 【详解】∵=x-4+6-x=2， ∴x-4≥0，6-x≥0， 解得：4≤x≤6． 故答案为4≤x≤6． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 5．若，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】± 【分析】要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根据：与同时成立，根号里的数一定是0．依此来求、的值． 【详解】解：与同时成立， 故只有，即， 又， ，， ， 故的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根式成立的条件，解题的关键是根据与同时成立，得到的值． 6．将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 【答案】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键． 7．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ． 【答案】 【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案． 【详解】解：猜想第n个为： （n为大于等于2的自然数）； 理由如下： ∵n≥2， ∴ 添项得： ， 提取公因式得： 分解分子得： ； 即： ； 第5个式子，即n=6，代入得： ， 故填：． 【点睛】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系． 8．观察下列等式：； ； ； …… 根据以上规律，计算 ． 【答案】 【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可． 【详解】解：由题意可知，， ＝1+1+1+…+1﹣2021 ＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021 ＝2020+1﹣﹣2021 ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 三、解答题 9．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，锐角三角函数的计算，绝对值，二次根式的性质是解题的关键． 根据负指数幂，锐角三角函数的方法，绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 10．计算：． 【答案】 【分析】先由特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂分别计算，再由二次根式乘法运算及减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的减法运算及乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 11．计算： 【答案】 【分析】先化简绝对值、计算特殊角的余弦值、零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的余弦值、零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，以及单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，最后再把所给的a的值代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：， ， ， 将代入上式有， ． 13．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13． 【分析】根据题意进行探索即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2，2mn． （2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4． 故答案为13，4，1，2(答案不唯一)． （3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn． ∵4＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， ∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13． 【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键. $$