第03讲 整式与因式分解（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第一章 数与式 第03讲 整式与因式分解（4~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 整式的化简求值 考点五 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 题型01 列代数式 题型02 代数式的实际意义 命题点二 整式的相关概念 题型01 判断单项式的系数、次数 题型02 与单项式有关的规律题 题型03 判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 题型01 判断同类项 题型02 合并同类项 题型03 添（去）括号 题型04 整式的加减 题型05 整式加减的应用 题型06 幂的基本运算 题型07 幂的逆向运算 题型08 幂的混合运算 题型09 整式的乘法 题型10 整式的除法 题型11 利用乘法公式计算 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 乘法公式的几何验证 命题点四 整式化简求值（高频考点） 题型01 整式化简-直接代入法 题型02 整式化简-间接代入法 题型03 整式化简-整体代入法 题型04 整式化简-数形结合法 题型05 整式化简-利用“无关”求值 命题点五 因式分解 题型01 判断因式分解 题型02 选用合适的方法因式分解 题型03 与因式分解有关的探究题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 近10年连续考查 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. . 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 10年1考 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年8考 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 10年7考 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 近10年连续考查 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．代数式的意义为（    ） A．与的平方差 B．与的差的平方 C．与平方的差 D．平方与的差的平方 【答案】A 【分析】本题考查代数式表示的意义．根据代数式的书写，得到其表示的意义即可． 【详解】解：代数式的意义为与的平方差； 故选A． 2．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个，为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． （1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为 （用含x，y的代数式表示）； （2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进 袋． 【答案】 40 【分析】（1）根据题意可得购进的肉粽袋，即可求解； （2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得，从而得到，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，可得，即可． 【详解】解：（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽袋， ∴购进的肉粽的个数为个； 故答案为： （2）根据题意得：购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个， ∵套装豆沙粽2个；B套装肉粽2个． ∴套装为套，套装为套， ∵套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个， ∴， 解得：， ∵肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的， ∴， 即， 解得：， ∴豆沙粽最多购进40袋； 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 1．若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式的次数和系数，一元一次方程，熟练掌握单项式次数和系数是解题的关键． 根据单项式系数得出n的值，根据次数的定义，可求出，然后求再解即可． 【详解】解∵ 是关于，的六次单项式，且系数是2， ∴，， 解得：，， 故选：C． 2．关于多项式，下列说法中正确的是（   ） A．项数为4 B．常数项为6 C．次数为8 D．最高次项的次数为4 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，根据多项式的定义逐项判定即可． 【详解】解：、多项式的项数为5，故本选项不符合题意； 、多项式的常数项为，故本选项不符合题意； 、多项式的次数为4，故本选项不符合题意； 、多项式的最高次项的次数为4，故本选项符合题意； 故选：． 3．下列结论中，正确的是（   ） A．代数式是二次三项式 B．与是同类项 C．单项式系数是，次数是1 D．代数式的常数项是3 【答案】A 【分析】本题考查多项式的相关概念、单项式的系数和次数、以及同类项的概念，掌握相关概念对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、代数式是二次三项式，故A项正确，符合题意； B、与相同字母的次数不同，不是同类项，故B项错误，不符合题意； C、单项式系数是，次数是，故C项错误，不符合题意； D、代数式的常数项是，故D项错误，不符合题意； 故选：A． 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 6．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 7．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 8．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 9．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B正确，符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算法则进行计算，然后做出判断． 【详解】解：A、正确，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项． 【详解】解：A选项中：，因此错误； B选项中：，因此错误; C选项中：，因此正确； D选项中：，因此错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可． 4．已知m＋n＝3，m－n＝2，则 ． 【答案】6 【分析】根据平方差公式（m＋n）（m−n）＝m2−n2代入数值即可． 【详解】解：∵m＋n＝3，m−n＝2， ∴（m＋n）（m−n）＝m2−n2＝3×2＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a−b）＝a2−b2是解题的关键． 考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.数形结合法：用数轴上的点表示数，根据在数轴上的位置，确定数的大小。 5.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 1.平方差公式没有找对相同项、相反项. 2.完全平方公式缺少2倍项。 3.减多乘多的时候忽略变号或者没有添加括号 1．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、灵活运用整体思想是解题的关键． 根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案． 【详解】解： ． ， ， 原式． 2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，整式的乘法，解决本题的关键是利用整体的思想求解． 先将代数式展开得到，再将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 3．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件式得到，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到，把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简为是解题的关键． 4．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后将变形为，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式． 考点五 因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1．分解因式 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 命题点一 代数式的相关概念 题型01 列代数式 【例1】（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，代数式表示式，正方形面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：该门洞的通过面积为 (平方米)， 故答案为：． 【变式1 -1】（2023·北京西城·一模），，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）= （用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是 时，这种产品的成本最低． 【答案】 1，5，1 【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可． 【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数）， ∴， 故答案为：； 设总成本价为M元，根据题意，得， ∵均为正整数，， ∴， 当且仅当，时，成本最低，此时， 故， 故答案为：1，5，1． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式1 -2】（2020·北京丰台·二模）小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款． （1）顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货款是 元； （2）小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是 元． 【答案】 112 128 【分析】（1）根据优惠的付款方式计算即可得到答案，（2）分三种情况讨论，再按照优惠分式计算即可得到答案． 【详解】解（1）由题意得：元， 小志收到的货款是元， （2）当一笔购买草莓、荔枝、另一笔购买山竹时，小志收到的货款是元， 当一笔购买草莓、山竹、另一笔购买荔枝时，小志收到的货款是元， 当一笔购买荔枝、山竹、另一笔购买草莓时，小志收到的货款是元， 所以：收到的货款最少是元． 故答案为： 【点睛】本题考查的是根据题意列式计算，注意分类讨论是解题的关键． 题型02 代数式的实际意义 【例2】（23-24九年级上·北京丰台·期末）对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 【答案】答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是元 【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意． 根据题意解决问题即可． 【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元． 故答案为：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元(答案不唯一)． 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京石景山·期末）对单项式“”可以解释为：一块橡皮元，买了a块，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义 ． 【答案】练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答． 根据生活实际作答即可． 【详解】解：练习本每本元，小明买了a本，共付款元， 故答案为：练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一）． 命题点二 整式的相关概念 题型01 判断单项式的系次数 【例1】（24-25九年级上·北京·期中）如果是五次单项式，那么它的系数是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，单项式的系数就是字母前面的数字因数，单项式的次数是所有字母指数的和．根据单项式的系数和次数的定义求解即可． 【详解】解：如果是五次单项式，那么它的系数是，， 故答案为：，． 【变式1 -1】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）单项式的系数是（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可． 【详解】单项式的系数是-1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式的系数，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解答此题的关键． 【变式1 -2】（2021·北京·中考模拟）单项式的系数是 . 【答案】3 【分析】根据单项式的系数定义判断即可. 【详解】单项式，其中数字因式为3， 则单项式的系数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查了单项式的系数定义的掌握情况，单项式的系数：单项式中的数字因数. 题型02 与单项式有关的规律题 【例2】（2022·北京·中考模拟）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 【答案】A 【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 【变式2 -1】（2023·北京·中考模拟）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 题型03 判断多项式的项次数 【例3】（2024·北京·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求出的值，根据方程的解，得到，根的判别式，求出的取值范围，进行求出的最小值即可． 【详解】解：∵是四次三项式， ∴，解得：， ∴方程，转化为：， ∵方程有实数根， ∴，， ∴，， ∴； 故选A． 【变式3 -1】（2020·北京·模拟预测）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【答案】0或8 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， ，， ，， 或， 或， 或8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 命题点三 整式的运算 题型01 判断同类项 【例1】（2023·北京·二模）下列单项式中，xy2的同类项是（    ） A．x3y2 B．x2y C．2xy2 D．2x2y3 【答案】C 【分析】根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数相同进行判断即可． 【详解】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意； D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项的知识，属于基础题，理解同类项的定义是解题关键 【变式1 -1】（2021·北京海淀·三模）若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3 【答案】B 【分析】根据同类项的定义“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得答案． 【详解】解：因为﹣2x6y与5x2myn是同类项， 所以2m＝6，n＝1， 解得m＝3，n＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查同类项，掌握“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是解决问题的关键． 【变式1 -2】（2024·北京·模拟预测）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 题型02 合并同类项 【例2】（2021·北京海淀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则分别计算各项后即可解答． 【详解】选项A、2a+3a＝5a，故此选项正确； 选项B、 和不是同类项，不能合并，故此选项错误； 选项C、，故此选项错误； 选项D、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则，熟练运用法则进行计算是解决问题的关键． 【变式2 -1】（2023·北京·模拟预测）若与的和仍为单项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项，熟练掌握“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项”是解题的关键．根据同类项的定义可得出关于的方程，解之即可得出的值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型03 添（去）括号 【例3】（21-22九年级下·北京·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，合并同类项，平方差公式，完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了去括号法则，合并同类项，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式3 -1】（2024·北京·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．正确的去括号并合并同类项是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型04 整式的加减 【例4】（2022·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解． 【详解】解： 原式 【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键． 【变式4 -1】（2021·北京海淀·模拟预测）已知，求的值． 【答案】－2019 【分析】先将中括号内代数式提取公因式化简，再根据整式的乘除法则计算即可化成最简形式，即可得解． 【详解】解：原式= = =， 将，代入原式， 则原式=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握好整式的混合运算法则，能提取公因式化简是本题的关键． 【变式4 -2】（22-23九年级上·北京平谷·期末）先化简，再求值： 已知，求的值． 【答案】；6 【分析】先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算，注意整体代入思想． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 题型05 整式加减的应用 【例5】（22-23九年级下·北京·阶段练习）若一个四位数，十位上的数字是千位与百位数字的和，个位上的数字是千位与百位数字的差，且千位数字不小于百位数字，那么这个数就称为“民安数”，例如：因为，，，且，所以是“民安数”，若是“民安数”，令，若是整数，则成为“国泰民安数”，若一个“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，则称该数为“中华数”，求最小的“中华数”为 ． 【答案】4153 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出满足条件的代数式进行分析判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ①（是整数）， ②， ③， “国泰民安数”的各个数位数字之和除余， 是的倍数， 即：， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，存在满足①②③条件的最小的数，即：，， ，， 最小的“中华数”为． 故答案为：． 【变式5 -1】（2020·北京丰台·一模）如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形A和B，设长方形A和B的周长分别为和，则 （填“>”、“=”或“<”） 【答案】= 【分析】设图2中大长方形长为x，宽为y，再表示出长方形A和B的长和宽，进而可得周长，然后可得答案． 【详解】解：设图2中大长方形长为x，宽为y， 则长方形A的长为x﹣1，宽为y﹣3，周长＝2（x﹣1+y﹣3）＝2x+2y﹣8， 长方形B的长为x﹣2，宽为y﹣2，周长＝2（x﹣2+y﹣2）＝2x+2y﹣8， 则＝， 故答案为：=． 【点睛】本题主要考查整式的加减，关键是正确设出未知数，表示出长方形A和B的长和宽． 【变式5 -2】（2022·北京石景山·一模）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）． 【答案】 M N-B-A-C 【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：∵MA+AC<NA+AC， ∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运； ∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)， ∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2， ∵a:b:c=3:2:1， ∴a=3c，b=2c， 当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c； 按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c； 按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c； ∵24c<24.97c<32c， ∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小， 故答案为：M；N-B-A-C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 题型06 幂的基本运算 【例6】（2023·北京大兴·二模）下列运算结果正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则，依次对各选项分析找出正确的选项． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的相关运算，同类项，熟练掌握这些运算法则是解决此题的关键．主要考查幂的相关运算有：同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方运算． 【变式6 -1】（2023·北京海淀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式是解题的关键． 【变式6 -2】（2022·北京顺义·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式6 -3】（2022·北京大兴·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、同底数幂除法法则，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】A．，正确； B．应为，故本选项错误； C．和不是同类项，故本选项错误； D．应为，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、同底数幂除法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 【变式6 -4】（2019·北京石景山·二模）下列各式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A、，正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式6 -5】（2024·北京海淀·二模）下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据表格信息分别找出对应的中的n的值，根据同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：根据表格信息可得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型07 幂的逆向运算 【例7】（2021·北京平谷·二模）若＝2，＝3，则的值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解题的关键． 【变式7 -1】（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 【变式7 -2】（2021·北京·模拟预测）已知，，则的值是（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，可求再整体代入即可． 【详解】解: ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键． 【变式7 -3】（2021·北京·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 【变式7 -4】（2023·北京·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 题型08 幂的混合运算 【例8】（2017·北京·模拟预测题）计算的结果为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：.故选D. 考点：幂的运算. 【变式8 -1】（22-23·北京·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型09 整式的乘法 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【例9】（2020九年级·北京·专题练习）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣3）（a+1）的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】B 【分析】由a2﹣2a﹣1＝0，得a2﹣2a＝1，再代入代数式可得. 【详解】∵a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴（a﹣3）（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式9 -1】（2020·北京通州·一模）若，则可以用含的代数式表示为 ． 【答案】4mn+m+n 【分析】直接利用多项式乘以多项式计算进而得出答案． 【详解】解：∵(4m+1)(4n+1)=4K+1， ∴16mn+4m+4n+1=4K+1， ∴4K=16mn+4m+4n， ∴K=4mn+m+n． 故答案为：4mn+m+n． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式9 -2】（22-23·北京·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，乘法公式等，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型10 整式的除法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率. 【例10】（22-23九年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键． 【变式10 -1】（22-23九年级上·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先求出，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式，代入即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出，正确化简代数式是解题的关键． 题型11 利用乘法公式计算 【例11】（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，等式的性质，完全平方公式等知识点，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 【变式11 -1】（2024·北京门头沟·一模）已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想． 先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再合并同类项，求出，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式11 -2】（2023·北京海淀·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先求出，再利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化解求值，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式11 -3】（2023·北京丰台·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，再将代数式化简，代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查代数式求值，平方差公式和完全平方公式计算，利用整体代入思想是解题的关键． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 题型12 通过对完全平方公式变形求值 【例12】（2020·北京·模拟预测）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 【变式12 -1】（23-24九年级上·北京·期末）若，则的结果是（　　） A．7 B．9 C．﹣9 D．11 【答案】D 【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-)2+2，最后整体代入进行计算可得结果. 【详解】解：∵， ∴ ＝（a﹣）2+2 ＝（﹣3）2+2 ＝9+2 ＝11， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 【变式12 -2】（2024·北京·模拟预测）若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：5． 【变式12 -3】（2023·北京·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方差公式，由条件得到，将恒等变形，整体代入求值即可得到答案，熟记代数式求值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12 -4】（2024·北京·模拟预测）若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据，再代入，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3 乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形. 题型13 乘法公式的几何验证 【例13】（2022·北京·模拟预测）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 【变式13 -1】（2021·北京顺义·一模）将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算． 【详解】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积， =（a+b）2-4ab， =a2+2ab+b2-4ab， =（a-b）2 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算． 【变式13 -2】（2020·北京密云·二模）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形面积S的两种求法：方法一，S等于边长的平方；方法二，S等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，由此即可得出答案． 【详解】由图可知，大正方形面积S的两种求法如下： 方法一， 方法二， 则有 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方和公式在图形中的应用，掌握理解完全平方和公式是解题关键． 【变式13 -3】（2020·北京·模拟预测）下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式： ． 【答案】 【分析】裁剪前，第二图的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，裁剪拼凑后面积等于长×宽，它们面积相等，据此可列出等式． 【详解】解：如下图的面积在裁剪前＝， 裁剪拼凑后＝， 裁剪前后面积相等，故： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．掌握等面积法是解题关键． 思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解. 命题点四 整式化简求值（高频考点） 题型01 整式化简-直接代入法 【例1】（2022·北京·模拟预测）已知，则式子的值是 ． 【答案】/ 【分析】可以提取公因式,将式子化简，然后代入的值求解即可． 【详解】解：原式= 当时，原式 故答案是：． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是掌握提取公因式化简的方法． 【变式1 -1】（22-23七年级下·广东梅州·期中）当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，原式中括号中利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型02 整式化简-间接代入法 【例2】（21-22九年级·北京东城·期末）先化简，再求值：，其中. 【答案】，22 【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】原式 . 因为， 所以，. 把，代入原式， 原式 . 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2 -1】（2024·北京·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算中的化简求值．先利用平方差公式和完全平方公式化简原式，再整体代值求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【变式2 -2】（2024·北京·二模）先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】， 【分析】题目主要考查整式的混合运算及绝对值和平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算完全平方公式及平方差公式，然后计算加减法，最后计算除法即可，再代入求值即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 由，得， 当，时， 原式． 题型03整式化简-整体代入法 【例3】（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式运算的化简求值， 首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 【变式3 -1】（2024·北京·模拟预测）已知∶，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先由，由，然后将化简为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 原式   ． 【变式3 -2】（2023·北京朝阳·二模）已知，求代数式的值． 【答案】9 【分析】先求出，再把所求式子化简得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 题型04整式化简-数形结合法 【例4】（2023·北京·模拟预测）（1）如图，数轴上，两点所表示的数分别是，，则 ， ， 0；（填“”或“”） （2）先化简，再从（）中的数轴上，之间任取一个你喜欢的整数作为的值，代入化简的结果并求值． 【答案】（1），，；（2），时，原式；时，原式． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，有理数大小比较，数轴，有理数的减法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据，两点在数轴上的位置，以及有理数的减法法则进行计算，即可解答； （2）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（）由题意得：，， ∴， 故答案为：，，； （） ， 当时，原式； 当时，原式． 【变式4 -1】（22-23九年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中，在数轴上表示数的点在原点左侧，且到原点的距离为． 【答案】，17 【分析】先按照整式加减法进行化简，再根据已知条件求出a和b的值，代入化简结果计算即可． 【详解】原式 ． ∵，在数轴上表示数的点在原点左侧，且到原点的距离为． ∴， ∴ 原式 ． 【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，还考查了非负数的性质、用数轴上的点表示数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型05整式化简-利用“无关”求值 【例5】（21-22九年级上·北京·期末）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关． （1）求m、n的值； （2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值． 【答案】（1）n＝2，m＝﹣1；（2）-36 【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案,注意整体思想及添括号与去括号法则； （2）先去小括号，再去中括号，再利用整式的加减运算法则化简进而得出答案． 【详解】解：（1）∵A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关， ∴2A﹣B＝2（x2﹣mx+2）﹣（nx2+2x﹣1） ＝2x2﹣2mx+4﹣nx2﹣2x+1 ＝（2﹣n）x2﹣（2m+2）x+5， ∴2﹣n＝0，2m+2＝0， 解得：n＝2，m＝﹣1； （2）﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2] ＝﹣3m2n+6mn2﹣m2n﹣2mn2+4m2n+5mn2 ＝9mn2， 当n＝2，m＝﹣1时， 原式＝9×（﹣1）×22＝﹣36． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式5 -1】（23-24九年级上·北京·期末）先化简，再求值：当代数式的值与字母的取值无关时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算−化简求值，先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】∵代数式的值与字母x的取值无关， ， ， ， 当时， 原式． 命题点五 因式分解 题型01 判断因式分解 【例1】（2020·北京·一模）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选C． 【变式1 -1】（23-24九年级下·北京·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解是把几个多项式的和化为几个整式的积的形式来求解． 【详解】解：A. ，分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意； B. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型02 选用合适的方法因式分解 【例2】（2022·北京·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 【变式2 -1】（2020·北京·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键． 【变式2 -2】（2020·北京海淀·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后再按“十字相乘法”分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和“十字相乘法”是解题的关键． 【变式2 -3】（2023·北京·模拟预测）如果多项式只能因式分解为，则 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，多项式只能因式分解为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解——应用公式法，熟练掌握因式分解——应用公式法进行求解是解决本题的关键． 题型03 与因式分解有关的探究题 【例3】（2024·北京·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 【变式21 -1】（2024·北京·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【答案】(1)能，证明见解析 (2)见解析，能 (3)见解析 【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用： （1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可； （2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可； （3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除； 证明：一个数，若，则：， ∴， 即：可以被7整数； （2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除； 9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除； （3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 基础巩固 一、单选题 1．（2021·北京东城·二模）下列式子中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每个选项涉及到的计算原则去运算即可． 【详解】A：，选项错误； B：，选项错误； C：，选项错误； D：，选项正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则，整式计算去扣号的原则，合并同类项原则，以及完全平方和公式展开原则． 2．（2020·北京门头沟·二模）下列运算中，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的加法、同底数幂的乘法、整式的幂运算、积的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项错误 B、，此项正确 C、，此项错误 D、，此项错误 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加法、同底数幂的乘法、整式的幂运算、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键． 3．（2021·北京丰台·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算公式，进行运算，确认结果即可． 【详解】A项，，故错误； B项，，故错误； C项，，故错误； D项，，正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的运算有关知识，熟记活用公式是解题的关键． 4．（2023·北京东城·二模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，正确； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键． 5．（2022·北京·模拟预测）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，合并同类项逐项计算判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，合并同类项．掌握各运算法则是解题关键． 6．（22-23九年级上·广东中山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项和法则，同底数幂的运算法则，即可进行解答． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项和同底数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 7．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 二、填空题 8．（2016年初中毕业升学考试（北京卷）数学）右图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ． 【答案】m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）． 【分析】从两方面计算该图形的面积即可求出该等式． 【详解】解：从整体来计算矩形的面积：m(a+b+c)， 从部分来计算矩形的面积：ma+mb+mc， 所以m(a+b+c)=ma+mb+mc 故答案为m(a+b+c)=ma+mb+mc． 9．（2020·北京·二模）右图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ． 【答案】答案不唯一，如， 【分析】分别用不同方法计算题目中最大矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：图中最大矩形面积分别表示为和， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了用几何方法证明单项式乘以多项式法则，解题关键是根据图形特点用不同方式表示其面积． 10．（2023·北京海淀·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 11．（2023·北京顺义·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 12．（2024·北京东城·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2024·北京西城·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握提取公因式法、利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（2024·北京·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 故答案为： 15．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 16．（2024·北京海淀·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式和公式法进行分解因式，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 17．（2022·北京房山·一模）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗 棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 22 > 【详解】解：第一阶段，依题意得：， 解得：， 则种植A种树苗22棵； 第二阶段，∵种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n， ∴A种树苗成活了 n+5(棵)， B种树苗成活了n-2(棵)， ∴这两个阶段A种树苗共成活了×22+5+ n+5= n+21(棵)， B种树苗共成活了18-2+ n-2= n+14(棵)， ∵n+21> n+14， ∴这两个阶段A种树苗共成活棵数>B种树苗共成活棵数， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的加减运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．（2022·北京朝阳·一模）如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案，这些只有中国结图案的“小雪花”共有 个． 【答案】5 【分析】根据图形先计算图中共有的小雪花的数量，再减去上面写有此次参会的国家或地区名称的小雪花，即可得答案． 【详解】解：仔细观察图像可知，图中共有小雪花 3×2+4×2+4×2+9×2+10×2＋9×2+6×2+3×2=96（个） 其中有在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称， ∴“小雪花”上面只有中国结图案有 96-91=5（个） 故答案为：5． 【点睛】本题考查了图形的规律，以及有理数的加减运算，解题的关键是仔细看图． 19．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 【答案】 0 15 1 【分析】根据当时，．当时，进行解答即可；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个． 【详解】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析： 当时，， ∴； 当时，， 由图表可知共有15个1； ， ∵是不大于5的正整数， ∴， ∴． 故答案为：0；15；1． 【点睛】本题考查数字的变化，理解当时，．当时，，是解题的关键． 20．（2023·北京石景山·一模）如图，小明将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加法运算，代数式求值，根据题目要求求得字母的值是解决本题的关键． 首先求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，然后根据题意列方程求出，，，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为4． 21．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得颗糖果，且丙的卡片上写的是正数， ∴丙在前两次获得的糖果为颗， ∵甲共获得颗，乙共获得颗， ∴前两次中，甲共获得颗，乙获得颗， ∴前两次丙比乙多获得的糖果数为（颗）， ∵丙第一次获得糖果数至少为， ∴第一次乙获得糖果数至少为（颗），即， ∵乙三次共获得颗， ∴乙第一次获得糖果数至少为，即， ∴乙第一次获得糖果数为， 故答案为：． 22．（2024·北京·三模）如果实数满足方程组，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数，将他们代值代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得； ， 故答案为：8． 三、解答题 23．（2024·北京·三模）已知 ， 求代数式 的值． 【答案】1 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ． ， ． 原式． 24．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，代数式提因式得到，再用平方差公式即可得出，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 25．（2022·北京房山·二模）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】利用平方差公式和完全平方公式对所给代数式进行化简，再将整体代入求解． 【详解】解：原式， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查利用平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简求值，难度较小，掌握整体代入思想是解题的关键． 26．（2024·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握乘法公式和单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，最后用整体代入法求值． 【详解】 ， ． ∵， ∴． ∴原式． 27．（23-24九年级下·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2029 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 28．（2022·北京·一模）如图所示，纸片甲、乙分别是长方形和正方形，将甲、乙纸片沿对角线，剪开，不重叠无空隙地拼接起来，其中间部分恰好可以放入一张正方形纸片，与甲、乙纸片一起组成纸片丙的四边形，设，． (1)求纸片乙的边长（用含字母、的代数式表示）； (2)探究纸片乙、丙面积之间的数量关系． 【答案】(1)纸片乙的边长为 (2)纸片丙的面积是纸片乙的面积的2倍 【分析】（1）设纸片乙的边长为m．根据丙图中线段的和差关系列出一元一次方程求解即可． （2）用a和b分别表示纸片乙和纸片丙的面积，即可求出纸片乙、丙的数量关系． 【详解】（1）解：设纸片乙的边长为m，则MP=m，PL=m． ∴MP+PL=2m． ∵AD=a，AB=b， ∴OL=a，MQ=b． ∵纸片OPQR是正方形， ∴OP=QP． ∴MP+PL=MQ+QP+PL=MQ+OP+PL=MQ+OL=a+b． ∴2m=a+b． ∴． ∴纸片乙的边长为． （2）解：S乙=． ∵MQ=b，MP=， ∴． S丙=． ∴S丙=2S乙． ∴纸片丙的面积是纸片乙的面积的2倍． 【点睛】本题考查线段的和差关系，解一元一次方程，三角形面积公式，正方形面积公式，整式的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 29．（2023·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】先把代数式利用单项式乘以单项式法则、完全平方公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，再把已知条件变形后整体代入求值即可． 【详解】解： ∴， 原式． 【点睛】此题考查了整式的四则混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 30．（2024·北京通州·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的乘法混合运算，涉及单项式乘多项式及平方差公式；先利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项；再由，得，最后整体代入即可求值． 【详解】解：原式 ； ， ， 原式 ． 能力提升 1．（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将变形为，再把变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 又 ． 故选：A． 2．（2020·北京东城·一模）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（　　） A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b 【答案】C 【分析】先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1＝S2得到关于a、b的等式，整理即可． 【详解】由题意得： S2＝ab×4＝2ab， S1＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2， ∵S1＝S2， ∴3S1＝5S2 ∴3a2+3b2＝5×2ab， ∴3a2﹣10ab+3b2＝0， ∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0， ∴3a＝b（舍），或a＝3b． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键． 3．（2022·北京·模拟预测）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（　　） A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 【答案】A 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，，…… ∴这个数列以-2，，依次循环，且， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 二、填空题 4．（2023·北京海淀·二模）四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，． （1）若，则，，中与距离最小的点为 ； （2）若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有 个． 【答案】 【分析】（1）根据已知求得，进而分别求得，，中与距离，即可求解； （2）由（1）可知，当时，点与点的距离最小，不合题意，然后分别取到的整数，进而分别求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵， 当， ∴ ∵，， ∴，，中与距离最小的点为， 故答案为：． （2）∵ 由（1）可知，当时，点与点的距离最小，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，符合题意，    综上所述，符合条件的点有个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． 5．（2022·北京·二模）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用表示．例如多项式，当时，多项式的值为．已知多项式，若，则的值为 ． 【答案】-2016 【分析】根据定义，代入变形整理，计算即可． 【详解】∵ ，， ∴m-n+3=2022， ∴m-n=2019， ∴== -(m-n)+3=-2019+3=-2016， 故答案为：-2016． 【点睛】本题考查了新定义问题，正确理解定义，灵活变形计算是解题的关键． 6．（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 【答案】21 【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3，得到当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1；当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1；当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2；当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3即可求解． 【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1， 黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2， 黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1， 黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1， 黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3， ∴可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3， 当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1； 当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1； 当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2； 当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3； ∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个． 故答案为：21 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 7．（2024·北京·模拟预测）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 【答案】 B 【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白，白，白，白的位置． 【详解】解：第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则左边不可能有张黑卡片， ∴白卡片数字摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字摆在了标注字母的位置； ∴第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则，只能是黑，黑， 而∵为黑，矛盾， ∴第一行中为白； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，此时黑在白右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白， ∴第二行中为黑，为黑； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，与为黑矛盾， ∴第二行中为． 故答案为：B；． 8．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 【答案】 【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可． 【详解】解：已知红桃有数字共计张牌 甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合， 张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数， 甲最多只能有一个奇数，只有符合， 乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同， 乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为， 故答案为：； 【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键． 三、解答题 9．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， 由 ， ， ， ∵， ∴原式， ． 10．（2023·北京海淀·一模）已知求代数式的值． 【答案】 【分析】先将代数式化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 11．（2023·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先计算得，再根据得到，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，单项式乘以多项式等知识，正确进行计算，再整体代入是解题关键． 12．（2023·北京海淀·一模）已知，求代数式的值． 【答案】9 【分析】先推出，再根据完全平方公式去括号，然后合并化简，最后把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． $$第一章 数与式 第03讲 整式与因式分解（4~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 整式的化简求值 考点五 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 题型01 列代数式 题型02 代数式的实际意义 命题点二 整式的相关概念 题型01 判断单项式的系数、次数 题型02 与单项式有关的规律题 题型03 判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 题型01 判断同类项 题型02 合并同类项 题型03 添（去）括号 题型04 整式的加减 题型05 整式加减的应用 题型06 幂的基本运算 题型07 幂的逆向运算 题型08 幂的混合运算 题型09 整式的乘法 题型10 整式的除法 题型11 利用乘法公式计算 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 乘法公式的几何验证 命题点四 整式化简求值（高频考点） 题型01 整式化简-直接代入法 题型02 整式化简-间接代入法 题型03 整式化简-整体代入法 题型04 整式化简-数形结合法 题型05 整式化简-利用“无关”求值 命题点五 因式分解 题型01 判断因式分解 题型02 选用合适的方法因式分解 题型03 与因式分解有关的探究题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次（北京版） 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 近10年连续考查 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. . 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 10年1考 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年8考 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 10年7考 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 近10年连续考查 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．代数式的意义为（    ） A．与的平方差 B．与的差的平方 C．与平方的差 D．平方与的差的平方 2．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个，为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． （1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为 （用含x，y的代数式表示）； （2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进 袋． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 1．若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．关于多项式，下列说法中正确的是（   ） A．项数为4 B．常数项为6 C．次数为8 D．最高次项的次数为4 3．下列结论中，正确的是（   ） A．代数式是二次三项式 B．与是同类项 C．单项式系数是，次数是1 D．代数式的常数项是3 考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 6．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 7．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 8．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 9．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知m＋n＝3，m－n＝2，则 ． 考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.数形结合法：用数轴上的点表示数，根据在数轴上的位置，确定数的大小。 5.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 1.平方差公式没有找对相同项、相反项. 2.完全平方公式缺少2倍项。 3.减多乘多的时候忽略变号或者没有添加括号 1．已知，求代数式的值． 2．已知，求代数式的值． 3．如果，那么代数式的值为 ． 4．已知，求代数式的值． 考点五 因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1．分解因式 2．因式分解： ． 3．因式分解： ． 4．分解因式： 命题点一 代数式的相关概念 题型01 列代数式 【例1】（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【变式1 -1】（2023·北京西城·一模），，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）= （用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是 时，这种产品的成本最低． 【变式1 -2】（2020·北京丰台·二模）小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款． （1）顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货款是 元； （2）小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是 元． 题型02 代数式的实际意义 【例2】（23-24九年级上·北京丰台·期末）对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京石景山·期末）对单项式“”可以解释为：一块橡皮元，买了a块，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义 ． 命题点二 整式的相关概念 题型01 判断单项式的系次数 【例1】（24-25九年级上·北京·期中）如果是五次单项式，那么它的系数是 ， ． 【变式1 -1】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）单项式的系数是（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【变式1 -2】（2021·北京·中考模拟）单项式的系数是 . 题型02 与单项式有关的规律题 【例2】（2022·北京·中考模拟）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 【变式2 -1】（2023·北京·中考模拟）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 题型03 判断多项式的项次数 【例3】（2024·北京·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3 -1】（2020·北京·模拟预测）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 命题点三 整式的运算 题型01 判断同类项 【例1】（2023·北京·二模）下列单项式中，xy2的同类项是（    ） A．x3y2 B．x2y C．2xy2 D．2x2y3 【变式1 -1】（2021·北京海淀·三模）若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3 【变式1 -2】（2024·北京·模拟预测）请写出的一个同类项： ． 题型02 合并同类项 【例2】（2021·北京海淀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】（2023·北京·模拟预测）若与的和仍为单项式，则 ． 题型03 添（去）括号 【例3】（21-22九年级下·北京·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -1】（2024·北京·模拟预测）化简： ． 题型04 整式的加减 【例4】（2022·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【变式4 -1】（2021·北京海淀·模拟预测）已知，求的值． 【变式4 -2】（22-23九年级上·北京平谷·期末）先化简，再求值： 已知，求的值． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 题型05 整式加减的应用 【例5】（22-23九年级下·北京·阶段练习）若一个四位数，十位上的数字是千位与百位数字的和，个位上的数字是千位与百位数字的差，且千位数字不小于百位数字，那么这个数就称为“民安数”，例如：因为，，，且，所以是“民安数”，若是“民安数”，令，若是整数，则成为“国泰民安数”，若一个“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，则称该数为“中华数”，求最小的“中华数”为 ． 【变式5 -1】（2020·北京丰台·一模）如图1，小长方形纸片的长为2，宽为1，将4张这样的小长方形按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形A和B，设长方形A和B的周长分别为和，则 （填“>”、“=”或“<”） 【变式5 -2】（2022·北京石景山·一模）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）． 题型06 幂的基本运算 【例6】（2023·北京大兴·二模）下列运算结果正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式6 -1】（2023·北京海淀·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -2】（2022·北京顺义·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6 -3】（2022·北京大兴·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -4】（2019·北京石景山·二模）下列各式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式6 -5】（2024·北京海淀·二模）下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为 ． 题型07 幂的逆向运算 【例7】（2021·北京平谷·二模）若＝2，＝3，则的值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【变式7 -1】（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】（2021·北京·模拟预测）已知，，则的值是（  ） A．2 B． C．3 D． 【变式7 -3】（2021·北京·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 【变式7 -4】（2023·北京·模拟预测）计算的结果是 ． 题型08 幂的混合运算 【例8】（2017·北京·模拟预测题）计算的结果为 A． B． C． D． 【变式8 -1】（22-23·北京·模拟预测）计算： 题型09 整式的乘法 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【例9】（2020九年级·北京·专题练习）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣3）（a+1）的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式9 -1】（2020·北京通州·一模）若，则可以用含的代数式表示为 ． 【变式9 -2】（22-23·北京·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 题型10 整式的除法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率. 【例10】（22-23九年级上·北京·期末）计算：． 【变式10 -1】（22-23九年级上·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 题型11 利用乘法公式计算 【例11】（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 【变式11 -1】（2024·北京门头沟·一模）已知，求代数式的值． 【变式11 -2】（2023·北京海淀·模拟预测）已知，求代数式的值． 【变式11 -3】（2023·北京丰台·一模）已知，求代数式的值． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 题型12 通过对完全平方公式变形求值 【例12】（2020·北京·模拟预测）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【变式12 -1】（23-24九年级上·北京·期末）若，则的结果是（　　） A．7 B．9 C．﹣9 D．11 【变式12 -2】（2024·北京·模拟预测）若，，则 ． 【变式12 -3】（2023·北京·模拟预测）若，则的值为 ． 【变式12 -4】（2024·北京·模拟预测）若，，则 ． 故答案为：3 乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形. 题型13 乘法公式的几何验证 【例13】（2022·北京·模拟预测）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（    ） A． B． C． D． 【变式13 -1】（2021·北京顺义·一模）将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式13 -2】（2020·北京密云·二模）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式13 -3】（2020·北京·模拟预测）下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式： ． 思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解. 命题点四 整式化简求值（高频考点） 题型01 整式化简-直接代入法 【例1】（2022·北京·模拟预测）已知，则式子的值是 ． 【变式1 -1】（22-23七年级下·广东梅州·期中）当，时，求代数式的值． 题型02 整式化简-间接代入法 【例2】（21-22九年级·北京东城·期末）先化简，再求值：，其中. 【变式2 -1】（2024·北京·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式2 -2】（2024·北京·二模）先化简，再求值：，其中m，n满足． 题型03整式化简-整体代入法 【例3】（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ． 【变式3 -1】（2024·北京·模拟预测）已知∶，求代数式的值． 【变式3 -2】（2023·北京朝阳·二模）已知，求代数式的值． 题型04整式化简-数形结合法 【例4】（2023·北京·模拟预测）（1）如图，数轴上，两点所表示的数分别是，，则 ， ， 0；（填“”或“”） （2）先化简，再从（）中的数轴上，之间任取一个你喜欢的整数作为的值，代入化简的结果并求值． 【变式4 -1】（22-23九年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中，在数轴上表示数的点在原点左侧，且到原点的距离为． 题型05整式化简-利用“无关”求值 【例5】（21-22九年级上·北京·期末）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关． （1）求m、n的值； （2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值． 【变式5 -1】（23-24九年级上·北京·期末）先化简，再求值：当代数式的值与字母的取值无关时，求代数式的值． 命题点五 因式分解 题型01 判断因式分解 【例1】（2020·北京·一模）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -1】（23-24九年级下·北京·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型02 选用合适的方法因式分解 【例2】（2022·北京·模拟预测）分解因式： ． 【变式2 -1】（2020·北京·模拟预测）分解因式： ． 【变式2 -2】（2020·北京海淀·三模）分解因式： ． 【变式2 -3】（2023·北京·模拟预测）如果多项式只能因式分解为，则 ． 题型03 与因式分解有关的探究题 【例3】（2024·北京·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【变式21 -1】（2024·北京·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 基础巩固 一、单选题 1．（2021·北京东城·二模）下列式子中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·北京门头沟·二模）下列运算中，正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2021·北京丰台·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·北京东城·二模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京·模拟预测）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·广东中山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2016年初中毕业升学考试（北京卷）数学）右图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ． 9．（2020·北京·二模）右图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ． 10．（2023·北京海淀·一模）分解因式： ． 11．（2023·北京顺义·一模）分解因式： ． 12．（2024·北京东城·二模）因式分解： ． 13．（2024·北京西城·二模）分解因式： ． 14．（2024·北京·三模）因式分解： ． 15．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 16．（2024·北京海淀·模拟预测）分解因式： ． 17．（2022·北京房山·一模）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗 棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）． 18．（2022·北京朝阳·一模）如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案，这些只有中国结图案的“小雪花”共有 个． 19．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 20．（2023·北京石景山·一模）如图，小明将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为 ． 21．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） 22．（2024·北京·三模）如果实数满足方程组，那么 ． 三、解答题 23．（2024·北京·三模）已知 ， 求代数式 的值． 24．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 25．（2022·北京房山·二模）已知，求代数式的值． 26．（2024·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 27．（23-24九年级下·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 28．（2022·北京·一模）如图所示，纸片甲、乙分别是长方形和正方形，将甲、乙纸片沿对角线，剪开，不重叠无空隙地拼接起来，其中间部分恰好可以放入一张正方形纸片，与甲、乙纸片一起组成纸片丙的四边形，设，． (1)求纸片乙的边长（用含字母、的代数式表示）； (2)探究纸片乙、丙面积之间的数量关系． 29．（2023·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 30．（2024·北京通州·一模）已知，求代数式的值． 能力提升 1．（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（2020·北京东城·一模）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（　　） A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b 3．（2022·北京·模拟预测）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（　　） A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 二、填空题 4．（2023·北京海淀·二模）四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，． （1）若，则，，中与距离最小的点为 ； （2）若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有 个． 5．（2022·北京·二模）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用表示．例如多项式，当时，多项式的值为．已知多项式，若，则的值为 ． 6．（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 7．（2024·北京·模拟预测）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 8．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 三、解答题 9．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 10．（2023·北京海淀·一模）已知求代数式的值． 11．（2023·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 12．（2023·北京海淀·一模）已知，求代数式的值． $$