精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性学业反馈数学试卷

2024级高一上期12月阶段性学业反馈 数学 2024年12月27日 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果. 【详解】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算. 故选：B. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由可得且，解得或， 即或，又， 故. 故选：D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与且 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数定义域和对应法则一一判断即可. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同， 故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为R，且的定义域为R， 且，故两函数为同一函数，B正确； C选项，两函数定义域均为R，且与对应法则不同，不是同一函数，C错误； D选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，D错误. 故选：B 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，B，利用赋值法即可判断正误；对于选项C，D，利用中间量结合指数函数与对数函数的单调性比较大小即可判断. 【详解】对于A，由，当时，，故A错误； 对于B，，当，时， ，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：D 5. 已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长. 【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为， 所以，扇形的面积为， 当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时， 如下图所示： 取的中点，则，且，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及二次函数的性质即可结合分类求解. 【详解】当时， 时，，时，， 要使值域为，则，解得， 当时， 时，， 时，， 此时无法使得值域为， 综上可得 故选：A 7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值. 【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍， 即， 即， 化简可得， 故选：A. 8. 已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积. 【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到， 图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积， ，由得，解得， 所以的定义域为， 则有，函数的图象关于点成中心对称， 又，且点与点也关于点成中心对称， ， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减， 如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是， 也即图象与两坐标轴围成的图形面积为. 故选：C 【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列表述正确的是（ ） A. “”是的终边落在第一象限或落在第四象限的既不充分又不必要条件 B. 连续函数在区间内有且仅有一个零点，则必有 C. 函数的单调递减区间是 D. 恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，举出反例得到充分性和必要性均不成立，A正确；B选项，举出反例；C选项，解不等式，得到定义域，并结合复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，满足，但的终边不在第一象限且不在第四象限，充分性不成立， 的终边落在第一象限，但，故必要性不成立， 所以 “”是的终边落在第一象限或落在第四象限的既不充分又不必要条件，A正确； B选项，定义域为R，其中，且在上有唯一的零点0， 但，B错误； C选项，令，解得或， 故的定义域为， 由于在上单调递增，且在上单调递减， 由复合函数单调性满足同增异减可知，的单调递减区间是，C错误； D选项，恒成立， 若，此时，满足要求， 若，需满足，解得， 综上，，D正确. 故选：AD 10. 函数且过定点A，若，则下列结论正确的是（ ） A. 定点A的坐标为 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为0 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数过定点确定的坐标即可判断A；根据定点可得，结合基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断B；由等式，可得，结合二次函数求最值即可判断C；根据不等式结合对数函数的性质求解最值即可判断D. 【详解】函数且中，令得，又， 则函数过定点，故A不正确； 又，所以，即， 则， 当且仅当，即时，取到最小值为3，故B正确； 由可得， 又，所以，即，当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 故当且，即时，的最小值为，故C不正确； 由于，又， 所以，即，当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为0，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数的定义列方程，结合幂函数的性质列不等式，由此可求. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，① 因为函数在上为增函数， 所以，② 由①可得或， 又， 所以. 故答案为：. 13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合二次方程根与系数关系可得，，结合的范围可得所以，再由同角关系结合齐次化的方法求结果. 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 所以，， 又，所以，故， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以. 故答案为：. 14. 已知实数p，q满足，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式分别化简，，转化为两个函数的交点，利用数形结合的方法即可求得. 【详解】由，可得，由可知，即，则 即，即，则方程的解即为交点的横坐标， 方程，即关于的方程的解，即交点的横坐标， 因为互为反函数，所以它们关于对称，所以 的交点即为的交点和的交点的中点，作出函数图像如图所示， 联立方程，解得，即，所以 则. 故答案为：3 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，非空集合 （1）若“命题”是真命题，求的取值范围； （2）若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【小问1详解】 解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; 【小问2详解】 ； 由为真，则， . 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若A的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简，根据A的横坐标为求出余弦值，再分情况讨论求出正弦值，即可求的值； （2）根据求出，将原式变形为，再弦化切即可求得答案. 【小问1详解】 由题， 若A的横坐标为，则 当时，； 当时，； 【小问2详解】 因为，所以. 所以. 17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【答案】（1）选择模型②， （2），441（万元） 【解析】 【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式； （2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值. 【小问1详解】 由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②， 由，可得，解得， 由，解得， 所以与时间的变化的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知： 所以. 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441（万元）. 18. 已知函数，函数 （1）证明函数的奇偶性，并求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由于函数的定义域为且，关于原点对称； 又，故为奇函数； 则； （2） 函数在上单调递减，证明如下： 当时，， 设 由于且， 故，则， 因此， 故函数在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性即可求解； （3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且在上单调递减，为单调递增函数， 所以在上单调递减， 所以在上的值域为， ，即 整理得： 即在内有两不等实根， 令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根， 整理得：，令，则， 故题设等价于函数与在有两个不同的交点， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，且时，，如图， 所以函数在上值域为. ，即. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有： （1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元. （2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知联立解方程组可得，代入所求表达式可证明题设中等式； （2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足的等式变形（都化为对数函数形式，然后由对数运算化简函数式，进而证明它小于0，得证结论成立； （3）确定函数的奇偶性与单调性，然后化简不等式为，由换元法，令，由单调性求得的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论求函数的最值，解不等式得参数范围． 【小问1详解】 ， 所以，； 下面证明：， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以，显然在上为增函数， 且， 则在上存在唯一的实数，使， 所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是， 而在上是增函数，则有， 因此，所以 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 得，即，即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题指数函数的不等式转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上期12月阶段性学业反馈 数学 2024年12月27日 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与且 C. 与 D. 与 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 5. 已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 2 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列表述正确的是（ ） A. “”是的终边落在第一象限或落在第四象限的既不充分又不必要条件 B. 连续函数在区间内有且仅有一个零点，则必有 C. 函数的单调递减区间是 D. 恒成立，则 10. 函数且过定点A，若，则下列结论正确的是（ ） A. 定点A的坐标为 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为0 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是__________. 13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________. 14. 已知实数p，q满足，，则______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，非空集合 （1）若“命题”是真命题，求的取值范围； （2）若“命题”是真命题，求的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若A的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 18. 已知函数，函数 （1）证明函数的奇偶性，并求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $