第07讲 数列的应用（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第07讲 数列的应用 课程标准 学习目标 1.理解并掌握“等额本金还款法”、“等额本息还款法”及应用； 2.理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数列的其他应用； 1.掌握等差数列、等比数列的性质，熟记通项公式与求和公式； 2.能用数列知识求解分歧还款、政府支的“乘数”效应以及其他的实际问题； 3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养。 知识点01 分期还款 1.等额本金还款法 将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，一次这种方式中，每期还款金额= 2.等额本息还款法 将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一次还钱数相等，即，每期还款金额=，其中为贷款时的资金，为银行贷款月利率，为还款总期数（单位：月） 【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可 【详解】由已知条件和分期付款公式，可得 ， ∴． 故选：C 知识点02 政府支出的“乘数”效应 1.政府支出的“乘数”效应定义 为落实惠民政策，假设正负增加某项支出为亿元，每个受惠的居民会将额外收入以的比率用于国内消费（最初政府支出也算是国内消费）。如果设第轮消费的金额为亿元，那么，经过轮影响之后，最后的国内消费总额是。最后的国内消费总额将会是亿元的倍数，也就是说有了“乘数”效应。 2.有关概念的理解 （1）“乘数”效应 ①“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度； ②财政政策乘数是研究财政收支变化对过国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数； （2） 政府支出：政府的财政支出（把政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出，政府在商品和服务商的一项采购，将会引发一系列的再支出。因此任何一届政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是收缩性政策，在采取动作前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害。 【即学即练2】（24-25高二上·全国·单元测试）某工厂2024年1月的生产总值为万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2025年8月底该厂的生产总值为 万元. 【答案】 【分析】利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由已知可得2024年1月到2025年8月底每月的生产总值是以为首项， 公比为的等比数列， 则到2025年8月底该厂的生产总值为万元. 故答案为：. 题型01 分期付款问题 【典例1】（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前项和公式列出方程求出结果． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以， 解得. 故选：D． 【变式1】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（    ）（精确到0.01元，参考数据） A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元 【答案】B 【分析】首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果. 【详解】设每一期所还款数为元， 因为贷款的月利率为， 所以每期所还款本金依次为， 则， 即， ， ， ， 即李华每个月所要还款约元. 故选：B. 【变式3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 【变式4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（    ） A．等额本金方案，所有的利息和为2340元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据等额本金的还款方案分析计算即可，对于C，等额本息的还款方案分析判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，利息和为（元），故A正确； 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，本息和应为10030元，故B正确； 对于C，设第个月贷款利息为，偿还本金为，为贷款总额， 则，，则， ，则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列，所以C正确; 对于D，由选项C可知，，得， 所以每月还款的本息和为， 所以等额本息还款利息和为 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 题型02 产值增长问题 【典例2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【变式1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【答案】C 【分析】该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论. 【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，其中，， 则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台， 因为 ， 当时，，即，此时，数列单调递增， 即； 当且时，，即，此时，数列单调递减， 即， 因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·河南·期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（    ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是（万元）． 故选：C． 【变式3】（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式； （2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果； （3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值. 【详解】（1）解：由题意，得， 第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去， 则. （2）解：将化成， 对比，可得，解得， 所以，（1）中的递推公式可表示为. （3）解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，则， 所以， . 【变式4】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，，． 【答案】(1)， (2)年 【分析】（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可求解； （2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解． 【详解】（1）解：因为年投入为万元，以后每年投入将比上一年减少， 第年投入为， 所以，年内的总投入为 ， 因为年旅游业收入为万元，今后的旅游业收入每年会比上一年增加， 则第年旅游业收入为， 所以，年内的旅游业总收入为 . （2）解：设至少经过年，旅游业的总收入才能超讨总投入，即， 即， 令，则，整理可得， 因为，则，解得， 所以，，则，则， 又因为，则，故至少到年，旅游业的总收入才能超过总投入. 题型03 数列中的繁殖问题 【典例3】（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（    ）       A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案. 【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围， 依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：， 则， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和， 即， 综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可. 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示： 雌 雄 由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数列的综合应用，要求考生能从实际问题中抽象出数列的递推关系式，能利用等差数列解决实际问题． 【详解】设子n代中占比为，则占比为， 所以，则子代的基因型如下表所示： 雌 雄 由表可知，表格中总份数为（其中淘汰了份）， 因此子代中的占比为， 化简得，即，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，因此． 故答案为：. 题型04 数列中的图推问题 【典例4】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方. 记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 .    【答案】65 【分析】由列之和都相等，等差数列求总和，再除以列数即可. 【详解】由阶幻方填入，共列， 这个数字之和为，由这列之和都相等， 则每一列和. 故. 故答案为：65. 【变式1】（24-25高二下·上海·单元测试）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远． (1)求第3阶段“黄金数学草”的高度； (2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） (3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米） 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】（1）结合“黄金数学草”生长特征，依次表示各阶段生长的长度和高度，求和即得； （2）设设第阶段“黄金数学草”生长的长度为，根据“黄金数学草”生长特征，判定组成以1为首项，为公比的等比数列，计算出相同长度的条数，利用等比数列求和公式计算即得； （3）设第阶段“黄金数学草”生长的高度为，依题，当是奇数时，，当为偶数时，，分组求得“数学黄金草”的总高度为，再求其极限即得. 【详解】（1）依题意，第一阶段生长的长度为1，高度为1； 第二阶段生长的长度为，生长的高度为， 第三阶段生长的长度为，生长的高度为， 故第3阶段“黄金数学草”的高度为：； （2）设第阶段“黄金数学草”生长的长度为，依题意组成以1为首项，为公比的等比数列， 则第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和为， 因是首项为1，公比为2的等比数列，故数列是一个首项为1，公比为的等比数列， 于是, 故第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和约为米. （3）设第阶段“黄金数学草”生长的高度为，此时“数学黄金草”的总高度为. 依题意知，当是奇数时，，当为偶数时，， 即,则， 当为偶数时，因， 则, 当为奇数时，因， 则. 即该“黄金数学草”最终能长米高. 【点睛】思路点睛：本题主要考查等比数列的实际应用，属于难题. 解题思路在于熟悉问题情境，弄清楚各个阶段，数列的项之间的内在联系，构建等比或等差数列，利用基本量的运算即得. 【变式2】（24-25高一上·重庆·开学考试）如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第个图中有个◆，利用题设所给条件，找出后项与前项的规律，即可求出结果. 【详解】设第个图中有个◆， 由题有，，，， 按此规律有，所以，，， 故选：C. 【变式3】（23-24高二下·全国·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1849既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用累加法分别求出，，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可． 【详解】解：三角形数构成数列，3，6，10，， 易发现，，，，， 累加得，， ， 显然满足上式， ， 正方形数构成数列，4，9，16，， 易发现，，，，， 累加得， ，显然满足上式，， 对于A，， ，故A正确； 对于B，令，得， ，， 无正整数解，即1849不是三角形数， 令，，即1849是正方形数，故B错误； 对于C，， ，故C正确； 对于D，取，且， 令，有， 故，，总存在，，使得成立，故D正确． 故选：ACD 【变式4】（23-24高二下·北京怀柔·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    【答案】 48 【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍， 因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48. 设第个图形的周长为，则周长之间的关系为， 所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以. 故答案为：48；. 一、单选题 1．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 【答案】C 【解析】设n个小时后才可以驾车， 根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为 进而可得方程得，即， 所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车．故选C． 2．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2．25 2．4 2．73 2．88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元． A．10373 B．10396 C．10422 D．10456 【答案】D 【解析】由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%， 所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456．故选：. 3．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 【答案】B 【解析】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元）， 所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间.故选：B 4．（2023·全国·高二期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ） A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时 【答案】B 【解析】检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a， 则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为，故选：B. 5．（22-23高二下·辽宁大连·期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得， 第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款为：,， ……， 第10个月末所欠银行贷款为： 由于分10次还清所有的欠款，故，解得， 故选：D． 6．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息（ ）元. （参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法， 则存满年后的本息和为， 故而共得利息元. 将元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满年后的利息为， 故可以多获利息.故选：B 7．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 【答案】C 【解析】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是（万元）．故选：C． 8．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（    ）    A．mm B．mm C．mm D．mm 【答案】B 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出. 【详解】轧辊的周长为， 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有，所以， 而， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以，即. 故选：B 二、多选题 9．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】ABD 【解析】由，得当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对； 对于B选项，当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对； 对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错； 对于D选项，当时，， 故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.故选：ABD. 10.（2023·海南儋州·高二校考阶段练习）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（ ） A． B．数列的递推关系是 C．数列为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 【答案】ACD 【解析】根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确； ，B不正确； ∵，则 即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确； ，即 令，则 至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；故选：ACD． 11．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（2023·全国·高二专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ． 【答案】 【解析】由题意得， ，. 13．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有 万元.（参考数据：，，） 【答案】24 【解析】由题知，2021年的投入在结算时的收入为， 2022年的投入在结算时的收入为， ， 2030年的投入在结算时的收入为， 则结算时的总投资及收益为：①， 则②， 由①-②得，， 则 。 四、解答题 14．（22-23高二下·湖北·期中）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，， 【答案】(1)290000元 (2)王先生该笔贷款能够获批 【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息； （2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论. 【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和. 则，故. 故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元. （2）设王先生每月还货额为元，则有 ， 即， 故. 因为，故王先生该笔贷款能够获批. 15．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】(1)， (2)乙超市在第7年将被收购 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【详解】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. （2）当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 16．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 17．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)12年，万元. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式. （2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得. 【详解】（1）依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以 ，. （2）设该车的年平均费用为S万元， ， 则有仅当，即时取等号， 所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 数列的应用 课程标准 学习目标 1.理解并掌握“等额本金还款法”、“等额本息还款法”及应用； 2.理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数列的其他应用； 1.掌握等差数列、等比数列的性质，熟记通项公式与求和公式； 2.能用数列知识求解分歧还款、政府支的“乘数”效应以及其他的实际问题； 3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养。 知识点01 分期还款 1.等额本金还款法 将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，一次这种方式中，每期还款金额= 2.等额本息还款法 将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一次还钱数相等，即，每期还款金额=，其中为贷款时的资金，为银行贷款月利率，为还款总期数（单位：月） 【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 政府支出的“乘数”效应 1.政府支出的“乘数”效应定义 为落实惠民政策，假设正负增加某项支出为亿元，每个受惠的居民会将额外收入以的比率用于国内消费（最初政府支出也算是国内消费）。如果设第轮消费的金额为亿元，那么，经过轮影响之后，最后的国内消费总额是。最后的国内消费总额将会是亿元的倍数，也就是说有了“乘数”效应。 2.有关概念的理解 （1）“乘数”效应 ①“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度； ②财政政策乘数是研究财政收支变化对过国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数； （2） 政府支出：政府的财政支出（把政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出，政府在商品和服务商的一项采购，将会引发一系列的再支出。因此任何一届政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是收缩性政策，在采取动作前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害。 【即学即练2】（24-25高二上·全国·单元测试）某工厂2024年1月的生产总值为万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2025年8月底该厂的生产总值为 万元. 题型01 分期付款问题 【典例1】（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（    ）（精确到0.01元，参考数据） A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元 【变式3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（    ） A．等额本金方案，所有的利息和为2340元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 题型02 产值增长问题 【典例2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【变式1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【变式2】（23-24高二上·河南·期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（    ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 【变式3】（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 【变式4】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，，． 题型03 数列中的繁殖问题 【典例3】（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（    ）       A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示： 雌 雄 由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为 ． 题型04 数列中的图推问题 【典例4】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方. 记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 .    【变式1】（24-25高二下·上海·单元测试）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远． (1)求第3阶段“黄金数学草”的高度； (2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） (3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米） 【变式2】（24-25高一上·重庆·开学考试）如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·全国·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1849既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 【变式4】（23-24高二下·北京怀柔·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    一、单选题 1．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 2．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2．25 2．4 2．73 2．88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元． A．10373 B．10396 C．10422 D．10456 3．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 4．（2023·全国·高二期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ） A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时 5．（22-23高二下·辽宁大连·期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 6．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息（ ）元. （参考数据：，，，） A． B． C． D． 7．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 8．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（    ）    A．mm B．mm C．mm D．mm 二、多选题 9．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 10.（2023·海南儋州·高二校考阶段练习）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（ ） A． B．数列的递推关系是 C．数列为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 11．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 三、填空题 12．（2023·全国·高二专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ． 13．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有 万元.（参考数据：，，） 四、解答题 14．（22-23高二下·湖北·期中）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，， 15．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 16．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 17．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$