(思维训练)二 长方体（一）-【训练达人】2024-2025学年五年级下册数学（北师大版）

数学思维训练围 长方体（一) 典例讲解1 一个正方体有六个面，每个面分别标有A、B、C,D、E、F六个字母。下面是这个正方体 的三种不同的摆法，请判断每一个面对面的字母。 B B E A对面的字母是 :B对面的字母是 ;F对面的字母是 【点拨】两个面只要相邻就不再是相对面，根据正方体的特征利用排除法解答。 举一反三1 1.有五个相同的小正方体排成一排（如图所示），想一想，5点的对面是( )点，2点的对 面是( )点。 ZZ。+Z☑ 进网…北 2.如图是A、B、C、D四个正方体中( )的平面展开图。 0 ( A B D 3.如图，有一个无盖的正方体纸盒，底面标有字母“M”,沿图中红色线将其剪开，想一想， 它展开的平面图形是()。 小学数学五年级下册 典例讲解2 把一个棱长为18cm的正方体木块切割成3个相同的长方体，切割成的3个长方体的棱 长总和比原来正方体的棱长总和增加多少厘米？ 【点拨】根据条件“切割成3个相同的长方体”要切两次，可增加4个正方形面，进而可以 求出增加的棱长总和。 举一反三2 1.用两个相同的正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和比原来两个正方体 积木的棱长总和减少了32cm,这两个正方体积木的棱长总和是多少厘米？ 2.一个长方体被截成两个完全相同的正方体，如果两个正方体的棱长总和比原来长方体 的棱长总和增加了16cm,那么原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 4PDD 数学思维训练 典例讲解3 把一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增 加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 6 【点拨】有三种情况：平行于上下面切割、平行于左右面切割、平行于前后面切割，然后比 较这三种情况的大小即可。 举一反三3 1.如图将一个长45cm,截面是正方形的长方体，截去5cm长的小长方体，表面积减少 80cm,求原来长方体的表面积。 40 cm 5cm 2.在一个棱长为5cm的正方体中挖去一个棱长为2cm的小正方体。求剩下图形的表 面积。 bDp5 小学数学五年级下册 典例讲解4 用4个边长为6cm的正方体积木拼成一个长方体，求拼成的长方体的表面积最大是多 少？最小是多少？ 【点拨】结合因数、倍数相关知识考虑不同的摆放情况，得到摆成的长方体的长、宽、高， 进而结合长方体的表面积公式解答即可。 举一反三4 1.用12个边长为1cm的正方体木块拼成不同的长方体，可以摆出几种？拼成的长方体 的表面积最大是多少？最小是多少？ 2.笑笑计划将10个长10cm、宽6cm、高4cm的长方体礼品盒用一个大的彩色包装纸包 装起来（接口忽略不计），请问最少需要多少平方厘米的彩色包装纸？ 6◆Db答案详析面 方法二：通过画图可得， B选项中根据展开图中符号的位置，○应该 名++培+品+2++8 在这个正方体的下面，而其在上面，不符合： C选项中根据展开图中符号的位置，☐应该 =1128 1 在这个正方体的左侧面，●应该在这个正方 贸 体的下面，全部满足也就是看不到的位置 (左面或后面或下面)，符合要求； 长方体（一）】 D选项中根据展开图中符号的位置，○应该 在这个正方体的上面，而且在看不到的位置 典例讲解1 (左面或后面或下面)，不符合。 【思路分析】如图： 【规范解答】C B的对面不 方法：“根据相邻不相 对”运用排除法解题 3.A【提示】用排除法解答。 是A、F B的对面是D 典例讲解2 B的对面不 【思路分析】根据题目要求得到3个长方体要 是C、E : A的对面是C 切两次，如图所示，共增加4个正方形面，每个 E的对面不 正方形有4条边，所以增加4×4=16（条）棱， 是C、B 进而可以求出增加的棱长总和。 >E的对面是F E的对面不 多出1个面，即多出4条棱 是A、D 【规范解答】CDE 举一反三1 1.【思路分析】注意观察左起第1、2、5个小正 多出4个面，即多出4×=16（条）棱 方体，我们不难发现5点与6点、3点、1点、 2点都相邻，所以这些点不会是5点的对 【规范解答】(3-1)×2×4×18=288(cm) 面，因此5点的对面是4点；同理，2点与 答：比原来正方体的棱长总和增加288cm。 3点、1点、5点相邻，又4点与5点相对，故 举一反三2 4点也不可能是2点的对面，因此2点与 1.【思路分析】如图所示，两个正方体拼在一 6点相对。 起相当于减少了2个面，即减少了2×4= 【规范解答】46 8(条)棱，再用32÷8求出每条棱的长度，进 2.【思路分析】根据三个符号的位置，充分发 而求出这两个正方体积木的棱长总和。 挥空间想象力，逐项分析。 A选项中根据展开图中符号的位置，☐应该 在这个正方体的上面，而且在看不到的位置 【规范解答】32÷(2×4)×12×2=96(cm) (左面或后面或下面)，不符合； 答：这两个正方体积木的棱长总和是96cm。 ◆◆19 小学数学五年级1下册 2.【思路分析】根据题意得，截成两个完全相 平行于最大面切割；要想增加的面积最少，就 同的正方体后多出8条棱，这8条棱全都相 要平行于最小面切割。 等，则可以求出一个正方体的棱长，长方体 举一反三3 的长为两条棱长的和，长方体的宽和高都等 1.【思路分析】根据题意得： 于正方体的棱长，则可以求出长方体的棱长 截去5cm长的小长方体，面积减少了 总和。 80cm,实际上减少的是4个相同的小长方 形的面积和为80cm2,如图所示： 5 cm 【规范解答】 方法一：16÷8=2(cm) 用80除以4可以求出一个小长方形的面 2+2=4(cm) 积，再用这个小长方形的面积除以5可以求 (4+2+2)×4=32(cm) 出小长方形的宽，也就是原长方体的宽和 方法二：16÷8=2(cm) 高。长、宽、高都有了，长方体的表面积直接 2×12=24(cm) 利用公式可求。 24×2=48(cm) 【规范解答】 48-16=32(cm) 长方体的宽（高）： 答：原来长方体的棱长总和是32cm。 80÷4÷5=4(cm) 典例讲解3 原长方体的表面积： 【思路分析】把原长方体切割成两个完全相同 (45×4十45×4十4×4)×2=752(cm2) 的长方体后，会增加2个相同的面，有以下三 答：原来长方体的表面积是752cm2。 种情况：（单位：cm) 2.【思路分析】根据题意，可以产生3种不同 的挖法。如图所示： 增加面的面积和： 长是6cm 6×4×2=48(cm2)(图一) 增加的两个面。 增加的四个面 宽是5cm, 增加面的面积和： 6×5×2=60(cm2)(图二)】 1什2cm 高是4cm。 增加面的面积和： 4×5×2=40(cm2)(图三) 5 cm 5 cm 5 cm 图一 图二 图三 图三 (1)如图一所示，在顶点处挖去一个小正方 【规范解答】最多增加：6×5X2=60(cm2) 体，对大正方体而言，减少了上面、前面和右 最少增加：4×5×2=40(cm2) 面3个面的面积，但同时又增加了后面、左 答：表面积最多增加60cm2,最少增加40cm2. 面和下面3个面的面积。因此，表面积没有 【方法提示】把一个大长方体切割成两个完全 变化。即剩下图形的表面积为5×5×6= 相同的小长方体，要想增加的面积最多，就要 150(cm)。 20 答案详析 (2)如图二所示，在棱上挖去一个小正方体。 【规范解答】情况一： 同样道理，减少了上面和前面2个面的面 新图形的长为4×6=24(cm),宽为6cm、高为 积，但同时又增加了后面、左面、右面和下面 6cm。 4个面的面积。因此，相当于表面积在原来 表面积为：(24×6十24×6+6×6)×2= 648(cm) 正方体表面积的基础上又增加4一2= 情况二： 2(个)小正方形的面积。所以，剩下图形的 新图形长（高）为2×6=12(cm),宽为6cm. 表面积为5×5×6+2×2×2-158(cm2)。 表面积为：(12×12+12×6+12×6)×2= (3)如图三所示，在面上挖去一个小正方体， 576(cm2) 减少了上面的面积，增加了前面、后面、左 648>576 面、右面和下面5个面的面积，因此，相当于 答：拼成的长方体的表面积最大是648cm2, 在原来正方体表面积的基础上又增加5一1= 最小是576cm2。 4(个)小正方形的面积。所以，剩下图形的 举一反三4 表面积为5×5×6+2×2×4=166(cm2)。 1.【思路分析】这个问题同典例分析，共有 【规范解答】 12块木块，12=1×12=2×6=3×4=3× (1)图一剩下图形的表面积为 2×2,所以可以有以下4种摆放方式： 5×5×6=150(cm2) (2)图二剩下图形的表面积为 方式一 5×5×6+2×2×2=158(cm2) (3)图三剩下图形的表面积为 5×5×6+2×2×4=166(cm2) 方式二 典例讲解4 【思路分析】这个问题需要考虑不同的摆放情 方式三 况，如果结合因数、倍数相关知识会更加简便。 首先长方体由4个正方体摆成，可以考虑4= 1×4=2×2,所以有以下两种摆放方式： 方式四 摆成的长方体的长、宽、高均可以表示，然后 再结合长方体的表面积公式解答，再比较大 方式一 方式二 小即可。 摆成的长方体的长、宽、高均可以表示出来，然 【规范解答】 后再结合长方体的表面积公式解答，再比较大 方式一：新图形的长为12cm、宽（高）为 小即可。 1cm。 ◆◆21 小学数学五年级1下册 表面积： 【规范解答】最少用包装纸的摆放形式中， (12×1+12×1+1×1)×2=50(cm2) 长为6×2=12(cm) 方式二：新图形的长为6cm,宽为2cm,高 宽为10cm 为1cm。 高为4×5=20(cm) 表面积： 表面积为(12×10+12×20+10×20)×2= (6×2+6×1+2×1)×2=40(cm2) 1120(cm2) 方式三：新图形的长为4cm,宽为3cm,高 答：最少需要1120cm2的彩色包装纸。 为1cm。 表面积： 月 分数乘法 (4×3+4×1+3×1)×2=38(cm2) 典例讲解1 方式四：新图形的长为3cm,宽（高）为 【思路分析】观察此题，可以看出2025可以拆 2cm。 表面积： 分成(2024+1)的形式，或者是把82拆分成 (3×2+3×2+2×2)×2=32(cm2) （1一20)的形式，然后可以按照乘法分配律 50>40>38>32 进行计算。 答：可以摆成4种不同的长方体，拼成的长 方体的表面积最大是50cm2,最小是 【规范解答】方法一： 2025×2023 2024 32cm2. =(2024+1)×2023 2.【思路分析】根据题意与我们学过的包装的 2024 学问的内容，要使所用的彩色包装纸的面积 =2024 2023+1× 2023 2024 2024 最小，关键是把较大的面重叠起来。用包装 2023 纸最少的包装方法如下图所示： =2023+ 2024 =20232024 2023 方法二： 2025×2023 2024 =2025×(1 1 4×5 202) 2025 =2025 2024 10 =20232023 2024 6×2 现在图形的长为6×2=12(cm),宽为 举一反三1 10cm,高为4×5-20(cm),根据长方体的 1.【思路分析】观察发现，上面式子中分子都 表面积公式求解即可。 是1，我们可以把分数拆分成两个分数单位 22D