精品解析：四川省资阳市安岳县2023—2024学年 九年级上学期数学期末学业质量检测

安岳县2023—2024学年度上期期末学业质量检测 九年级上册·数学 第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 二次根式中的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x≤﹣2 C. x＞﹣2 D. x≥﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案． 【详解】由题意，得 2x+4≥0， 解得x≥-2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 2. 如果，，则的值是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 在一个不透明的布袋里装有3个白球和若干个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是白球的概率为，则黄球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式求数量，设黄球的个数为个，根据概率公式列出关于的方程，解之可得． 【详解】解：设黄球的个数为个， 则， 解得， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式加、减、乘、除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根， ∴ ， 解得：k≤ 且k≠1． 故选D． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．先设，则，根据垂直平分线的性质可得到，然后根据长求出x的值，再利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴设，则， 又∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：A． 8. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为9，则k的值为（ ） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与解三角形的综合应用，反比例函数k的几何意义．根据平面几何知识得，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出，进而可求出的面积，则k的值可求出得选项． 【详解】解：， ， 又M、N是的三等分点， ，， ， 又四边形的面积为9， ， 解得， 又， ， ． 由函数图象可知：， ， 故选：A． 9. 一元二次方程：M：ax2+bx+c=0； N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论： ①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根； ②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同； ③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可． 【详解】①两个方程根的判别式都是=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确； ②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确； ③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误． 正确的是①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式=b2-4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 10. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，①利用四点共圆证明即可；②设，求出，即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形的面积为；④利用相似三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∵E是边的中点，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴，即，故②正确， 根据对称性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是：①②④； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 12. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率， 先求出正方形的面积，再求出阴影部分的面积，然后根据面积比得出答案． 【详解】，， 所以针落在内部的概率是． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 14. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年年底有5G用户3万户，计划到2023年年底全市5G用户达到9.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用该市2023年底全市5G用户数=该市2021年底全市5G用户数全市5G用户数年平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为______海里． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、方向角的概念是解题的关键．如图作于E．在中，求出，在中，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，作于E． 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵海里， ∴（海里）， 在中，∵， ∴（海里）， 故答案为：100． 16. 如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形及平行线的性质，通过计算得到本题的规律是解决本题的关键．得到规律计算解题即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵与直线所夹的锐角为， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴，； ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，同时还考查了二次根式的混合运算． （1）将各二次根式化简合并后再进行除法运算即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 18. 先化简，再求代数式：的值，其中a=2sin60°+tan45°． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可． 【详解】原式＝ = = = = 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的化简求值 特殊角的三角函数值. 19. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，请在网格中画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，再顺次连接即可得到； （2）根据位似图形的性质即可画出以点O为位似中心的位似图形即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了作图一位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换． 20. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数），并求出扇形统计图中的圆心角的度数； （3）该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）300 （2） 补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用B组人数和百分比即可求解出共被调查的人数； （2）利用总人数减去A，B，C，E组的人数即可求解D组人数，再补全统计图即可；由乘以D组的占比即可得到圆心角的大小； （3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：共调查总人数为：（人）； 【小问2详解】 解：D组人数为：（人）， 由题意可得：； 【小问3详解】 解：记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果， ． 21. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为400台；每台售价为45万元时，年销售量为350台．该设备的年销售量y（单位：台）与销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数表达式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于55万元．如果该公司想获得6000万元的年利润，该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一元二次方程的应用， 对于（1），设一次函数关系式为，再将两组值代入得到方程组，求出解即可； 对于（2），根据销售量乘以单件利润等于6000列出方程，再求出解，并舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以函数表达式为； 【小问2详解】 根据题意，得： ， 解得， 因为销售单价不得高于55万元， 所以． 所以设备的销售单价是50万元． 22. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） （1）求斜坡的高； （2）求古树的高．（结果保留一位小数） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作与点， 延长交于，根据斜坡的坡度可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出与的长，故可得出结论； （2）由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作与点， 延长交于， ∵斜坡的坡度米， ∴设米， 则米， 在中， ，即， 解得， 米， 米， 答：斜坡的高为米； 【小问2详解】 解：， ∴四边形是矩形， 米，米， 米，米， 在中， ， 米， 米， 答： 古树的高AB约为米． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： （1）以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； （2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 【答案】（1）② （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）据倍根方程定义判断即可； （2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到； （3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①， ， ，， ∴方程不是倍根方程； ②， ，， ∴方程是倍根方程； 【小问2详解】 解：由得： ，， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴或， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”， ∴根据题意得：， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此倍根方程为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 24. 如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为． （1）求证：四边形是正方形； （2）探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明∵四边形是正方形， ，， ，， ， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴四边形是正方形； （2） 解：， 理由如下：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是正方形，则，， ，，， 则， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由，，结合可得四边形是矩形，再由，即可得证； （2）连接，只需证即可得； （3）证得，设，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ，点B、E、F三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 则由，得， ，则， ， ∴由得， 解得：，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳县2023—2024学年度上期期末学业质量检测 九年级上册·数学 第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 二次根式中的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x≤﹣2 C. x＞﹣2 D. x≥﹣2 2. 如果，，则的值是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 3. 在一个不透明的布袋里装有3个白球和若干个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是白球的概率为，则黄球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 8. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为9，则k的值为（ ） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 9. 一元二次方程：M：ax2+bx+c=0； N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论： ①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根； ②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同； ③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是______． 13. 若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 14. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年年底有5G用户3万户，计划到2023年年底全市5G用户达到9.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为，则可列方程为______． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为______海里． 16. 如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段______． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求代数式：的值，其中a=2sin60°+tan45°． 19. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，请在网格中画出，并直接写出点的坐标． 20. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数），并求出扇形统计图中的圆心角的度数； （3）该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为400台；每台售价为45万元时，年销售量为350台．该设备的年销售量y（单位：台）与销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数表达式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于55万元．如果该公司想获得6000万元的年利润，该设备的销售单价应是多少万元？ 22. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） （1）求斜坡的高； （2）求古树的高．（结果保留一位小数） 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： （1）以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； （2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； （3）若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 24. 如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为． （1）求证：四边形是正方形； （2）探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $