精品解析：甘肃省天水市麦积区2021-2022学年上学期九年级数学期中检测试题

麦积区2021-2022学年度第一学期期中考检测试题 九年级数学 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1. 若表示二次根式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ） A. y2﹣y﹣2＝0 B. y2＋5y﹣2＝0 C. y2﹣y﹣1＝0 D. y2﹣2y﹣1＝0 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有等腰三角形都相似 C. 角相等四边形都相似 D. 等边三角形都相似 6. 若可以合并为一项，则可以是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A 1 B. 4 C. D. 8. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（　 　） A. 2025 B. 2015 C. 2021 D. 2019 9. 一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ） A B. C. D. 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 二、填空题(每空4分，共32分) 11. 在比例尺1∶8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4厘米，则太原到北京的实际距离为______千米． 12. 若的值为零，则的值为______． 13. 将一元二次方程化成的形式，则_______． 14. 定义一种新的运算“@”，“@”的运算法则为：，则______． 15. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是___________. 16. 方程（m-1）+3x+5=0为一元二次方程，则m的值为___． 17. 若y＝，则x+y的值为 ____． 18. 如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______． 三、解答题（本题共78分） 19. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中． 20. 解下列方程 （1）； （2）． 21. 如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： （1）的值． （2）的值． 22. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件? 23. 已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围： （2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值． 24. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）经过几秒时，的面积等于矩形面积的？ 25. 已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－4)2＝0. (1)求a，b，c值； (2)判断以a，b，c的值为边长能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 26. 先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 麦积区2021-2022学年度第一学期期中考检测试题 九年级数学 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1. 若表示二次根式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；据此逐一判断即可得答案． 【详解】A.中被开方数含分数，故该选项不是最简二次根式， B.中被开方数含能开得尽方的因数，故该选项不是最简二次根式， C.中被开方数是小数，故该选项不是最简二次根式， D.符合最简二次根式的定义，是最简二次根式， 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的判断，最简二次根式须满足下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式；掌握最简二次根式的概念是解题关键． 3. 把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ） A. y2﹣y﹣2＝0 B. y2＋5y﹣2＝0 C. y2﹣y﹣1＝0 D. y2﹣2y﹣1＝0 【答案】A 【解析】 【分析】把一元二次方程去括号、移项、合并同类项得到一般式即可． 【详解】解：y2＋2（y﹣1）＝3y， 去括号得，y2＋2y﹣2＝3y， 移项得，y2＋2y﹣2-3y＝0， 合并同类项得，y2-y﹣2＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用等式的性质和整式的运算法则进行计算． 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用比例的基本性质计算即可． 【详解】∵2x=5y， ∴=， 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有等腰三角形都相似 C. 角相等的四边形都相似 D. 等边三角形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、矩形的四个角相等，四条边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； B、所有等腰三角形不一定相似，只有顶角对应相等或底角对应相等才相似，故本选项错误； C、角相等的四边形，四条边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； D、等边三角形三个角均相等且对应边成比例，符合相似三角形的判定；故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形，注意从对应角和对应边两个方面考虑求解． 6. 若可以合并为一项，则可以是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项的的值代入二次根式，化简后，再确定与是不是同类二次根式，从而可得答案. 【详解】解：可以合并为一项， 与是同类二次根式， 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与是同类二次根式；故符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式的识别，掌握同类二次根式的含义是解题的关键. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 8. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（　 　） A. 2025 B. 2015 C. 2021 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的一个解是x=1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的一个解是x=1， ∴a+b+1=0， ∴a+b=-1， ∴2020-a-b =2020-（a+b） =2020-（-1） =2020+1 =2021， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 9. 一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案 【详解】解：设它的最大边长为， ∵两个四边形相似， ∴， 解得， 即该四边形最大边长为． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点， 且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x， ∴， ∴（20−x）2＝20x， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 二、填空题(每空4分，共32分) 11. 在比例尺1∶8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4厘米，则太原到北京的实际距离为______千米． 【答案】512 【解析】 【分析】根据比例尺，列出比例式求解即可． 【详解】解：设太原到北京的实际距离为x厘米， ∵比例尺1∶8000000， ∴6.4：x=1∶8000000， 解得，x=51200000， 51200000厘米=512千米， 故答案为：512． 【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是明确比例尺意义，列出比例式，准确求解． 12. 若的值为零，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴=0且x+2≠0， 即=0且x≠-2， 解得：x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 13. 将一元二次方程化成的形式，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，求出a与b的值，即可求出a+b的值． 【详解】解：方程x2+2x+1=5， 配方得：（x+1）2=5， 可得a=1，b=5， 则a+b=1+5=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 定义一种新的运算“@”，“@”的运算法则为：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列式计算，先算小括号里面的，然后算括号外面的． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是理解新定义运算法则，掌握二次根式的性质，正确化简二次根式． 15. 如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB=3，BC=5，EF=4， ∴， ∴DE=． 故答案： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 16. 方程（m-1）+3x+5=0为一元二次方程，则m的值为___． 【答案】-1 【解析】 【分析】把含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的概念即可完成． 【详解】由题意得：且m-1≠0 解得：m=－1 即当m=－1时，方程（m-1）+3x+5=0是一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为，其中a≠0，且a，b，c是常数，理解概念是关键． 17. 若y＝，则x+y的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可． 【详解】解：由题意得：2x-1≥0，1-2x≥0， 解得：x=， ∴y=3， ∴x+y=+3=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似图形性质即可求解； 【详解】矩形矩形， ∴，即， 整理得，， 解得，（舍去），， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似图象的性质，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本题共78分） 19. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值的性质求解即可得到答案； （2）先利用平方差公式和整式的计算法则进行化简，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，零指数幂，化简绝对值，整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 21. 如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： （1）的值． （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线． （1）由可得，代入数值计算即可； （2）由可得，计算出的值，代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故； 【小问2详解】 ∵， ∴， 即，解得， ∴． 22. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件? 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为 （2）第一次降价后至少要售出该种商品20件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程或不等式是解决问题得关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价”，列出方程，解方程即可得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，或（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为． 【小问2详解】 设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件， 第一次降价后的单件利润为：（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：（元/件）． 依题意得：， 解得：， 即：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品20件． 23. 已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围： （2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值． 【答案】（1）k的取值范围为k≤8；（2）k＝﹣11 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解不等式即可得到k的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝k+1，则，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，利用因式分解法解得k1＝11，k2＝﹣11，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2． ∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8， ∴k的取值范围为k≤8； （2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2． ∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1， ∵， ∴， ∴，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0， ∴k1＝11，k2＝﹣11， ∵k≤8， ∴k＝﹣11． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 24. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）经过几秒时，的面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒 【解析】 【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，根据三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB=（6-y）厘米，BQ=2y厘米，根据三角形、矩形的面积公式及△PBQ的面积等于矩形面积的，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设经过x秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米． 根据题意，得， 整理，得， 解得． 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）设经过y秒时，的面积等于矩形面积的， 则厘米，厘米， 根据题意，得，整理，得， 解得：． 答：经过秒或秒时，的面积等于矩形面积的． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－4)2＝0. (1)求a，b，c的值； (2)判断以a，b，c的值为边长能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）a＝，b＝，c＝4；（2）能，直角三角形，，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、二次根式、平方数的非负性求出a，b，c即可； （2）根据三角三边关系和勾股定理逆定理求解即可； 【详解】解：(1)∵a，b，c满足|a－|＋＋(c－4)2＝0， ∴|a－|＝0，＝0，(c－4)2＝0， 解得a＝，b＝，c＝4； (2)∵a＝，b＝，c＝4， ∴a＋b＝＋＞4＝c， ∴以a，b，c的值为边长能构成三角形． ∵a2＋b2＝()2＋（）2＝32，(4)2＝32， ∴a2＋b2＝c2， ∴此三角形是直角三角形． ∴S＝××＝． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形三边关系、绝对值的非负性、二次根式非负性，准确分析计算是解题的关键． 26. 先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是 _______； (2)化去式子分母中根号： _____．（直接写结果） (3) （填或） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017. 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到； ，然后进行大小比较； （4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1； （2）； （3），， ∵ ∴> ∴<； （4）原式= = =2018-1 =2017． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$