精品解析：2024-2025学年华东师大版九年级数学学期期中试题

2024-2025学年华师版九年级数学上册期中试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 无实数解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．先移项，再两边开方即可求出方程的解． 【详解】解：， 移项得， 开方得：， 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下面四组线段中，不能成比例的是（　　）． A. a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B. a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ C. a＝4，b＝4，c＝5，d＝10 D. a＝2，b＝，c＝，d＝2 【答案】C 【解析】 【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d．只要代入验证即可． 【详解】解：A、3：6=2：4，则a：b=c：d，即a，b，c，d成比例，不符合题意； B、1：=：，则a：b=d：c．故a，b，d，c成比例，不符合题意； C、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，符合题意； D、：2=：2，即b：a=c：d，故b，a，c，d成比例，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序． 4. 已知线段，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割性质得，进而可求解． 【详解】解：∵线段b是线段a上黄金分割的较长部分， ∴，又， ∴， 故选：B． 5. 下列二次根式中，最简二次根式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、|a|，可化简； B、=，可化简； C、=3，可化简； 因此只有D： =，不能开方，符合最简二次根式的条件． 故选D． 【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 6. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 7. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用，勾股定理与网格． 【详解】解：已知给出的三角形的三边按小到大分别为， A选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； B选项的三边按小到大排序是，与原三角形三边成比例，故该选项符合题意； C选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； D选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 已知、为质数且是方程的根，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、质数的定义，根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用质数求得，或，，再代值求解即可． 【详解】解：∵、为质数且是方程的根， ∴，则，或，， 当，时， 当，时，， 综上，的值是， 故选：B． 9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 10. 如图，在正方形中，点E、F分别为的中点，连接、，与交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．证明得到，，进而可判断①②；分别证明、，利用相似三角形的性质可判断③④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点E、F分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，所以②正确， ∵， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∴，又， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，又， ∴， ∴，即，故④错误； 综上，正确的有3个， 故选：C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12. 如果，那么_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的减法、代数式求值，将已知代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13. 一元二次方程有实数根，其根为 _________ （用a，b，c表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若===0.5，则 =_____. 【答案】0.5 【解析】 【详解】试题解析：由，得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f， 所以==0.5 15. 如图，中，，，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，证明得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图所示，四边形和均为正方形，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．证明，得到，即可求解． 证明 【详解】解：连接、， ∵四边形和均为正方形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共9小题，共86分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确求解是解答的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式的运算即可； （2）先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选用方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：方程化为， 则， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：方程化， 配方，得， 即， 开平方，得， ∴，． 19. 已知：，且，求，，的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设得出，，根据题意求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，，． 20. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【答案】两岸之间的大致距离为100米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 21. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 22. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】（1）10%；（2）23． 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100－m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键． 23. 数学定理的证明是数学知识体系的基础，它确保了数学理论的严谨性和可靠性．其次，定理的证明有于提高助思维能力和创新能力． （1）证明相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，请画出示意图，写出已知与求证，并证明此定理． （2）请利用（1）证明的定理解决第（2）小题，如图；在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点．与是否垂直？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）与垂直，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形到判定定理是解答的关键． （1）根据定理叙述画出图形，写出已知，求证，然后利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明即可； （2）设，则，进而证明，由（1）中定理可证明，则，进而证得即可得出结论． 【小问1详解】 解：已知：如图，在和中，，， 求证：． 证明：在中，在截取，过D作，交于E， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：与垂直，理由： ∵正方形， ∴； ∵， ∴设， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与垂直． 24. 已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点(不与B，C点重合)，． （1）求证：； （2）设，，求y关于x的函数关系式， （3）当时，求的长是多少？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证得，，进而利用相似三角形的判定可得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例列比例式求解即可； （3）将代入（2）中函数关系式求解x值即可． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵中，，， ∴， ∵，，， ∴，即， 整理，得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 整理，得，， 即的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 25. 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． （1）请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； （2）求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； （3）证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【答案】（1），，证明见解析； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知，； （2）由（1）知，，，则有，由相似三角形的对应边成比例，可得，再把已知数据代入求解即可． （3）如图，将绕点A顺时针旋转至位置，则，，，旋转角．连接，证得△EAD≌△HAD，进而得到，根据，利用勾股定理可得，继而即可求解． 【小问1详解】 解：，，理由如下： ∵， ∴ 又 ∴； 同理可得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴ 又∵是等腰直角三角形，且， ∴，又，， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角． 连接，在和中， ∵，，． ∴， ∴， 又， ∴， 即． ∴在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年华师版九年级数学上册期中试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 无实数解 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四组线段中，不能成比例的是（　　）． A. a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B. a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ C. a＝4，b＝4，c＝5，d＝10 D. a＝2，b＝，c＝，d＝2 4. 已知线段，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 7. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ） A. B. C D. 8. 已知、为质数且是方程的根，那么的值是（ ） A. B. C. D. 9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E、F分别为的中点，连接、，与交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11 比较大小：______． 12. 如果，那么_________． 13. 一元二次方程有实数根，其根 _________ （用a，b，c表示） 14. 若===0.5，则 =_____. 15. 如图，中，，，若，，则_________． 16. 如图所示，四边形和均为正方形，则____________． 三．解答题（本题共9小题，共86分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）； 18. 解下列方程： （1） （2）（配方法） 19. 已知：，且，求，，的值． 20. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 21. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 22. 某种商品标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 23. 数学定理的证明是数学知识体系的基础，它确保了数学理论的严谨性和可靠性．其次，定理的证明有于提高助思维能力和创新能力． （1）证明相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，请画出示意图，写出已知与求证，并证明此定理． （2）请利用（1）证明的定理解决第（2）小题，如图；在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点．与是否垂直？为什么？ 24. 已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点(不与B，C点重合)，． （1）求证：； （2）设，，求y关于x的函数关系式， （3）当时，求的长是多少？ 25. 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． （1）请在图中找出一对相似而不全等三角形，并对其进行证明； （2）求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； （3）证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$