九年级数学开学摸底考（湖北专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义解答：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得， 选项A、C、D均不是轴对称图形，选项B是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．用直接开平方法解方程，得方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】两边同时开平方得，，因此，，. 3．圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，设的度数分别为，根据圆内接四边形的性质列出方程是解题的关键． 【详解】解：解：设的度数分别为， 由圆内接四边形的性质可知，， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月 【答案】A 【分析】必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，和不可能事件统称为确定事件，由此即可求解． 【详解】解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件， 故选：． 【点睛】本题主要考查随件事件，必然事件与概率的问题，理解必然事件的概念，概率的描述是解题的关键． 5．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A．±2 B．2 C．- 2 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题关键． 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全班的人数，可得出每个同学需送出张相片，再利用全班同学送出的相片的张数=全班的人数×（全班人数），即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班有名学生， 每个同学需送出张相片， 依题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要明确题意，找准等量关系． 7．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 8．如图，于，若的直径为，，则长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出的长是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ，的直径为， ， 于， ， ， ， 故选：D． 9．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据该抛物线的解析式可求得对称轴为直线x=1，再根据已知得y1=y2≤0，可分a＜0和a＞0，根据二次函数的性质讨论列出关于a的不等式组即可求解． 【详解】解：由题意，该抛物线的对称轴为直线， ∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2， ∵四个数中有且只有一个大于零， ∴y1=y2≤0， 当a＜0时，抛物线开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+ ＜3＜4， ∴y3、y4必小于0，不符合题意， ∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴y3≤0、y4＞0， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的性质，得出a＞0和y3≤0、y4＞0是解答的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、， 即二元一次方程的根为、， 由根与系数的关系得：，， 一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧， ，为异号， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用． 12．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，   ， ， ， ， ， 的长为， 故答案：． 13．某校为迎接全国“创文创未”检查工作，从3名教师（其中，2男1女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创未”的相关检查工作，则恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为 ． 【答案】 【分析】列表将所有可能的结果表示出来，利用概率的定义求解即可． 【详解】解：根据题意列表得： 男1 男2 女 男1 男2男1 女男1 男2 男1男2 女男2 女 男1女 男2女 共有6种等可能出现的结果，其中恰好选中1名男教师和1名女教师的有4种结果， 恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．如图，在等腰△ABC中，，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键会是综合应用这些知识解题． 15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线BE在x轴上，若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的三个顶点，则该抛物线的解析式为 【答案】 【分析】根据题意确定抛物线过B,C,F三个顶点,由正六边形性质求出点的坐标,待定系数法即可解题. 【详解】解：设CD与y轴交于点G,连接OC,过点C作CH⊥x轴于H, ∵CD=2, ∴CG=1,CH=,∠COH=60°（正六边形性质） ∴C(-1,-),F(1,),B(-2,0) ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的三个顶点， ∴抛物线过B,C,F三个顶点, ∴,解得：, ∴二次函数的解析式为. 【点睛】本题考查待定系数法求解二次函数解析式,中等难度,确定函数过点B,C,F是解题关键. 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴；（3分） （2）解： ∴或 ∴．（6分） 【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 17．（6分） 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴；（2分） （2）解：∵， ∴， 整理得，（4分） ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且．（6分） 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 18． （7分） 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于； 故答案为：．（3分） （2）解：据题意，可以画出如下的树状图：     （5分） 由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种． ∴．（7分） 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19． （7分） 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出△ABC向右平移个单位长度后得到的； (2)画出△ABC关于原点对称后得到的； (3)已知的三个顶点的坐标分别为，，，可以由△ABC变换得到，试写出一种具体的变换过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)把向右平移个单位，再关于直线对称可以得到 【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形、轴对称图形，掌握平移和中心对称图形的性质是解题的关键． （）根据平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）画出平移前后的图形，根据轴对称图形即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2分） （2）解：如图所示，即为所求； （4分） （3）解：如图，由图可知，把向右平移个单位，再关于直线对称可以得到． （7分） 20． （8分） 如图，在中，为非直径弦，以为边作△ABC，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是△ABC的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式等； （1）连接，，，由线段垂直平分线判定定理得由等腰三角形的性质得，从而可得，即可求证； （2）由垂径定理得，设，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，可求出，由即可求解； 掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 点D是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ， 即， 是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：由（1）可知，， 在中， ， ， ， ， 设，则有 ， 在中， ， ， 解得：，(舍去)，（6分） ， ．（8分） 21． （8分） 云南昭通苹果因其独特的品质和特点而闻名，种植于高原季风性立体气候中，海拔高达2300米，有利于养分积累．昭通苹果外观颜色鲜艳，通常为深红色或浅红色，具有很高的 光泽度；果肉细腻，酸甜适中，风味浓郁，口感脆甜，具有糖心；更是含有丰富的维生素C、 钾、镁等矿物质，以及一种特殊的苹果酸，具有清热解毒、生津止渴的功效．已知昭通苹果的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天昭通苹果的销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求y 与x 的函数关系式； (2)求这一天销售昭通苹果获得的最大利润． 【答案】(1) (2)最大利润为3840元． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，分为和，运用待定系数法求解析式可以得解； （2）依据题意，根据“利润 (售价成本)销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大值，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：当，， 当时，设 把，代入 可得出：， 解得：， ∴． ∴（4分） （2）由题意，设利润为W， 则当时， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大 当时，， 当时， ， ∵ ∴W随x的增大而增大， 当时，． ∵， ∴最大利润为3840元．（8分） 22． （10分） 如图1，△ABC与都是等边三角形，边长分别为4和，连接，为△ABC的高，连接，N为的中点． (1)求证：； (2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，，然后根据证明三角形全等即可； （2）证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴；（4分） （2）解：∵为等边的高， ∴，， ∴， ∵，（6分） ∴，，即G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，（8分） ∴， ∵N为的中点， ∴．（10分） 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 23． （11分） 已知，，，连接．    (1)如图1，，点在线段上，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接并延长交于点，交于点，平分． ①求证：； ②当，时，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，推出，由等角对等边可得，即可得出结论； （2）①利用“ASA”证明，即可得出结论；②延长交于点．连接，由推出，再利用“ASA”证明，则，由可得，利用勾股定理求得，根据的面积求得，进一步利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形．（3分） （2）①证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ．（7分） ②解：延长交于点．连接，    ， ， ， ， 又， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ．（11分） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 24．（12分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ；（3分） （2）解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或．（12分） 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．用直接开平方法解方程，得方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 3．圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月 5．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A．±2 B．2 C．- 2 D．不能确定 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，于，若的直径为，，则长为（    ）. A． B． C． D． 9．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 10．抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可） 12．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    13．某校为迎接全国“创文创未”检查工作，从3名教师（其中，2男1女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创未”的相关检查工作，则恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为 ． 14．如图，在等腰△ABC中，，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是 15．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线BE在x轴上，若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的三个顶点，则该抛物线的解析式为 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 解下列方程： (1)； (2)． 17．（6分） 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 18． （7分） 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 19． （7分） 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出△ABC向右平移个单位长度后得到的； (2)画出△ABC关于原点对称后得到的； (3)已知的三个顶点的坐标分别为，，，可以由△ABC变换得到，试写出一种具体的变换过程． 20． （8分） 如图，在中，为非直径弦，以为边作△ABC，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是△ABC的角平分线． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求阴影部分的面积． 21． （8分） 云南昭通苹果因其独特的品质和特点而闻名，种植于高原季风性立体气候中，海拔高达2300米，有利于养分积累．昭通苹果外观颜色鲜艳，通常为深红色或浅红色，具有很高的 光泽度；果肉细腻，酸甜适中，风味浓郁，口感脆甜，具有糖心；更是含有丰富的维生素C、 钾、镁等矿物质，以及一种特殊的苹果酸，具有清热解毒、生津止渴的功效．已知昭通苹果的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天昭通苹果的销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求y 与x 的函数关系式； (2)求这一天销售昭通苹果获得的最大利润． 22． （10分） 如图1，△ABC与都是等边三角形，边长分别为4和，连接，为△ABC的高，连接，N为的中点． (1)求证：； (2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； 23． （11分） 已知，，，连接．    (1)如图1，，点在线段上，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接并延长交于点，交于点，平分． ①求证：； ②当，时，求的长． 24．（12分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共1 5 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 6 ．（ 6 分） (1) ； (2) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 ．（ 6 分） 1 8 ．（ 7 分） （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （8分） 21.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 1 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 12分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A B C D D D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（答案不唯一,小于0即可） 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 【详解】（1）解： ∴ ∴；（3分） （2）解： ∴或 ∴．（6分） 【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 17．（6分） 【详解】（1）解：∵， ∴；（2分） （2）解：∵， ∴， 整理得，（4分） ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且．（6分） 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 18． （7分） 【详解】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于； 故答案为：．（3分） （2）解：据题意，可以画出如下的树状图：     （5分） 由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种． ∴．（7分） 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19． （7分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2分） （2）解：如图所示，即为所求； （4分） （3）解：如图，由图可知，把向右平移个单位，再关于直线对称可以得到． （7分） 20． （8分） 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 点D是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ， 即， 是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：由（1）可知，， 在中， ， ， ， ， 设，则有 ， 在中， ， ， 解得：，(舍去)，（6分） ， ．（8分） 21． （8分） 【详解】（1）解：由题意得：当，， 当时，设 把，代入 可得出：， 解得：， ∴． ∴（4分） （2）由题意，设利润为W， 则当时， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大 当时，， 当时， ， ∵ ∴W随x的增大而增大， 当时，． ∵， ∴最大利润为3840元．（8分） 22． （10分） 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴；（4分） （2）解：∵为等边的高， ∴，， ∴， ∵，（6分） ∴，，即G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，（8分） ∴， ∵N为的中点， ∴．（10分） 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 23． （11分） 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形．（3分） （2）①证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ．（7分） ②解：延长交于点．连接，    ， ， ， ， 又， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ．（11分） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 24．（12分） 【详解】（1）解：由题意得， ；（3分） （2）解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或．（12分） 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$