湖北孝感高级中学阳光实验班2024年 招生数学试题

湖北省孝感高级中学2024年阳光实验班考试试卷 数    学 ★祝大家考试顺利★ 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、毕业学校、报名号、考号、姓名填写在答题卡上指定的位置。 2．本试卷各题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本试卷上答题无效。 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） ( A B C D )1．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 2．若，，则代数式的值为（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 3．如图，∠ACB＝60°，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，O滚动的弧长为（ ） A．2 B． C． D．4 4．已知，，且，则的值为（ ） A．2 B．0 C．-1 D．-2 5．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑因供不应求，连续两次提价10%，而乙电脑因外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9801元售出。若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场的盈利情况是 （ ） A．前后相同 B．少赚598元 C．多赚980.1元 D．多赚490.05元 ( A B C E D )6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是 AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线 交射线CA于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示 y与x函数关系的图象大致是（ ） ( A． B． C． D． O O O O x x x x y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ) 7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）． A． cm B． 9 cm C．cm D．cm 8．一个几何体的三视图如图所示（单位：）， 则该几何体的表面积为（ ）m2 A. B. C. D. 9．函数的图象大致位置如图所示，则代数式，，，，，中，值为正数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多( )道. A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 11．函数的最小值为 . 12．已知关于x的方程有两个正整数根（m 是整数），那么该方程的两根之和等于 . 13．已知点A、B的坐标分别为（0，1）、（2，0），若二次函数的图象与线段AB恰有一个公共点，则实数a的取值范围是__________________. 14．长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为 . 第一次操作 第二次操作 15．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的分数段统计表和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： ( 分数段 [50，60 ) [60，70 ) [70，80 ) [80，90 ) [90，100] 人数 2 7 10 ● 2 ) （1）频率分布直方图中 间的矩形的高为 . （2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率为 . 16．把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标. 例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（－1，2）,则（1）点（－3，－3）对应的数是_____；（2）2012的对应点的坐标是_______. 三、解答题（本大题共5小题，第17—19题每小题12分，第20题13分，第21题15分，共64分） 17．已知实数满足等式，求分式 的值. 18．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少？（以千元为单位） 19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长． 20．已知二次函数，当时，y的最大值为-3，求a的值. 21．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN//BC交AC于点N.以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN，令AM=x . （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S. （2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值. 自主招生考试数学试卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省孝感高级中学2024年阳光实验班招生考试 数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B B D C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 11． 2 12． 5 13． 14． 15． ， 16． 43 ， 注：第14－16题每对一个结果3分. 三、解答题（本大题共5小题，第17—19题每小题12分，第20题13分，第21题15分，共64分） 17.解：由 得 所以 于是 ………………………………………………6分 原式 ………………………………………………12分 18.解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有 ………………………………………6分 总产值 ……………………8分 ∵z≥60， ∴x+y≤300， 而3x+y=360， ∴ ∴x≥30， ∴A≤1050， 即x=30，y=270，z=60．…………………………………………………………11分 答：每周生产空调30台、彩电270台、冰箱60台时产量最高，最高产量为1050千元．…………………………………………………………………………12分 19.解（1）证明：连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°． ∴∠OCA+∠ACD=90°． ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC． ∵∠DAC=∠ACD，∴∠0AC+∠CAD=90°． ∴∠OAD=90°．∴AD是⊙O的切线．………………………………4分 （2）解：连接BG； ∵OC=6cm，EC=8cm， ∴在Rt△CEO中，OE==10． ∴AE=OE+OA=16． ∵AF⊥ED， ∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E． ∴Rt△AEF∽Rt△OEC．∴ ． 即：，∴AF=9.6． ………………………………8分 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB=90°． ∴∠AGB=∠AFE． ∵∠BAG=∠EAF， ∴Rt△ABG∽Rt△AEF．∴． 即：， ∴AG=7.2． ∴GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4（cm）． ………………………………12分 20. 解：（1）若，即，抛物线开口向上，则当时， ∵二次函数最大值﹣3，即，解得：………………………6分 （2）若，抛物线开口向上，则当时， ∵二次函数最大值﹣3，即，解得：……………12分 综上所述，或． ……………………………………………13分 21.解（1） △∽△ABC. △MNP=S△AMN= ………………………5分 （2）随着点M的运动，当点P落在直线BC上时，连结AP，则点O为AP的中点. △∽△ABP. . ………………………………………7分 故以下分两种情况讨论： ①当时， 当时，. ………………………………………9分 ②当时，设PM，PN分别交BC于E，F. 四边形MBFN是矩形. PN//AM，PN=AM=x. 又MN//BC, 四边形MBFN是平行四边形 FN=BM= PF=. 又△∽△ACB. 即当 当. ……………………………………………13分 综上所述， 当时，y取最大值2. ……………………………………………15分 学科网（北京）股份有限公司 $$