精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

24-25学年度八年级上期期中阶段性综合练习 数学试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 为你点赞，你是最棒的！下列四种表情图片都可以用来为你点赞！其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 3. 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能作2021条对角线，那么这个多边形是（ ） A. 2022边形 B. 2023边形 C. 2024边形 D. 2025边形 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（ ） A. AE＝3CE B. AE＝2CE C. AE＝BD D. BC＝2CE 5. 一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 6. 以下是在钝角三角形中画边上的高，其中画法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的值是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ） A. 一个角是的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 腰长相等的两个等腰直角三角形 D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形 9. 如图，P是的三条内角平分线的交点，若，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小 10. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 二、填空题（共5小题；共15分） 11. 点P关于x轴对称的点是（3，-4），则点P的坐标是___________． 12. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 13. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接，则的周长为________． 14. 如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________. 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为________厘米/秒时，能够使与全等． 三、解答题（共8小题；共75分） 16. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），如图，已知，点在上． （1）作的平分线； （2）过点作的垂线． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC=80°，∠B=60°，求∠DAE的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标直接写答案：______； （3）的面积为______； （4）在轴上画出点，使最小． 19. 小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 20. 如图，已知：，，，，、、分别为垂足， 且，交于. （1）判断，并说明理由. （2）判断是不是等腰三角形？并说明理由. 21. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，阅读下列材料，回答问题． 【任务】如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． 【工具】如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用． 小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①【测量过程】如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②【求解过程】由测量知，，， ∵，∴，∴（米）． 答：A、B两点之间的距离为c米． （1）小明求得，用到的几何知识是____________________； （2）小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 23. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年度八年级上期期中阶段性综合练习 数学试题 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 为你点赞，你是最棒的！下列四种表情图片都可以用来为你点赞！其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形.据此解答即可. 【详解】A是轴对称图形，其余的不是轴对称图形. 故选A. 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键. 2. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时要根据已知条件进行选择运用．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 3. 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能作2021条对角线，那么这个多边形是（ ） A. 2022边形 B. 2023边形 C. 2024边形 D. 2025边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，经过边形的一个顶点的所有对角线有条，根据此关系式求边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， ， ， 这个多边形是边形． 故选：C． 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（ ） A. AE＝3CE B. AE＝2CE C. AE＝BD D. BC＝2CE 【答案】B 【解析】 【分析】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE，∠ABE=∠A=30°，根据直角三角形的性质可得：∠EBC=30°，CE=BE，即AE=BE=2CE. 【详解】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE； ∴∠ABE=∠A=30°； 又∵在中， ∠EBC=30°； ∴CE=BE， 即AE=BE=2CE. 故选B. 【点睛】本题主要考查了中垂线的性质和直角三角形的性质，掌握中垂线的性质和直角三角形的性质是解题的关键. 5. 一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：由题意得，这个多边形的边数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，熟知多边形外角和为360度是解题的关键． 6. 以下是在钝角三角形中画边上的高，其中画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到经过顶点A且与垂直的 所在的图形即可． 【详解】解：A、没有经过顶点A，不符合题意； B、不垂直于，不符合题意； C、垂足没有在上，不符合题意； D、高交的延长线于点D处，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高的画法，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高，熟练掌握此定义是解决问题的关键． 7. 如图，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：如图，、与分别相交于点、， 在四边形中，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理． 8. 下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ） A. 一个角是的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 腰长相等的两个等腰直角三角形 D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如、、、等） 【详解】解：、不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等； 、不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确； 、正确，因为符合； 、不正确，因为没有说明该角是顶角还是底角． 故选：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系． 9. 如图，P是的三条内角平分线的交点，若，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，于，于，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，求出，然后根据三角形三边关系定理求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 是的三条内角平分线的交点， ， ∴，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积计算，三角形三边关系定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． （1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确； （2）因为，故（）正确； （3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确； （4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误． 【详解】解：如图，作于E，于F． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 二、填空题（共5小题；共15分） 11. 点P关于x轴对称的点是（3，-4），则点P的坐标是___________． 【答案】（3，4） 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点P关于x轴对称的点是（3，-4）， 则点P的坐标是（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】题目主要考查关于x轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标的特征是解题关键． 12. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键． 在与中，已经有条件：，，所以补充，可以利用证明两个三角形全等即可． 【详解】解：在与中， ，， 所以补充：， ， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平移的性质得，，，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的周长． 【详解】平移两个单位得到的， ，， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， 的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 14. 如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】设点P关于OB的对称点为，关于OA的对称点为,当点M、N在上时，△PMN的周长最小． 【详解】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点 、 ，化PM+PN+MN为N+MN+M． 当、N、M、共线时，得△PMN周长的最小值，即线段 长，连接O、O，可得△O为等边三角形，所以=O=OP=8． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查轴对称——最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为________厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是弄清题意，分情况进行讨论．由全等三角形的判定，分两种情况讨论，当，时，，当，时，，再进一步即可解决问题． 【详解】解：设运动的时间是秒， （厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是2厘米秒； 当，时，， 是中点， 厘米， ∵， ∴， ， ∴厘米/秒． 当点的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时与全等． 故答案为：2或． 三、解答题（共8小题；共75分） 16. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），如图，已知，点在上． （1）作的平分线； （2）过点作的垂线． 【答案】（1） 为所求； （2） 为所求． 【解析】 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，作垂线，熟记作图方法是解本题的关键. （1）以O为圆心，在和上分别截取两线段使其相等，得到两个交点，再以这两点分别为圆心作圆，在内交于点C，连接即为的平分线； （2）以M为圆心，作一圆与射线交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，作直线即为的垂线． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC=80°，∠B=60°，求∠DAE的度数． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据△ABC的内角和定理得出∠C的度数，然后根据△ADC的内角和定理求出∠DAC的度数，最后根据角平分线的性质得出∠DAE的度数. 【详解】在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°﹣80°﹣60°=40°， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC=90°， 在△ADC中，∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC=25° 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标直接写答案：______； （3）的面积为______； （4）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1） 如图所示； （2）； （3）； （4）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换、三角形的面积两点之间线段最短等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）分别作出的对应点，即可； （2）根据的位置写出坐标即可； （3）利用分割法求出三角形的面积即可； （4）连接交轴于点，连接，此时的值最小，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 【小问4详解】 连接交轴于点，连接，,此时即为最小值，点即为所求． 19. 小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定的条件是解题的关键． 根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：路灯的高度是． 20. 如图，已知：，，，，、、分别为垂足， 且，交于. （1）判断，并说明理由. （2）判断是不是等腰三角形？并说明理由. 【答案】 （1）， 理由如下： ，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）是等腰三角形，理由如下： ，， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由垂线的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由垂线的性质可得，结合已知条件，利用即可得出结论； （2）由垂线的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，结合已知条件，于是可得，由对顶角相等可得，进而可得，然后根据等角对等边即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂线的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的判定方法是解题的关键． 21. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ，即． 22. 如图，阅读下列材料，回答问题． 【任务】如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． 【工具】如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用． 小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①【测量过程】如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②【求解过程】由测量知，，， ∵，∴，∴（米）． 答：A、B两点之间的距离为c米． （1）小明求得，用到的几何知识是____________________； （2）小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 【答案】（1）全等三角形判定与性质 （2） 解：如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放． ①测量米， ②测量， 然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D， ③使（需要测量，由旋转所得，不需要测量） ④最后测量米就是的距离． 求解过程： 在与中， ， ∴中， 米． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识点，理解题意、掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）通过作图构造全等三角形，将难以测量的转化为易测量的，再运用全等三角形的判定与性质进行推理即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质． 故答案为：全等三角形判定与性质． 【小问2详解】 略 23. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $