专题07 不等式与不等式组（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题07 不等式与不等式组 课标要求 考点 考向 1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质． 2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集． 3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题． 不等式与不等式组 考向一 求不等式组的解集 考向二 不等式组的整数解 考向三 已知不等式的解求参数 考点 不等式与不等式组 ►考向一 求不等式组的解集 解题技巧 （1）借助数轴进行求解.注意“≥、≤”用实心圆，“>、<”用空心圆. （2）两个不等式求公共解口诀：同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了. 1.（2024•青岛）解不等式组：； 2.（2024•日照）解不等式组 ►考向二 不等式组的整数解 1.（2024•淄博）解不等式组：并求所有整数解的和． 2.（2024•济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解． ►考向三 已知不等式的解求参数 1.（2024•烟台） 关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．若分式方程有增根，则 C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D．若，则 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 三、解答题 5．（2024·山东临沂·模拟预测）春节期间，乐乐一家去琅琊古城游玩．若买张单人门票，张普通通票花费元，若买张单人门票，张普通通票花费元． (1)单人门票和普通通票各多少元？ (2)乐乐一家门票花费预算不超过元，若贵宾通票比普通通票贵元，那么至多能买几张贵宾通票？ 6．（2024·山东青岛·模拟预测）计算和解不等式： 7．（2024·山东菏泽·三模）解答下列各题 求不等式组 的解集． 8．（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）根据条件，计算求值化简： 关于的不等式组恰好只有四个整数解，求的取值范围； 9．（23-24七年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 设x是实数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，． (1)比较大小：______x，______；（用“>”或“<”或“≥”或“≤”填空） (2)根据（1）中的关系式，求满足的x的取值范围． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）是否存在实数x，使得，且？请说明理由． 11．（24-25八年级上·山东烟台·期中）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 12．（24-25八年级上·山东滨州·期中）取哪些整数值时，不等式与都成立． 13．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 不等式与不等式组 课标要求 考点 考向 1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质． 2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集． 3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题． 不等式与不等式组 考向一 求不等式组的解集 考向二 不等式组的整数解 考向三 已知不等式的解求参数 考点 不等式与不等式组 ►考向一 求不等式组的解集 解题技巧 （1）借助数轴进行求解.注意“≥、≤”用实心圆，“>、<”用空心圆. （2）两个不等式求公共解口诀：同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了. 1.（2024•青岛）解不等式组：； 【答案】； 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可； 本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； 2.（2024•日照）解不等式组 【答案】    【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集． ►考向二 不等式组的整数解 1.（2024•淄博）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 2.（2024•济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 ►考向三 已知不等式的解求参数 1.（2024•烟台） 关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解不等式等，根据图象求出的取值范围是解题的关键． 先分析出当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，由此求出的取值范围，再根据不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， 当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， ， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．若分式方程有增根，则 C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是 D．若，则 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； 若关于x的方程有增根， ∴增根为 方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意； ∵关于x的不等式的解集是， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键. 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如果点在平面直角坐标系的第一象限，那么的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第一象限内， ∴， 解得：， 在数轴上表示为：    故选：D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分，即可得，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．（2024·山东临沂·模拟预测）春节期间，乐乐一家去琅琊古城游玩．若买张单人门票，张普通通票花费元，若买张单人门票，张普通通票花费元． (1)单人门票和普通通票各多少元？ (2)乐乐一家门票花费预算不超过元，若贵宾通票比普通通票贵元，那么至多能买几张贵宾通票？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式，弄懂题意，找出等量关系是解题的关键． （1）设单人门票票价为，普通通票票价为，依据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买张贵宾通票，则普通通票需要买张，依据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设单人门票票价为，普通通票票价为， 依据题意列出二元一次方程组如下： ， 由，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 答：单人门票票价为元，普通通票票价为元； （2）解：贵宾通票票价为（元）， 设买张贵宾通票，则普通通票需要买张， 依据题意列出一元一次不等式如下： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 答：至多能买张贵宾通票． 6．（2024·山东青岛·模拟预测）计算和解不等式： 【答案】无解 【分析】分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组无解． 7．（2024·山东菏泽·三模）解答下列各题 求不等式组 的解集． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 8．（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）根据条件，计算求值化简： 关于的不等式组恰好只有四个整数解，求的取值范围； 【答案】； 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围； 【详解】 解：解不等式组得，则， ∵该不等式组的解集恰好有四个整数解， ∴四个整数解为4、3、2、1， ∴，即； 9．（23-24七年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 设x是实数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，． (1)比较大小：______x，______；（用“>”或“<”或“≥”或“≤”填空） (2)根据（1）中的关系式，求满足的x的取值范围． 【答案】(1)≥，< (2) 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键． （1）利用，其中得出，进而得出答案； （2）利用（1）中所求，得出不等式组，进而得出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：≥，<； （2）解：∵， ∴， 解得：． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）是否存在实数x，使得，且？请说明理由． 【答案】不存在实数x，使得两个不等式都成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求两个不等式，求出对应的解集，看是否用公共解即可． 【详解】解：不存在实数x，使得两个不等式都成立，理由如下： 解不等式得，            解不等式得， ∴不存在实数x，使得两个不等式都成立． 11．（24-25八年级上·山东烟台·期中）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、分式的化简求值．首先解不等式组求出不等式组的解集为，可知不等式组的整数解是，再把分式化简可得：原式，把代入化简后的代数式中计算求值即可． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为：， 又取整数， ， ， 当时， 原式． 12．（24-25八年级上·山东滨州·期中）取哪些整数值时，不等式与都成立． 【答案】x的整数解为1和2 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法．分别解两个不等式，得到其解集，再确定同时满足两个不等式解集的整数即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴， x的整数解为1和2． 13．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$