精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市米东区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

米东区2024-2025学年第一学期九年级数学 期中质量检测试卷（问卷） （卷面分值：100分 检测时长：100分钟） 考生须知： 1．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共2页，要求在答题卷上答题，在问卷上答题无效． 2．答题前，请先在答题卷上认真填写学校、姓名和准考证号． 3．答题时，选择题答案必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写答案无效；在草稿纸、问卷上答题无效．答题时不允许使用计算器． 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）每题选项中只有一项符合要求． 1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图 2. 用配方法解方程x 2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，以下说法正确的是（　　） A. 其图像开口向下 B. 其顶点坐标为 C. 其图像的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得到的拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 8. 已知二次函数图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是( ) A. ①②③ B. ③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 10. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 11. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____． 12. 如图，点A(2，m)，B(－1，n)是抛物线上两点，直线y＝kx＋b经过A、B两点，不等式＞kx＋b的解集为_____________． 13. 已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若，则a的取值范围是_________． 三、解答题（共8小题，满分61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）四边形CBC1B1为　　　　 四边形； （3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标． 16. 某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 17. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 18. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19. 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 如图1，当点在线段上时，请你直接写出与的位置关系为______；线段、、的数量关系为______； 　　　 （2）猜想论证 当点在直线上运动时，如图2，是点在射线上，如图3，是点在射线上，请你写出这两种情况下，线段、、的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若，，请你直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 米东区2024-2025学年第一学期九年级数学 期中质量检测试卷（问卷） （卷面分值：100分 检测时长：100分钟） 考生须知： 1．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共2页，要求在答题卷上答题，在问卷上答题无效． 2．答题前，请先在答题卷上认真填写学校、姓名和准考证号． 3．答题时，选择题答案必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写答案无效；在草稿纸、问卷上答题无效．答题时不允许使用计算器． 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）每题选项中只有一项符合要求． 1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 用配方法解方程x 2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵x2＋2x−3＝0， ∴x2＋2x＝3， ∴x2＋2x＋1＝1＋3， ∴（x＋1）2＝4， 故选：D． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3. 关于二次函数，以下说法正确的是（　　） A. 其图像开口向下 B. 其顶点坐标为 C. 其图像的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数，根据二次函数解析中的二次项系数可判断选项A；根据顶点坐标可判断选项B；根据对称轴可判断选项C；根据增减性可判断选项D．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A．二次函数中的，则其图像开口向上，故此选项不符合题意； B．二次函数的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C．二次函数的对称轴是直线，故此选项符合题意； D．二次函数的对称轴是直线，其图像开口向上，则当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先计算，解不等式即可． 【详解】解：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ， ∴． 故选：D． 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 6. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得到的拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移之后二次函数的解析式为， 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 8. 已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是( ) A. ①②③ B. ③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，由二次函数的图像可判断，，的符号，可判断①；由和时对应函数值的符号可判断②；由时对应函数值的符号可判断③；由对称轴可得，代入，可判断④；比较当和时的函数值的大小，可判断⑤．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，且与轴的交点在轴的上方， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，故结论①不正确； 由图像可知： 当时对应点在轴上方，则， 当时对应点在轴下方，则， ∴，即， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，且当时图像在轴的上方， ∴时图像在轴上方， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，即， ∵当时，， ∴， ∴，故结论④正确； ∵二次函数的图像开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数值有最大值， 当时，， ∴， ∴，故结论⑤正确， ∴结论正确的是③④⑤． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点，点关于原点中心对称， ∴，， 则． 故答案为：1． 10. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形的一条对角线长为8，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】∵解方程， 即， 得：， ∵对角线长为，不能构成三角形； ∴菱形边长为． ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 11. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】在直角三角形中利用三角函数首先求得和的长，然后证明是等边三角形，根据即可求解． 【详解】解：直角中，，， ，， 又，， 是等边三角形， ， ． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了三角函数和旋转的性质，解题的关键是正确证明是等边三角形是关键． 12. 如图，点A(2，m)，B(－1，n)是抛物线上的两点，直线y＝kx＋b经过A、B两点，不等式＞kx＋b的解集为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点A、B坐标，再找出抛物线图象在直线上方的部分的x的取值范围即可得解． 【详解】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线上的两点， ∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线上方， 故不等式＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2． 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，数形结合是数学中的重要思想之一． 13. 已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若，则a的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据函数的最值确定函数的顶点坐标和开口方向，在根据函数的增减性，判断当时的函数值取值范围，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵当时，该函数取最大值12， ∴， ∴该函数对称轴为，函数开口向下； ∵， ∴当时，函数值大于0， 即，解得：， ∴a的取值范围：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数在顶点处取得最值，当函数有最大值时，开口向下，反之，开口向上． 三、解答题（共8小题，满分61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 15. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）四边形CBC1B1为　　　　 四边形； （3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）平行；（3）作图见解析，P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据平行四边形的判定即为判定． （3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题． 【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示． （2）连接CB1，BC1． ∵BC=B'C'，BC∥B'C'，∴四边形CBC1B1为平行四边形． 故答案为：平行． （3）如图所示，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）． 【点睛】本考查了中心对称作图和关于原点对称的性质，掌握相关的性质是解题的关键. 16. 某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价盈利减少的百分率为 （2）每件应降价60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【小问1详解】 解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 17. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是函数图象上点的特征． 18. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 19. 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 如图1，当点在线段上时，请你直接写出与的位置关系为______；线段、、的数量关系为______； 　　　 （2）猜想论证 当点在直线上运动时，如图2，是点在射线上，如图3，是点在射线上，请你写出这两种情况下，线段、、的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若，，请你直接写出的面积． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）72或2． 【解析】 【分析】（1）由已知条件可知，根据全等三角形的判定方法可证得，再利用全等三角形的性质对应边相等对应角相等，进而求得，． （2）方法同（1），根据全等三角形的判定方法可证得，进而求得结论． （3）在（1）、（2）的基础上，首先对第三问进行分类讨论并画出相应图形，然后求出，长，再将相应数据代入三角形的面积公式，进而求解． 【详解】（1）结论：， 证明：∵线段是由逆时针旋转得到的 ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在四边形中，， ∴ ∴ （2）由图2可得：，由图3可得： 证明：∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ （3）72或2 如图： ∵， ∴ ∵ ∴ 如图： ∵， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想，利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$