几何模型总结专题02：双角平分线模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题2 双角平分线模型 模型1:双角平分线模型（双内角） 【模型介绍】当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 【模型分析】 1.两内角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P； 结论：. 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P， ∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A）=90°+∠A. 模型2:双角平分线模型（一内角+一外角） 【模型介绍】当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半. 【模型分析】 2.一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A. 模型3.双角平分线模型（双外角） 【模型介绍】 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差. 【模型分析】 3.两外角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，. ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°-∠A. 【模型分层应用—基础】 1．（杭州市校级期中）如图，E是△ABC内一点，EA、EB分别是∠BAC与∠ABC的平分线，且ED⊥AB于点D，连接EC，则∠AED+∠BEC的度数为（　　） A．150° B．165° C．180° D．195° 2．（杭州西湖区校级模拟考）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．（2023秋•嘉兴校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD．下列结论中不正确的是（　　） A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DCE＝60° 4．（湖州长兴县级期末）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE＝DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（　　） A．BD﹣CE＝DE B．BD+CE＝DE C．CE﹣DE＝BD D．无法判断 5．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　23.5　°． 6．（2024秋•杭州拱墅区校级期中考）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　67°　． 7．（2020秋•西湖区校级月考）如图： （1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，若∠A＝70°，则∠BDC＝　125°　． （2）如图②，BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线且相交于点D，试找出∠A与∠BDC之间的数量关系 　　． 8．阅读下面的材料，并解决问题． 已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，试探求下列各图中∠A与∠O的关系． 如图1，∠O＝　 °　；如图2，∠O＝　 °　；如图3，∠O＝　 °　 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 °　． 【模型分层应用—综合】 1．（2019秋•衢州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论： ①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 2．（2024秋•温州校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 3．（2022秋•嘉兴期末）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2022BC与∠A2022CD的平分线交于点A2023，若∠A2023＝α，则∠A的值为（　　） A．2022α B．2023α C．22022α D．22023α 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于点F，在下列说法中错误的有（　　） ①∠BOC＝120°：②联结AO，则AO平分∠BAC：③OD＝OE： ④A、O、F三点在同一条直线上：⑤BD+CE＝BC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•期中）如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC交于点H，两个外角角平分线BM、CM交于点M，BE延长线交CM反向延长线于点N．则下列结论中：①OD平分∠BOC；②当∠BAC＝60°时，BC＝BF+CE；③∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；④∠BOC﹣∠M＝2∠N；⑤S△ABCOH（AB+BC+AC）；⑥BH（AB+BC﹣AC）．其中正确的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，连接AD，点E为BD中点．有下列结论：①∠BDC＝45°；②∠CED＝∠EDF；③；④S△ADE+S△CDF＝S△BCE．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 7．（2024秋•拱墅区月考）阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　 °　；如图2，∠O＝　 °　；如图3，∠O＝　 °　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　 　． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 双角平分线模型 模型1:双角平分线模型（双内角） 【模型介绍】当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 【模型分析】 1.两内角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P； 结论：. 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P， ∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A）=90°+∠A. 模型2:双角平分线模型（一内角+一外角） 【模型介绍】当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半. 【模型分析】 2.一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A. 模型3.双角平分线模型（双外角） 【模型介绍】 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差. 【模型分析】 3.两外角平分线的夹角模型 条件：如上图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，. ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°-∠A. 【模型分层应用—基础】 1．（杭州市校级期中）如图，E是△ABC内一点，EA、EB分别是∠BAC与∠ABC的平分线，且ED⊥AB于点D，连接EC，则∠AED+∠BEC的度数为（　　） A．150° B．165° C．180° D．195° 【答案】C 【解答】：∵EA、EB分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴EC是∠ACB平分线， ∴∠DAE∠BAC， ∠EBC∠ABC， ∠ECB∠ACB， ∴∠BEC＝180°∠ACB∠ABC＝90°∠BAC， ∵∠AED＝90°∠BAC， ∴∠AED+∠BEC＝180°．故选：C． 2．（杭州西湖区校级模拟考）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】B 【解答】：由作法得BP平分∠ABN， ∴∠PBN∠ABN140°＝70°， ∵OG平分∠MON， ∴∠BOP∠MON50°＝25°， ∵∠PBN＝∠POB+∠OPB， ∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°． 故选：B． 3．（2023秋•嘉兴校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD．下列结论中不正确的是（　　） A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DCE＝60° 【答案】B 【解答】：A、∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，不符合题意； B、∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°， ∴∠CBO∠ABC50°＝25°， ∵∠DOC是△OBC的外角， ∴∠DOC＝∠CBO+∠ACB＝25°+60°＝85°，符合题意； C、∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD（180°﹣60°）＝60°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝120°， ∴∠BDC＝180°﹣25°﹣120°＝35°，不符合题意； D、∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴AD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAC（180°﹣70°）＝55°，不符合题意．故选：B． 4．（湖州长兴县级期末）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，通过上述条件，我们不难发现：BD+CE＝DE；如图2，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，根据图1所得的结论，试猜想BD，CE，DE之间存在什么关系？（　　） A．BD﹣CE＝DE B．BD+CE＝DE C．CE﹣DE＝BD D．无法判断 【答案】A 【解答】：如图2，∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠1， ∵∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠1＝∠2， ∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠2， ∴BD＝DF，EF＝CE， ∵DF＝DE+EF， ∴BD＝DE+CE． 即BD﹣CE＝DE． 故选：A． 5．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　23.5　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】：如图： 作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O， ∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分线， ∴EM＝EO，EO＝EN， ∴EM＝EN， ∴BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC＝23.5°． 6．（2024秋•杭州拱墅区校级期中考）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　67°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠B＝46°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°， ∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°， ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA， ∴∠EAC∠DAC，∠ECA∠FCA， ∴∠EAC+∠ECA（∠DAC+∠FCA）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°． 故答案为：67°． 7．（2020秋•西湖区校级月考）如图： （1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，若∠A＝70°，则∠BDC＝　125°　． （2）如图②，BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线且相交于点D，试找出∠A与∠BDC之间的数量关系 　∠BDCA　． 【答案】（1）125°；（2）∠BDCA． 【解答】：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； ∵∠A＝70°，∴∠D＝125°，故答案为：125°； （2）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，∴∠BDC＝∠2﹣∠1（∠ACE﹣∠ABC）∠A． 故答案为：∠BDCA． 8．阅读下面的材料，并解决问题． 已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，试探求下列各图中∠A与∠O的关系． 如图1，∠O＝　120°　；如图2，∠O＝　30°　；如图3，∠O＝　60°　 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　50°　． 【答案】120°，30°，60°，50°． 【解答】解：在图1中： ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝60°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； 在图2中： ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A） ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ∠ABC∠A∠ABC ∠A ＝30°； 在图3中： ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD ∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD ∴∠OBC+∠OCB （∠EBC+∠BCD） （∠A+∠ACB+∠BCD） （∠A+180°） （60°+180°） ＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°． 如图4， ∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2 ∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C， ∴∠O2BC+∠O2CB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣60°） ＝80°， ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°， ∴∠BO2O1∠BO2C＝50°． 故答案为：120°，30°，60°，50°． 【模型分层应用—综合】 1．（2019秋•衢州校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论： ①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【解答】：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG． ∵EF∥BC， ∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF， ∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF， ∴BE＝EG，GF＝CF， ∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题结论正确； ②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠GBC+∠GCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）， ∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故本小题结论错误； ③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题结论正确； ④连接AG， ∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n， ∴S△AEFAE•GDAF•GD（AE+AF）•GDnm，故本小题结论正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：B． 2．（2024秋•温州校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线， ∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°， 故①正确； ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， 又∵∠A＝40°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°， 故②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC∠ABC， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF， ∴2∠D＝∠A， ∴∠D＝20°， 故③正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°∠A＝110°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 3．（2022秋•嘉兴期末）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2022BC与∠A2022CD的平分线交于点A2023，若∠A2023＝α，则∠A的值为（　　） A．2022α B．2023α C．22022α D．22023α 【答案】D 【解答】：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α， ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A， 同理可得∠A2∠A1∠A， ∠A3∠A2∠A， … 以此类推，∠An∠A， ∵∠A2023＝α， ∴∠A2023∠A， 即∠A＝22023α． 故选：D． 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于点F，在下列说法中错误的有（　　） ①∠BOC＝120°：②联结AO，则AO平分∠BAC：③OD＝OE： ④A、O、F三点在同一条直线上：⑤BD+CE＝BC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∴∠EBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°， ∴①不合题意； 过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N， ∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点， ∴OM＝ON，ON＝OQ， ∴OQ＝OM， ∴O在∠A平分线上， ∴②不合题意； ∵AB＞AC， ∴∠ABC＜∠ACB， ∴∠OBC＜∠OCB， ∴OB＞OC， 即A、O、F不在同一直线上， ∴③符合题意； ∵∠BOC＝120°， ∴∠DOE＝120°， OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC， ∴∠AMO＝∠AQO＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠MOQ＝120°， ∴∠DOM＝∠EOQ， 在△OMD和△OQE中 ∴△OMD≌△OQE（AAS）， ∴OE＝OD， ∴④不合题意； 在Rt△BNO与Rt△BMO中 ∴Rt△BNO≌Rt△BMO（HL）， 同理，Rt△CNO≌Rt△CQO， ∴BN＝BD+DM①，CN＝CE﹣EQ②， 两式相加得，BN+CN＝BD+DM+CE﹣EQ， ∵DM＝EQ， ∴BC＝BD+CE， ∴⑤不合题意；故选：A． 5．（2023秋•期中）如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC交于点H，两个外角角平分线BM、CM交于点M，BE延长线交CM反向延长线于点N．则下列结论中：①OD平分∠BOC；②当∠BAC＝60°时，BC＝BF+CE；③∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；④∠BOC﹣∠M＝2∠N；⑤S△ABCOH（AB+BC+AC）；⑥BH（AB+BC﹣AC）．其中正确的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】：∵AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠ABC∠ACB，即∠OBA≠∠ACO， ∵∠BOD＝∠BAD+∠OBA，∠DOC＝∠DAC+∠ACO，∠BAD＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC， ∴∠BOD≠∠DOC，∴OD不是∠BOC的平分线，故①不正确； 当∠BAC＝60°时，在BC上截取BI＝BF，连接OI，如图： ∵∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠BAC）÷2＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠EOF＝∠BOC＝120°， ∴∠AFO+∠AEO＝180°， ∵∠CEO+∠AEO＝180°， ∴∠CEO＝∠AFO， 在△OBI和△OBF中， ， ∴△OBI≌△OBF（SAS）， ∴∠OIB＝∠OFB， ∴180°﹣∠OIB＝180°﹣∠OFB，即∠CIO＝∠AFO， ∴∠CIO＝∠CEO， 在△CIO和△CEO中， ， ∴△CIO≌△CEO（ASA）， ∴CI＝CE， ∵BC＝BI+CI， ∴BC＝BF+CE，故②正确； 如图： ∵OH⊥BC于H， ∴∠OHD＝90°， ∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC， ∵∠BAD∠BAC（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）， ∴∠DOH＝90°（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC∠ACB∠ABC＝∠OCB﹣∠OBC，故③正确； ∵BN平分∠ABC，BM平分∠PBC， ∴∠MBN＝∠MBC+∠NBC（∠PBC+∠ABC）＝90°， ∴∠M＝90°﹣∠N； 同理可得∠MCO＝90°， ∴∠CON＝90°﹣∠N， ∴∠M+∠CON＝180°﹣2∠N， 而∠CON＝180°﹣∠BOC， ∴∠M+180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠N， ∴∠BOC﹣∠M＝2∠N，故④正确； ∵△ABC三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC， ∴O到AB，AC的距离都等于OH， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△COAAB•OHBC•OHAC•OHOH（AB+BC+AC），故⑤正确； 过O作OK⊥AB于K，OT⊥AC于T，如图： ∵BK+AK＝AB，BH+CH＝BC，AT+CT＝AC， ∴（BK+AK）+（BH+CH）﹣（AT+CT）＝AB+BC﹣AC， ∴（BK+BH）+（AK﹣AT）+（CH﹣CT）＝AB+BC﹣AC， 由角的对称性可知，BH＝BK，AK＝AT，CT＝CH， ∴2BH＝AB+BC﹣AC， ∴BH（AB+BC﹣AC），故⑥正确；∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；故选：C． 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，连接AD，点E为BD中点．有下列结论：①∠BDC＝45°；②∠CED＝∠EDF；③；④S△ADE+S△CDF＝S△BCE．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解答】：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC，∠DCA＝∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC， ∴∠ACF＝45°∠ABC， ∴∠DCF＝45°+∠DBC， 又∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC， ∴∠BDC＝45°，故①正确， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝∠DBC+∠BDF， ∴∠AEB＝∠BDF， ∴∠CED＝∠EDF，故②正确， 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵DH⊥AC， ∴∠DHE＝∠BAE＝90°， ∵点E为BD中点， ∴BE＝DE， ∴S△ABE＝S△ADE，BD+EC＞BC，故③错误， 在△AEB和△HED中， ， ∴△AEB≌△HED（AAS）， ∴S△AEB＝S△HED， ∴S△AED＝S△DEH， 在△DCF和△DCH中， ， ∴△DCF≌△DCH（AAS）， ∴S△DCH＝S△DCF， ∴S△ADE+S△DCF＝S△DCE，故④正确；故选：D． 7．（2024秋•拱墅区月考）阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1，∠O＝　115°　； 如图2，∠O＝　25°　； 如图3，∠O＝　25°　； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　　． （2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝　　． （3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数． 【答案】（1）115°，25°，65°，；（2）；（3）55°． 【解答】：（1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O， 如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB ∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠BAC） （180°﹣50°） ＝65°， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； 如图2，∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACD， ∴，， ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O+∠OBC， ∴， 如图3，∵∠EBC是△ABC的外角， ∴∠EBC＝∠A+∠ACB， ∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD， ∴，， ∴， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣115°＝65°； 如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2， ∴，， O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB， ∴O1O2平分∠BO2C， ∴， ∴， ∴， 故答案为：115°，25°，65°，； （2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴，， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ． 故答案为：； （3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝15°， ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝45°，∠O1BC＝∠O2BO1＝15°， ∴∠BCO2＝180°﹣15°﹣125°＝40°， ∴∠ACB＝2∠BCO2＝80°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝55°． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$