几何模型总结专题01：单角平分线模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题1 单角平分线模型 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型介绍】角平分线垂线性质：即指过角的平分线上任一点向角的两边作垂线，角平分线上的点到角两边距离相等. 【模型分析】 条件：如右图，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型（1：直角三角形型） 条件：如右图，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型（2：邻等对补型—胖瘦模型） 条件：如下图，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB. 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同模型1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型分析】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等. 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同上的证法， 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型介绍】角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 【模型分析】 图1 图2 条件：如右图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如右图，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线， ∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型分层应用—基础】 1．（2024•拱墅区校级期末模拟）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（2024秋•西湖区期中）数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线OP不一定平分∠AOB的是（　　） A．B． C．D． 3．（2015•滨江区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，则∠ECA的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 4．（2023•钱塘区校级期中）如图，D是∠AOB平分线OC上一点，过点D作DE∥OB交射线OA于点E，已知∠BOD＝25°，则∠OED＝（　　） A．40° B．50° C．130° D．150° 5．（2023秋•金华市期末）如图，∠AOB＝30°，点D是∠AOB平分线OC上一点，过点D作DE∥OB交OA于点E，作DF⊥OB，垂足为点F，DF＝3.5，则DE的长为（　　） A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 6．（2023秋•余姚期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 7．（2023•宁波北仑区校级期末模拟）如图，点D在△ABC内部，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，连接CD．若△BCD的面积为2，则△ABC的面积为 　　． 8．（2024秋•温岭校级期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连结BD，CD，则S△BEC的最大值为 　 　． 【模型分层应用—综合】 1．（1）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，点E为BC的中点，AB＝5，AC＝7，求线段DE的长； （2）如图2，△ABC和△BDE均是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，点E在边长BC上，点F为AE的中点，连接DF，请判断线段DF、CE关系并证明． 2．（2020秋•温州校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）如图1，BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E． （ⅰ）若AB＝BF，求证：BD垂直平分AF；（ⅱ）若AF⊥BD，求证：AD＝CF． （2）如图2，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，F为BC上一点，∠EFC∠B，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点D．写出线段CE和FD的数量关系（不要求写出过程）． 3．阅读与思考：在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E， ∵AD平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（依据1） ∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC， ∵，，… （1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 　ASA　，　全等三角形的对应边相等　； （2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； （3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E，若CE＝3，求△BDC的面积． 4．在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 　AE＝AB+DE　；（直接写出答案） （2）如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）把（2）中的已知条件“∠ACE＝120°”改为“∠ACE＝135°”，其他条件不变，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系为 　AE＝AB+DE　（直接写出答案）． 5．（2024秋•杭州西湖区月考）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，证明：AE＝AB+DE． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AF＝AB，连接CF，先证明△ABC≌△AFC，再证明△EFC≌△EDC，即有EF＝DE，即AE＝AB+ED． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 AE＝AB+DE，理由如下：如图②，在AE上取一点F，使AF＝AB，连接CF． ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC， 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F．若AE，CD为△ABC的角平分线． （2）∠AFC＝ 　 　°； （3）证明：DF＝EF． （4）如图④，在△ABC中，∠ACB≠90°，延长△ABC的边BA到点G，AD平分∠GAC交BC延长线于点D，若AB+AC＝CD，∠ABC＝30°，则∠ACB＝ 　 　°． 6．（2024春•杭州市临平校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． 【探究】 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：； （2）如图2，线段AB、AC、EF之间满足的数量关系为 　 　； 【初步运用】 （3）如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD＝3，AD＝4，则DE＝　 　； 【灵活运用】 （4）如图4，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，点D在AC上，，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F，线段DF、CE之间满足的数量关系为 　 　． 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． 【探究】 （1）如图①，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）． （2）如图②，线段AB、AC、EF之间的数量关系为 　 　． 【应用】 （3）如图③，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为 　 　． （4）如图④，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD＝3，AD＝4，求DE的长． 8．（2021秋•台州校级期末）夯实基础： （1）如图1，点P是∠ABC的角平分线上BD的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC与点F，有以下结论：①PE＝PF；②BE＝BF；③∠BPE＝∠BPF，其中正确的是 　 　． 理解应用： （2）如图2，点D是∠EOF的平分线OC上一点，点A，点B分别在边OE、OF上，且∠AOB+∠ADB＝180°，探究AD与DB之间有怎样的数量关系？并证明． 拓展延伸： （3）如图3，点D是∠EOF的平分线OC上一点，点A，点B分别在边OE、OF上，DA＝DB，且∠EOF＝120°，探究OA，OB，OD之间有怎样的数量关系？并说明理由． 9．（2021秋•杭州拱墅区校级期中）【情景呈现】 画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC． （1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA、OB垂直，垂足为E、F（如图1），则PE 　 　PF．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） （2）把三角尺绕点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？猜想PE、PF的大小关系，并说明理由． 【理解应用】 在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3． 1 图中全等三角形有 　　对．（不添加辅助线）；②猜想GE、FH、EF之间的关系为 　 　． 【拓展延伸】 （3）如图4，画∠AOB＝60°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝120°，∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点，PE与PF相等吗？请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 单角平分线模型 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型介绍】角平分线垂线性质：即指过角的平分线上任一点向角的两边作垂线，角平分线上的点到角两边距离相等. 【模型分析】 条件：如右图，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型（1：直角三角形型） 条件：如右图，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型（2：邻等对补型—胖瘦模型） 条件：如下图，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB. 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同模型1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型分析】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等. 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同上的证法， 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型介绍】角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 【模型分析】 图1 图2 条件：如右图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如右图，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线， ∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 【模型分层应用—基础】 1．（2024•拱墅区校级期末模拟）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】A 【解答】：如图，延长CD交AB于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠FAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC，CD＝FD， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣6＝2cm， 又∵点E为BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴． 故选：A． 2．（2024秋•西湖区期中）数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线OP不一定平分∠AOB的是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【解答】A：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO （SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP，射线OP为∠AOB的平分线； B：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线； C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB，可得∠CPO＝∠POB， 又由图可知CP＝OC， ∴∠COP＝∠CPO， ∴∠POB＝∠COP，射线OP为∠AOB的平分线； D：由作图痕迹可知，所作射线OP不一定平分∠AOB， 故选：D． 3．（2015•滨江区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，则∠ECA的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【解答】：在BC上截取BF＝AB，连DF， 则有△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE， 又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠FDC＝60°， ∵∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， 故∠ECA＝∠DCB＝40°． 故选：C． 4．（2023•钱塘区校级期中）如图，D是∠AOB平分线OC上一点，过点D作DE∥OB交射线OA于点E，已知∠BOD＝25°，则∠OED＝（　　） A．40° B．50° C．130° D．150° 【答案】C 【解答】：∵ED∥OB， ∴∠EDO＝∠DOB＝25°． ∵D是∠AOB平分线OC上一点， ∴∠EOD＝∠COB＝25° ∠OED＝180°﹣∠EOD﹣∠EDO＝180°﹣25°﹣25°＝130°． 故选：C． 5．（2023秋•金华市期末）如图，∠AOB＝30°，点D是∠AOB平分线OC上一点，过点D作DE∥OB交OA于点E，作DF⊥OB，垂足为点F，DF＝3.5，则DE的长为（　　） A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 【答案】A 【解答】解：过点D作DG⊥OA于G， ∵OC平分∠AOB，D是OC上一点，DG⊥OA，DF⊥OB，DF＝3.5， ∴DG＝DF＝3.5， 又∵DE∥OB，∠AOB＝30°， ∴∠DEG＝∠AOB＝30°， ∴DE＝2DG＝7， 故选：A． 6．（2023秋•余姚期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【解答】：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA∠CBA，∠OAB∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°∠CBA∠CAB＝180°（180°﹣∠C）＝90°∠C，故①正确； ②∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； ③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴S△ABCAB×OMAC×ONBC×OD（AB+AC+BC）•a＝ab，故③正确． 故选：C． 7．（2023•宁波北仑区校级期末模拟）如图，点D在△ABC内部，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，连接CD．若△BCD的面积为2，则△ABC的面积为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】：延长AD交BC于点E， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠EDB＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ADB和△EDB中， ． ∴△ADB≌△EDB（ASA）， ∴AD＝ED， ∴S△ABE＝2S△BDE，S△AEC＝2S△CDE， ∴S△ABC＝2S△BCD＝2×2＝4． 故答案为：4． 8．（2024秋•温岭校级期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连结BD，CD，则S△BEC的最大值为 　7.5　． 【答案】7.5． 【解答】解：如图：延长AB，CD交点于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AF，DF＝CD； ∵AC﹣AB＝6， ∴AF﹣AB＝6，即BF＝6； ∵DF＝DC， ∵E是CD的中点， ∴S△BECS△BFC， ∴当BF⊥BC时，S△BFC面积最大， 即S△BEC最大面积10×6＝7.5． 故答案为：7.5． 【模型分层应用—综合】 1．（1）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，点E为BC的中点，AB＝5，AC＝7，求线段DE的长； （2）如图2，△ABC和△BDE均是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，点E在边长BC上，点F为AE的中点，连接DF，请判断线段DF、CE关系并证明． 【答案】解：（1）DE＝1；（2）CE＝2DF，证明过程见解答． 【解答】（1）：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠ADB＝∠ADF， ∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AFD， ∴AF＝AB，BD＝DF， ∵AB＝5，AC＝7， ∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝7﹣5＝2， ∵点E为BC的中点， ∴DE为△BCF的中位线， ∴DEFC＝1； （2）延长ED交AB于点M， ∵△BDE为等腰直角三角形，∠BDE＝90°， ∴∠BED＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BME＝45°， ∴BM＝BE， ∴CD＝MD， ∵点F为AE的中点， ∴DF为△AME的中位线， ∴AM＝2DF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝CB， ∴AM＝CE， ∴CE＝2DF． 2．（2020秋•温州校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）如图1，BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E． （ⅰ）若AB＝BF，求证：BD垂直平分AF；（ⅱ）若AF⊥BD，求证：AD＝CF． （2）如图2，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，F为BC上一点，∠EFC∠B，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点D．写出线段CE和FD的数量关系（不要求写出过程）． 【答案】（1）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）证明过程见解析；（2）BD＝2CE．理由见解析；（3）CEFD． 【解答】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AF，AE＝EF， 即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD， ∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中， ， ∴△ABE≌△CAM（AAS）， ∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM， ∴BD∥CM， ∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠FCM＝∠ABD， ∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中， ， ∴△AED≌△CMF（ASA）， ∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE． 理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中， ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD， ∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE， ∴BD＝2CE． （3）解：CEFD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G． ∵FG∥AB，∠EFC∠B， ∴∠EFC＝∠GFE， 又∵CE⊥FE， ∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中， ， ∴△CEF≌△GEF（ASA）， ∴CE＝GE，即CECG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH， ∴△CGH≌△FDH（ASA）， ∴CG＝DF． ∴CEFD． 3．阅读与思考：在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E， ∵AD平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（依据1） ∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC， ∵，，… （1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 　ASA　，　全等三角形的对应边相等　； （2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； （3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E，若CE＝3，求△BDC的面积． 【答案】（1）ASA，全等三角形的对应边相等；（2）见解析；（3）9． 【解答】：（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA）， 依据2是：全等三角形的对应边相等；故答案为：ASA，全等三角形的对应边相等； （2）∵ED＝CD， ∴S△BDE＝S△BDC． ∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC， 即S△ABD＝S△ADC+S△BDC， S△ABC＝S△ABD+S△ADC+S△BDC， ∴S△ABC＝2S△ABD＝20； （3）延长CE，BA交于点F．如图3， ∵BE平分∠CBA， ∴∠FBE＝∠CBE， ∵CE⊥BE， ∴∠BEF+∠BEC＝90°， 在△FBE和△CBE中， ， ∴△FBE≌△CBE（ASA）， ∴EF＝CE， ∵CE＝3， ∴EF＝3，CF＝CE+EF＝6， 在Rt△BEF中，∠EBF+∠F＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°＝∠BAC， 在Rt△CAF中，∠ACF+∠F＝90°， ∴∠EBF＝∠ACF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD＝CF＝6， ＝9． 4．在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 　AE＝AB+DE　；（直接写出答案） （2）如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）把（2）中的已知条件“∠ACE＝120°”改为“∠ACE＝135°”，其他条件不变，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系为 　AE＝AB+DE　（直接写出答案）． 【答案】（1）AE＝AB+DE；（2）AE＝AB+DE；（3）AE＝AB+DE． 【解答】：（1）在AE上取点F，使AF＝AB， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC， ∵AC＝AC， ∴△BAC≌△FAC（SAS）， ∴∠ACB＝∠ACF，BC＝CF， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠ECD， ∵C是BD边的中点， ∴BC＝CD， ∴CF＝CD， ∵CE＝CE， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF， ∴AE＝AB+DE， 故答案为：AE＝AB+DE． （2）AE＝AB+DE， 证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG． ∵C是BD边的中点， ∴CB＝CD． ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC． ∵AF＝AB，AC＝AC， ∴△ABC≌△AFC（SAS）． ∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA． 同理可证：CD＝CG，∠DCE＝∠GCE． ∵CB＝CD， ∴CG＝CF， ∵∠ACE＝120°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°． ∴∠FCA+∠GCE＝60°． ∴∠FCG＝60°． ∴△FGC是等边三角形． ∴FG＝FC． ∵AE＝AF+EG+FG． ∴AE＝AB+DE． （3）当∠ACE＝135°时， 由（2）同理可得，△FCG是等腰直角三角形， ∴FGCFBD， ∴AE＝AB+DE，故答案为：AE＝AB+DE． 5．（2024秋•杭州西湖区月考）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，证明：AE＝AB+DE． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AF＝AB，连接CF，先证明△ABC≌△AFC，再证明△EFC≌△EDC，即有EF＝DE，即AE＝AB+ED． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 AE＝AB+DE，理由如下：如图②，在AE上取一点F，使AF＝AB，连接CF． ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC， 在△ACB和△ACF中， ， ∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F．若AE，CD为△ABC的角平分线． （2）∠AFC＝ 　120　°； （3）证明：DF＝EF． （4）如图④，在△ABC中，∠ACB≠90°，延长△ABC的边BA到点G，AD平分∠GAC交BC延长线于点D，若AB+AC＝CD，∠ABC＝30°，则∠ACB＝ 　60　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）120；（3）证明见解析；（4）60． 【解答】（1）证明：补充如下：∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ACF+∠FCE＝90°， 又∵∠ACB＝∠ACF， ∴∠ACF+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠ECF， ∵点C是BD边的中点， ∴BC＝DC， 又∵BC＝FC， ∴FC＝DC， 在△ECD和△ECF中， ， ∴△ECD≌△ECF（SAS）， ∴EF＝ED， 又∵AB＝AF， ∴AE＝AF+EF＝AB+DE， 即AE＝AB+DE； （2）解：在△ABC中，∠B＝60°， 由三角形的内角和定理得：∠BAC+∠BCA＝180°﹣60°＝120°， ∵D、E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线， ∴∠EAC∠BAC，∠DCA∠BCA， ∴∠EAC+∠DCA（∠BAC+∠BCA）120°＝60°， ∴∠AFC＝180°﹣（∠EAC+∠DCA）＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120； （3）证明：如图③，在AC上截取AG＝AD， ∵∠AFC＝120°， ∴∠AFD＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠DAF＝∠GAF， 在△DAF和△GAF中， ， ∴△DAF≌△GAF（SAS）， ∴DF＝FG，∠AFG＝∠AFD＝60°， ∵∠AFC＝120°， ∴∠CFG＝∠AFC﹣∠AFG＝60°， 又∵∠EFC＝∠AFD＝60°， ∴∠EFC＝∠GFC， ∵CD是∠BCA的角平分线， ∴∠ECF＝∠GCF， 在△CFE和△CFG中， ， ∴△CFE≌△CFG（ASA）， ∴EF＝FG， ∴EF＝DF； （4）解：在△ABC中，∠ACB≠90°，AD平分∠GAC交BC延长线于点D，如图④，在AG上截取AE＝AC， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴ED＝CD，∠EDA＝∠CDA， ∵AB+AC＝CD， ∴BE＝AB+AE＝AB+AC＝CD， ∴BE＝ED， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EBD＝∠EDC＝30°， ∴， ∴∠CAD＝∠EAD＝∠B+∠ADC＝30°+15°＝45°， ∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝45°+15°＝60°， 故答案为：60． 6．（2024春•杭州市临平校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． 【探究】 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：； （2）如图2，线段AB、AC、EF之间满足的数量关系为 　EF（AB﹣AC）　； 【初步运用】 （3）如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD＝3，AD＝4，则DE＝　2.5　； 【灵活运用】 （4）如图4，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，点D在AC上，，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F，线段DF、CE之间满足的数量关系为 　DF＝2CE　． 【答案】（1）证明见解析；（2）EF（AB﹣AC）；（3）2.5；（4）DF＝2CE． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵BE⊥AE于点E， ∴∠BEA＝∠DEA＝90°， 在△ABE 和△ADE 中， ， ∴△ABE≌△ADE（ASA）， ∴BE＝DE，AB＝AD， ∵BF＝FC， ∴； （2）解：如图2中，延长AC交BE的延长线于P． ∵AE⊥BP， ∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠APE， ∴AB＝AP， ∵AE⊥BP， ∴E为BP的中点， ∴BE＝PE， ∵点F为BC的中点， ∴EF是△BCP的中位线， ∴EFPC（AP﹣AC）（AB﹣AC）， 故答案为：EF（AB﹣AC）； （3）解：∵AD平分∠BAC，AD⊥BD， ∴△ABC为等腰三角形，点D为BF的中点， ∵DE∥AB， ∴DE为△ABF的中位线， ∴DEAB， ∵AD⊥BD，BD＝3，AD＝4， ∴AB＝5， ∴DE＝2.5． 故答案为：2.5． （4）解：作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴AB⊥BC， ∴DG∥AB， ∴∠GDC＝∠BAC＝45°， ∴∠EDC∠BAC＝22.5°＝∠EDG，DH＝CH， 又∵DE⊥CE， ∴∠DEC＝∠DEG＝90°， 在△DEC和△DEG中， ， ∴△DEC≌△DEG（ASA）， ∴DC＝DG，CG＝2CE， ∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE， ∴∠FDH＝∠GCH， 在△DHF和△CHG中， ， ∴△DHF≌△CHG（ASA）， ∴DF＝CG＝2CE． 故答案为：DF＝2CE． 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． 【探究】 （1）如图①，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）． （2）如图②，线段AB、AC、EF之间的数量关系为 　EF（AB﹣AC）　． 【应用】 （3）如图③，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为 　1　． （4）如图④，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，过D作DE∥AB交AC于点E，BD＝3，AD＝4，求DE的长． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）EF（AB﹣AC）；（3）1；（4）． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵BE⊥AE于点E， ∴∠BEA＝∠DEA＝90°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（ASA）， ∴BE＝DE，AB＝AD， ∵BF＝FC， ∴EFDC（AC﹣AD）（AC﹣AB）． （2）解：如图②中，延长AC交BE的延长线于P． ∵AE⊥BP， ∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠APE， ∴AB＝AP， ∵AE⊥BP， ∴E为BP的中点， ∴BE＝PE， ∵点F为BC的中点， ∴BF＝FC， ∴EFPC（AP﹣AC）（AB﹣AC）， 故答案为：EF（AB﹣AC）； （3）解：如图③，延长CF交AB于G， ∵AE是角平分线，CF⊥AE， ∴AG＝AC， ∴△AGC是等腰三角形， ∴AG＝AC＝3，CF＝GF， ∴BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴DF是△BCG的中位线， ∴DFBG2＝1． 故答案为：1； （4）解：如图④，延长BD交AC的延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，AD⊥BD， ∴AB＝AF，BD＝DF， ∵DE∥AB， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DEAB， ∵AD⊥BD，BD＝3，AD＝4， ∴AB5， ∴DE． 8．（2021秋•台州校级期末）夯实基础： （1）如图1，点P是∠ABC的角平分线上BD的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC与点F，有以下结论：①PE＝PF；②BE＝BF；③∠BPE＝∠BPF，其中正确的是 　①②③　． 理解应用： （2）如图2，点D是∠EOF的平分线OC上一点，点A，点B分别在边OE、OF上，且∠AOB+∠ADB＝180°，探究AD与DB之间有怎样的数量关系？并证明． 拓展延伸： （3）如图3，点D是∠EOF的平分线OC上一点，点A，点B分别在边OE、OF上，DA＝DB，且∠EOF＝120°，探究OA，OB，OD之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）AD＝BD．理由见解析；（3）OA+OB＝OD．理由见解析． 【解答】：（1）∵AD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵PE⊥BC，PF⊥AB， ∴∠PFB＝∠PEB， ∵BD＝BD， ∴△BPF≌△BPE（AAS）， ∴PF＝PE，BE＝BF，∠BPE＝∠BPF， 故答案为：①②③； （2）AD＝BD． 理由：过点D作DM⊥OE于点M，DN⊥OB于点N， ∵OD平分∠EOF， ∴DM＝DN， ∵∠AOB+∠MDN＝180°，∠AOB+∠ADB＝180°， ∴∠MDN＝∠ADB， ∵∠AMD＝∠DNB＝90°， ∴△ADM≌△BDN（ASA）， ∴AD＝BD． （3）AO+OB＝OD． 理由：过点D作DM⊥OE于点M，DN⊥OB于点N， 由（1）知，DM＝DN，OM＝ON， ∵AD＝BD， ∴Rt△ADM≌Rt△BDN（HL）， ∴AM＝BN， ∴OA+OB＝OM﹣AM+ON+BN＝2ON， ∵∠EOF＝120°， ∴∠CON＝60°， ∴∠ODN＝30°， ∴OD＝2ON， ∴OA+OB＝OD． 9．（2021秋•杭州拱墅区校级期中）【情景呈现】 画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC． （1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA、OB垂直，垂足为E、F（如图1），则PE 　＝　PF．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） （2）把三角尺绕点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？猜想PE、PF的大小关系，并说明理由． 【理解应用】 在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3． 1 图中全等三角形有 　3　对．（不添加辅助线）；②猜想GE、FH、EF之间的关系为 　GE2+FH2＝EF2　． 【拓展延伸】 （3）如图4，画∠AOB＝60°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝120°，∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点，PE与PF相等吗？请说明理由． 【答案】【情景呈现】（1）＝；（2）PE＝PF，理由解析； 【理解应用】①3；②GE2+FH2＝EF2； 【拓展延伸】（3）结论：PE＝PF，证明见解析部分． 【解答】解：【情景呈现】 （1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， 故答案为：＝； （2）PE＝PF，理由如下： 如图2： 设三角尺旋转前与OA和OB交于点M、N， ∵∠MPN＝∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠NPF 由（1）得，PM＝PN， ∴△PME≌△PNF（AAS）， ∴PE＝PF； 【理解应用】 ①∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°， ∵GH⊥OC， ∴∠OGH＝∠OHG＝45°， ∴OP＝PG＝PH， ∵∠GPO＝90°，∠EPF＝90°， ∴∠GPE＝∠OPF， 在△GPE和△OPF中， ， ∴△GPE≌△OPF（ASA）， 同理，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH， 故答案为：3； ②结论：GE2+FH2＝EF2， 理由如下：∵△GPE≌△OPF， ∴GE＝OF， ∵△EPO≌△FPH， ∴FH＝OE， 在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2， ∴GE2+FH2＝EF2； 【拓展延伸】 （3）结论：PE＝PF； 理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB，PG⊥OA，PH⊥OB， ∴PG＝PH， ∵∠AOB＝60°，∠PGO＝∠PHO＝90°， ∴∠GPH＝120°， ∵∠EPF＝120°， ∴∠GPH＝∠EPF， ∴∠GPE＝∠FPH， 在△PGE和△PHF中， ， ∴△PGE≌△PHF（ASA）， ∴PE＝PF． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$