第一章第03讲 同底数幂的除法（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第03讲 同底数幂的除法 课程标准 学习目标 ①同底数幂的除法 ②成比例线段 ③相似多边形的性质 1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则; 2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算; 3.科学记数法表示绝对值小于1的数. 知识点01 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解； （2）根据同底数幂的除法运算即可求解； （3）根据同底数幂的除法运算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【即学即练2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，－25． 【分析】（1）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解； （2）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解； （3）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式== =， 当=－5时，原式=－25． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键． 知识点02 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 【即学即练2】（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，有理数的混合运算法则是解题的关键． 分别算出乘方，零次幂，负指数幂的结果，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 知识点03 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 【即学即练1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【即学即练2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型01 同底数幂的除法 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解； （2）根据同底数幂的除法运算即可求解； （3）根据同底数幂的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可； （4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键． 题型02 同底数幂除法的逆用 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆运用同底数幂的乘法解答即可； （2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对整理为，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （2） ∴ ∴ ∴． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)3 (3)或或 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出，解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：， 当时，； 当时， ； 当时，． 或或． 【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键． 题型03 幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】零指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【知识点】幂的混合运算 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型04 零指数幂 例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 【答案】5 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ． 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 题型05 负整数指数幂 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，结合的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2024·云南昆明·一模）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案． 【详解】解：原式 ． 题型07 用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 题型08 还原用科学记数法表示的小数 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知同底数幂除法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·吉林松原·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算法则逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂，正确掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）有下列四个运算结果：①；②；③；④，其中正确的结果为（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】依据负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则进行计算，即可得出结论． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则，解题的关键是计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算． 二、填空题 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂，据此相关运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答． 【详解】解：， 故答案为∶ ． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的法则是解题的关键． 先逆用法则，即，再入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 【答案】32 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．由得，进而由同底数幂的乘除法的逆运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 10．（24-25七年级上·上海·期中）已知，其中是整数，则 ． 【答案】3，1， 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂和1的任何次幂都是1是解题的关键． 分三种情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴①当底数时， 解得：， ②当底数时， 解得：， ∴， ③当指数时， 解得：， ∴整数x的值是3，1，． 故答案为：3，1，． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算， （1）根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算顺序、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、零指数幂、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算，零指数幂，先根据幂的乘方、积的乘方法则、零指数幂的意义化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法运算即可； （2）先变形，再利用同底数幂的乘法与除法法则运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，以及同底数幂的乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂除法的运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方和积的乘方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2） ； （3） ． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、用科学记数法表示绝对值小于1的数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【知识点】同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，进而可得，求解即可； （2）将原式整理为，进而可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 则，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 同底数幂的除法 课程标准 学习目标 ①同底数幂的除法 ②成比例线段 ③相似多边形的性质 1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则; 2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算; 3.科学记数法表示绝对值小于1的数. 知识点01 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)． 【即学即练2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 知识点02 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ． 【即学即练2】（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ． 知识点03 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 【即学即练1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 题型01 同底数幂的除法 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 同底数幂除法的逆用 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 题型03 幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 题型04 零指数幂 例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 题型05 负整数指数幂 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算： 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 3．（2024·云南昆明·一模）计算： 题型07 用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 题型08 还原用科学记数法表示的小数 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林松原·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）有下列四个运算结果：①；②；③；④，其中正确的结果为（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）已知，其中是整数，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2)． 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) (3)． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 16．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$