第十六章 二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十六章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 9．若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 12．已知，则化简后为 ． 13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 14．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 15．已知实数x，y满足，则 ． 16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算下列各式： (1) (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．若2，5，n为三角形的三边长，化简 20．小明同学进行实数运算的过程如图所示． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)第一步的化简中所依据的数学公式是___________； (2)小明的计算过程，从第___________步开始出现错误，请你写出该算式的正确运算过程和结果． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 22．已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 23．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．某中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 25．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键， 根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 3．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则计算，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：C． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 5．要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 6．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 7．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 8．已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 10．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先求得，即，然后利用运算程序计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 12．已知，则化简后为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 14．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 15．已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2)2 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等内容，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开化简得出，再把整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入，得出． 19．若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 20．小明同学进行实数运算的过程如图所示． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)第一步的化简中所依据的数学公式是___________； (2)小明的计算过程，从第___________步开始出现错误，请你写出该算式的正确运算过程和结果． 【答案】(1) (2)二；见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据进行解答即可； （2）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵除法没有分配律， ∴解题过程是从第二步开始错的， ． 故答案为：二． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，整式的加减中的化简求值等知识点，利用所发现的规律正确列式计算是解题的关键． （1）直接列式计算即可得出答案； （2）从（1）中的计算结果，即可猜出的值，然后列式计算说明理由即可； （3）将，，，，代入进行化简，得到，然后把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解：从（1）中的计算结果，可猜出， 理由如下： ， 故答案为：； （3）解： ， 的值是． 22．已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)35 (2) 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数的估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 23．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．某中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 25．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$