第02讲 认识概率（4大知识点+3大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

第02讲 认识概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历应用所学知识，解决实际问题的过程，进一步感受概率与频率之间的关系. 2.会用频率的稳定值去估计概率值，了解概率在生产生活中的应用. 3.学习重点：感受概率与频率之间的关系. 4.学习难点：会用频率的稳定值去估计概率值. 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一、确定事件与随机事件 考点1、事件的分类 1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列事件中属于必然事件的是（   ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件； B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件； C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件； D、一年365天， 370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于 事件． 【答案】随机 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件分类的概念“随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件”，由此即可求解 ． 【详解】解：根据题意，座位号码是奇数属于随机事件， 故答案为：随机 ． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 【知识点】事件的分类 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别． 【详解】（1）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件； （2）解：一定会发生，是必然事件； （3）解：不可能发生，是不可能事件； （4）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件． 【点睛】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决问题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型二、可能性的大小 考点2、判断事件发生的可能性的大小 4．（21-22八年级下·江苏常州·期中）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查的是事件发生的可能性大小的判断．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个白球，摸到红球的可能性最大． ∴． 故D选项符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【答案】② 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查概率公式．比较出事件发生的可能性的大小即可． 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为， ③“向上一面的点数不小于”的可能性为， ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析（答案不唯一） 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 题型三、 频率与概率 考点3、求某事件的频率 7．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 9．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 考点4、由频率估计概率 10．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列语句中，关于频率与概率的说法正确的有（    ） ①频率就是概率        ②概率是客观存在的，与试验次数无关 ⑧当试验次数很大时，频率稳定在概率附近    ④试验得到的频率与概率不可能相等 A．①② B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐一判断即可． 【详解】解：①频率就是概率，错误，不符合题意； ②概率是客观存在的，与试验次数无关，正确，符合题意； ③当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确，符合题意； ④试验得到的频率与概率不可能相等，错误，不符合题意； 综上分析可知，正确的是②③，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 11．（23-24八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率；理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键，根据题意利用频率估计概率的知识即可求解． 【详解】解：由题意，经过大题重复实验后，摸到绿球的频率稳定在， 所以估计任意摸一个球是绿球的概率为， 故答案为． 12．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． （2）原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点5、用频率估计概率的综合应用 13．（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 14．（2020·江苏扬州·模拟预测）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】2.4 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 15．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.101，0.102 (2)0.1 (3)在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】（1）利用频数计算方法去掉频数即可； （2）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （3）设每千克大约定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列出关于x的方程，解之即可． 【详解】（1）解：a=40.36÷400≈0.101， b=51.05÷500≈0.102， 故答案为：0.101，0.102； （2）解：柑橘完好的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （3）解：设每千克大约定价为x元， 根据题意得10000（1-0.1）x-10000×1.8=5400， 解得x=2.6， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． 一、单选题 1．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯秒，左转绿灯秒，红灯秒，黄灯秒．出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（  ） A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯 【答案】C 【分析】本题考查了判断发生可能性的大小，根据题意可得红灯的时间最长，则遇到哪一种灯的可能性最大，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，红灯的时间最长，则遇到哪一种灯的可能性最大， 故选：C． 2．下列事件是不可能事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中 C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 D．一个三角形的内角和为181度． 【答案】D 【分析】根据事件的分类，数据不可能事件是一定不会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A．太阳从东边升起是必然事件，故A错误； B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中是不确定事件，故B错误； C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片是不确定事件，故C错误； D．一个三角形的内角和为181度是不可能事件，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，数据事件分为确定事件和不确定事件，确定事件由分为不可能是事件和必然时间． 3．下列事件是确定事件的为（      ） A．投掷一枚硬币正面朝上 B．打开手机显示的时间恰好为8点整 C．明天早晨太阳从西边升起 D．从一整副扑克牌中随意抽取一张扑克牌恰好是红桃2 【答案】C 【分析】根据确定事件的定义逐项判断即可，确定事件包括必然事件和不可能事件． 【详解】A．投掷硬币正面有可能朝上也有可能朝下，是随机事件，故A项不正确； B．打开手机显示的时间不一定是8点整，任何时刻都有可能，故B项不正确； C．太阳从西边升起是不可能事件，属于确定事件，故C项正确； D．抽出的扑克有54种可能，不一定是红桃2，故D项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定事件的定义，紧扣定义逐项比对即可作答，属于基础题． 4．下列词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．十拿九稳 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A、瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B、守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意； C、旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； D、十拿九稳，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 5．下列事件是必然事件的是（  ） A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《今日在线》 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程必有实数根 【答案】D 【分析】根据随机事件和必然事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误； B．打开电视频道，正在播放《今日在线》是随机事件，故本选项错误； C．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误； D．方程必有实数根是必然事件，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握随机事件和必然事件的定义；必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．一个袋子中有2只红球，随机取出1只球是黑球是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上说法均错 【答案】A 【分析】根据事件发生可能性的大小进行判断即可． 【详解】解：∵一个袋子中有2只红球，没有黑球， ∴随机取出1只球是黑球是不可能事件． 故选：A． 【点睛】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．下列词语所描述的事件，属于必然事件的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．水滴石穿 D．刻舟求剑 【答案】C 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可． 【详解】A．守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； C．水滴石穿是必然事件，故该选项符合题意； D．刻舟求剑是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键． 8．下列命题中，①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，一定会命中7次；③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是180°，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据必然事件的定义对①进行判断；根据概率的定义对②进行判断；根据平方的意义对③进行判断；根据三角形的内角和对④进行判断． 【详解】解：①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；正确． ②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，不一定会命中7次；故错误． ③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；例如：0．故错误， ④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是，正确． 正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 9．不透明的袋子中有5个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．4个球都是蓝球 B．4个球都是红球 C．4个球中有蓝球 D．4个球中有红球 【答案】C 【分析】根据随机事件与必然事件的定义逐项判断即可得． 【详解】A、4个球都是蓝球是随机事件，则此项不符题意； B、因为红球只有3个，所以4个球都是红球是不可能事件，则此项不符题意； C、因为红球只有3个，所以4个球中必有篮球，即4个球中有蓝球是必然事件，则此项符合题意； D、4个球中有红球是随机事件，则此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件与必然事件的定义，熟练掌握随机事件与必然事件的概念是解题关键． 10．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（  ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误； 故选：C． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大． 二、填空题 11．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是 ． 【答案】0.6 【分析】根据频率与概率的关系解答． 【详解】解：根据频率与概率的关系可得所求概率即为0.6， 故答案为0.6 ． 【点睛】本题考查用频率估计概率，正确理解用频率估计概率的意义和方法是解题关键． 12．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ． 【答案】 【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率． 【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近． 故答案为：． 【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率． 13．掷一枚骰子，点数6朝上的可能性大小是 ；点数是6的因数朝上的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】考查了可能性的大小的知识，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论．一个骰子的6个面上分别有1，2，3，4，5，6个点，其中点数是6的有1个，点数是6的有4个，求掷出后朝上点数是6的可能性与点数是6的因数朝上的可能性大小，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几，用除法分别解答即可． 【详解】解：因为1，2，3，4，5，6中6的因数有1，2，3，6共4个， 所以点数6朝上的可能性大小是， 点数是6的因数朝上的可能性大小是：； 故答案为：；． 14．学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当 时，小云参加这次竞赛是必然事件． 【答案】2 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，根据必然事件的定义，可知若女生都参加比赛时，女生小云参加比赛是必然事件，可知男生有几名．熟知必然事件的定义是关键． 【详解】解：女生小云参加这次竞赛是必然事件， 名女生都被抽取， 抽调6名学生参加比赛， 男生有2名． 故答案为：2． 15．指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件． (1)“检查生产流水线上的一个产品是合格品”是 事件；(2)“对顶角相等”是 事件；(3)“同位角相等”是 事件；(4)“a是实数，|a|＜0”是 事件． 【答案】 (1)随机 (2)必然 (3)随机 (4)不可能 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可解答． 【详解】(1)“检查生产流水线上的一个产品是合格品”是随机事件； (2)“对顶角相等”是必然事件； (3)“同位角相等”是随机事件； (4)“a是实数，|a|＜0”是不可能事件． 故答案为随机；必然；随机；不可能. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 16．写出一个你认为的必然事件 ． 【答案】瓮中捉鳖（答案不唯一） 【分析】此题根据事件的可能性举例即可． 【详解】必然事件就是一定会发生的，例如：瓮中捉鳖等， 故答案：瓮中捉鳖（答案不唯一）． 【点睛】此题考查事件的可能性：必然事件的概念． 17．已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数约为 次． 【答案】10 【分析】根据概率的意义解答即可. 【详解】事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为: 100×=10 故答案为:10 【点睛】本题考查了概率的意义,熟记概念是解题的关键 18．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是 （精确到0.01）． 【答案】0.90 【详解】分析：根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 详解：由击中靶心频率都在0.90上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是0.90， 故答案为0.90． 点睛：本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 三、解答题 19．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是② (2)②③①⑤④ 【分析】本题主要考查可能性的大小； （1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案； （2）依据（1）中所得答案即可得． 【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为； ②摸出的球是白色的可能性大小为； ③摸出的球是黄色的可能性大小为； ④摸出的球不是白色的可能性大小为； ⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为； 所以可能性最大的是④，最小的是②； （2）由（1）知， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④． 20．一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 【答案】(1)红桃A、方块A、梅花A、黑桃A (2) (3) (4) 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即用“可能性所求情况数总情况数”去解答． （1）根据扑克牌的特点求解即可； （2）用梅花A的数量除以总数量即可求解； （3）用A的数量除以总数量即可求解； （4）用梅花的数量除以总数量即可求解． 【详解】（1）抽到A的所有可能的结果有：红桃A、方块A、梅花A、黑桃A； （2）∵有1张梅花A，共有52张牌， ∴抽到梅花A的可能性的大小为； （3）∵有4张A，共有52张牌， ∴抽到A的可能性的大小为； （4）∵有13张梅花，共有52张牌， ∴抽到梅花的可能性的大小为． 21．世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 【答案】(1)每小组共比赛6场； (2)该队出线是一个随机事件． 【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答； （2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答． 【详解】（1）解：（场） 答：每小组共比赛6场； （2）解：因为总共有6场比赛， 每场比赛最多可得3分， 则6场比赛最多共有分， 现有一队得6分， 还剩下12分， 则还有可能有2个队同时得6分， 故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件． 【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 22．某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数（见下表）． （1）计算并完成表格； 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 （2）估计获得饮料的概率； （3）请你估计袋中白球的数量． 【答案】（1）0.195，0.21，0.205，0.198;（2）0.2;（3）估计袋中有32个白球． 【分析】(1)用获得饮料的人数除以参加游戏的人数即可得； (2)根据(1)中的频率进行估计即可； (3)利用估计的概率和概率公式进行求解即可. 【详解】(1)39÷200=0.195，63÷300=0.21，82÷400=0.202，99÷500=0.198， 填表如下： 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 0.195 0.21 0.205 0.198 (2)观察表格可知随着参加人数的增加，获得饮料的频率逐渐稳定在0.2附近， 所以估计获得饮料的概率为0.2； (3)设袋中有白球x个， 根据题意，得， 解这个方程，得x＝32， 经检验，x＝32是所列方程的解， 答：估计袋中有32个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率. 23．不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来. 事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚). 事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金. 事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上. 事件四：这天早晨，我第一个来到教室. 【答案】事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二 【详解】试题分析：得到相应的可能性，比较即可 试题解析：这几个事件发生的可能性都可以用数表示出来或估计其大小. (1)摸到数学书这一事件发生的可能性为. (2)事件二发生的可能性非常小，是发生的可能性最小的. (3)两次抛硬币，有“正正、正反、反正、反反”四种可能，每一种情况发生的可能性均为. (4)最早到教室的可能性等于班级人数的倒数. 答：事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二. 24．从“不太可能”、“不可能”、“很有可能”和“必然”中选择适当的词描述下列事件． (1)在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角.     (2)任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角； (3)小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩； (4) 在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话； (5)互为倒数的两个有理数符号相同． 【答案】（1）必然事件;（2）不太可能事件;（3）很有可能事件;（4）不太可能事件;（5）必然事件． 【详解】试题分析：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项依次进行判断即可解答． 试题解析：（1）在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角，是必然事件； （2）任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角，是不太可能事件； （3）小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩，是很有可能事件； （4）在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话，是不太可能事件； （5）互为倒数的两个有理数符号相同，是必然事件． 25．某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 分组 视力 人数 A 3.95≤x≤4.25 2 B 4.25＜x≤4.55 C 4.55＜x≤4.85 20 D 4.85＜x≤5.15 E 5.15＜x≤5.45 3 根据以上信息，解答下列问题： （1）在被调查学生中，视力在3.95≤x≤4.25范围内的人数为　 　人，在4.25＜x≤4.55范围内的学生数占被调查的学生数的百分比为　 　%． （2）本次调查的样本容量是　 　，视力在4.85＜x≤5.15范围内的学生数占被调查学生数的百分比是　 　%． （3）本次调查中，视力的中位数落在　 组． （4）若该校九年级有350名学生，估计视力超过4.85的学生数． 【答案】（1）2   16 ；（2） 50   34；（3）C；（4）140； 【分析】（1）根据表格可求视力在3.95≤x≤4.25范围内的人数，在4.25＜x≤4.55范围内的学生数占被调查的学生数的百分比； （2）根据C的人数与占被调查的学生数的百分比，可求本次调查的样本容量，进一步得到A、E的百分比，从而求得视力在4.85＜x≤5.15范围内的学生数占被调查学生数的百分比； （3）根据中位数的求法，将数据从小到大排列，找最中间两个数的平均数即可得出答案； （4）用样本中视力超过4.85的学生数人数，即可估计总体中视力超过4.85的学生人数． 【详解】（1）在被调查学生中，视力在3.95≤x≤4.25范围内的人数为2人，在4.25＜x≤4.55范围内的学生数占被调查的学生数的百分比为16%， 故答案为2，16； （2）20÷40%=50，50×16%=8（人），1-16%-40%-（2+3）÷50×100%=34%， 故本次调查的样本容量是50，视力在4.85＜x≤5.15范围内的学生数占被调查生数的百分比是34%， 故答案为50，34； （3）将数据从小到大排列，最中间两个数的都在C组，故本次调查中，视力的中位数落在C组， 故答案为C； （4）×100%=6%，350×（34%+6%）=140（人）， 故视力超过4.85的学生数是140． 【点睛】此题主要考查了中位数的定义以及频数分布直方图和利用频率估计概率，属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义．也考查了用样本估计总体． 26．2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【答案】（1）50（2）15（3）144°（4） 【分析】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数； （2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形； （3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可． 【详解】解：（1）5÷10％=50（人） （2） 50×30％=15（人） （3）360°×=144° （4）． 考点：数据分析（统计图，概率） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 认识概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历应用所学知识，解决实际问题的过程，进一步感受概率与频率之间的关系. 2.会用频率的稳定值去估计概率值，了解概率在生产生活中的应用. 3.学习重点：感受概率与频率之间的关系. 4.学习难点：会用频率的稳定值去估计概率值. 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型一、确定事件与随机事件 考点1、事件的分类 1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列事件中属于必然事件的是（   ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于 事件． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 题型二、可能性的大小 考点2、判断事件发生的可能性的大小 4．（21-22八年级下·江苏常州·期中）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A．1 B．3 C．5 D．10 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 题型三、 频率与概率 考点3、求某事件的频率 7．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 9．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 考点4、由频率估计概率 10．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列语句中，关于频率与概率的说法正确的有（    ） ①频率就是概率        ②概率是客观存在的，与试验次数无关 ⑧当试验次数很大时，频率稳定在概率附近    ④试验得到的频率与概率不可能相等 A．①② B．②④ C．②③ D．②③④ 11．（23-24八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 12．（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 考点5、用频率估计概率的综合应用 13．（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 14．（2020·江苏扬州·模拟预测）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 15．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 一、单选题 1．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯秒，左转绿灯秒，红灯秒，黄灯秒．出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（  ） A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯 2．下列事件是不可能事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中 C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 D．一个三角形的内角和为181度． 3．下列事件是确定事件的为（      ） A．投掷一枚硬币正面朝上 B．打开手机显示的时间恰好为8点整 C．明天早晨太阳从西边升起 D．从一整副扑克牌中随意抽取一张扑克牌恰好是红桃2 4．下列词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．旭日东升 D．十拿九稳 5．下列事件是必然事件的是（  ） A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《今日在线》 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程必有实数根 6．一个袋子中有2只红球，随机取出1只球是黑球是（    ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．以上说法均错 7．下列词语所描述的事件，属于必然事件的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．水滴石穿 D．刻舟求剑 8．下列命题中，①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；②一名篮球运动员投篮命中概率为0.7，他投篮10次，一定会命中7次；③因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；④在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是180°，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．不透明的袋子中有5个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．4个球都是蓝球 B．4个球都是红球 C．4个球中有蓝球 D．4个球中有红球 10．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（  ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 二、填空题 11．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在0.6，则随机从布袋中摸出一个球是红球的概率是 ． 12．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ． 13．掷一枚骰子，点数6朝上的可能性大小是 ；点数是6的因数朝上的可能性大小是 ． 14．学校举行“爱我中华"知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当 时，小云参加这次竞赛是必然事件． 15．指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件． (1)“检查生产流水线上的一个产品是合格品”是 事件；(2)“对顶角相等”是 事件；(3)“同位角相等”是 事件；(4)“a是实数，|a|＜0”是 事件． 16．写出一个你认为的必然事件 ． 17．已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数约为 次． 18．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是 （精确到0.01）． 三、解答题 19．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 20．一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 21．世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问： (1)每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？ 22．某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数（见下表）． （1）计算并完成表格； 参加游戏的人数 200 300 400 500 获得饮料的人数 39 63 82 99 获得饮料的频率 （2）估计获得饮料的概率； （3）请你估计袋中白球的数量． 23．不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来. 事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚). 事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金. 事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上. 事件四：这天早晨，我第一个来到教室. 24．从“不太可能”、“不可能”、“很有可能”和“必然”中选择适当的词描述下列事件． (1)在直线上任取一点作射线，得到两个和为180°的角.     (2)任画两条直线与另一条直线都相交，得到两个彼此相等的同位角； (3)小强对数学很感兴趣，常钻研教材内容，在数学测验中取得好成绩； (4) 在电话上随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话； (5)互为倒数的两个有理数符号相同． 25．某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 分组 视力 人数 A 3.95≤x≤4.25 2 B 4.25＜x≤4.55 C 4.55＜x≤4.85 20 D 4.85＜x≤5.15 E 5.15＜x≤5.45 3 根据以上信息，解答下列问题： （1）在被调查学生中，视力在3.95≤x≤4.25范围内的人数为　 　人，在4.25＜x≤4.55范围内的学生数占被调查的学生数的百分比为　 　%． （2）本次调查的样本容量是　 　，视力在4.85＜x≤5.15范围内的学生数占被调查学生数的百分比是　 　%． （3）本次调查中，视力的中位数落在　 组． （4）若该校九年级有350名学生，估计视力超过4.85的学生数． 26．2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$