专题7.3同底数幂的除法（4大考点+7大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题7.3同底数幂的除法（4大考点+7大题型+强化训练） 1.掌握同底数幂除法的运算性质，并会用符号表示， 2.会正确运用法则进行同底数幂的除法运算，并知道每一步运算的依据. 3.知道零指数幂及负整数指数幂的规定，并会求零指数幂及负整数指数幂 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数. 知识点01 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．(其中都是正整数). 解题指导：（1）底数a≠0，因为0不能做除数； （2）应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． （3）逆用公式：即（都是正整数）. 【即学即练】 1．计算a6÷（﹣a）3的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a3 D．﹣a3 2．若a﹣b＝2，则5a÷5b＝　 　 3．计算： （1）a10÷a2； （2）（﹣x）9÷（﹣x）3； （3）m8÷m2•m3； （4）（a3）2÷a6． 知识点02 零指数幂 一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· 【即学即练】 4．计算：20250＝（　　） A．0 B．1 C．2025 D．无意义 5．计算：20+21＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．当a为怎样的有理数时，（a﹣1）0＝1？ 知识点03 负整数指数幂 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 【即学即练】 7．下列数字与3﹣1相等的是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 8．3﹣2与32的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．和为零 D．绝对值相等 9．计算： （1）2﹣3； （2）10﹣4； （3）（）﹣2． 知识点04 用科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【即学即练】 10．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（　　） A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．21×10﹣6 D．2.1×10﹣5 11．已知一根头发的直径约为0.0000007m，数值0.0000007用科学记数法可表示为（　　） A．7×10﹣10 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．7×10﹣7 题型01 同底数幂的除法 【典例】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）计算： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型02 幂的运算综合计算问题 【典例】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 题型03 零指数幂的计算 【典例】2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 【变式训练】 7．（21-22八年级上·山东临沂·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 9．（24-25八年级上·云南昆明·期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 题型04负整数幂的计算 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式训练】 10．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广西贵港·期中）计算：． 12．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 题型05科学记数法的应用 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【变式训练】 13．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 15．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）空气的密度是，数据用小数表示为（    ） A．0.1293 B．0.0001293 C．0.001293 D．1293 题型06同底数幂除法的逆运用 【典例】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【变式训练】 16．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，，求的值． 18．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 19．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知， (1)求的值（用含a、b的代数式表示）； (2)求的值（用含a、c的代数式表示）． 题型07同底数幂除法的新定义问题 【典例】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【变式训练】 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 一、单选题 1．（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算：的结果是：（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（    ） A． B． C．5 D．6 6．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）的值为（    ） A．3 B． C． D． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 10．（24-25九年级上·重庆彭水·阶段练习）计算： ． 11．（23-24八年级上·河南漯河·期末）2018年2月18日，清朝袁枚的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典咏流传》的舞台重新唤醒．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示米，用科学记数法，则n的值为 ． 12．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，，则 ． 13．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 16．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 三、解答题 17．（21-22八年级上·北京朝阳·期末）计算∶． 18．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 19．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： 20．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 21．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 23．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3同底数幂的除法（4大考点+7大题型+强化训练） 1.掌握同底数幂除法的运算性质，并会用符号表示， 2.会正确运用法则进行同底数幂的除法运算，并知道每一步运算的依据. 3.知道零指数幂及负整数指数幂的规定，并会求零指数幂及负整数指数幂 4.会用科学记数法表示绝对值小于1的数. 知识点01 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．(其中都是正整数). 解题指导：（1）底数a≠0，因为0不能做除数； （2）应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． （3）逆用公式：即（都是正整数）. 【即学即练】 1．计算a6÷（﹣a）3的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a3 D．﹣a3 【答案】D 【详解】解：原式＝a6÷（﹣a3） ＝﹣a6﹣3 ＝﹣a3， 故选：D． 2．若a﹣b＝2，则5a÷5b＝　25　 【答案】25． 【详解】解：5a÷5b＝5a﹣b， 又a﹣b＝2， 故5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25． 故答案为：25． 3．计算： （1）a10÷a2； （2）（﹣x）9÷（﹣x）3； （3）m8÷m2•m3； （4）（a3）2÷a6． 【答案】（1）a8；（2）x6；（3）m9；（4）1． 【详解】解：（1）a10÷a2＝a10﹣2＝a8； （2）（﹣x）9÷（﹣x）3＝（﹣x）9﹣3＝（﹣x）6＝x6； （3）m8÷m2•m3＝m8﹣2+3＝m9； （4）（a3）2÷a6＝m6÷m6＝1． 知识点02 零指数幂 一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· 【即学即练】 4．计算：20250＝（　　） A．0 B．1 C．2025 D．无意义 【答案】B 【详解】解：∵a0＝1（a≠0）， ∴20250＝1． 故选：B． 5．计算：20+21＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：20+21 ＝1+2 ＝3． 故选：C． 6．当a为怎样的有理数时，（a﹣1）0＝1？ 【答案】见试题解答内容 【详解】解：当a﹣1≠0时，解得：a≠1， （a﹣1）0＝1． 知识点03 负整数指数幂 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 【即学即练】 7．下列数字与3﹣1相等的是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：3﹣1， 故选：C． 8．3﹣2与32的关系为（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．和为零 D．绝对值相等 【答案】B 【详解】解：3﹣2，32＝9， 和9互为倒数． 故选：B． 9．计算： （1）2﹣3； （2）10﹣4； （3）（）﹣2． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【详解】解：（1）2﹣3； （2）10﹣4； （3）（）﹣2． 知识点04 用科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【即学即练】 10．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（　　） A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．21×10﹣6 D．2.1×10﹣5 【答案】D 【详解】解：0.000021用科学记数法表示为2.1×10﹣5． 故选：D． 11．已知一根头发的直径约为0.0000007m，数值0.0000007用科学记数法可表示为（　　） A．7×10﹣10 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．7×10﹣7 【答案】D 【详解】解：0.0000007＝7×10﹣7． 故选：D． 题型01 同底数幂的除法 【典例】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的关键． 先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式训练】1．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方进行计算即可． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算乘方，再根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，有理数的乘方，有理数的除法运算等知识点， （1）先算乘方，然后再进行除法运算即可； （2）根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； 熟练掌握同底数幂的乘除法运算，有理数的乘方，有理数的除法运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 题型02 幂的运算综合计算问题 【典例】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 【变式训练】 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，同底数幂的乘法，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的混合运算； （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方化简，再合并同类项即可； （2）先根据同底数幂的除法和积的乘方化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型03 零指数幂的计算 【典例】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 【答案】的值为1或0或 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂．分别根据①②③④进行讨论即可． 【详解】①当时，； ②当时，，指数为偶数，所以符合题意； ③当时，，且，所以符合题意； 综上所述：的值为1或0或． 【变式训练】 7．（21-22八年级上·山东临沂·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 8．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 【详解】解：当时，，解得； ②当时，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：或或． 9．（24-25八年级上·云南昆明·期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键． 根据底数不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 解得． 故答案为：． 题型04负整数幂的计算 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握和灵活运用知识是解题的关键． 首先根据负整数指数幂的运算法则计算，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 10．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 11．（24-25八年级上·广西贵港·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： 12．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 题型05科学记数法的应用 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 【变式训练】 13．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 14．（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 15．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）空气的密度是，数据用小数表示为（    ） A．0.1293 B．0.0001293 C．0.001293 D．1293 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向左移几位．把1.293的小数点向左移3位即可． 【详解】解：， 故选：C． 题型06同底数幂除法的逆运用 【典例】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【变式训练】 16．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 17．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解． 【详解】解： ，即 又 原式的值为． 18．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知， (1)求的值（用含a、b的代数式表示）； (2)求的值（用含a、c的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 题型07同底数幂除法的新定义问题 【典例】如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【变式训练】 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 一、单选题 1．（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法，同底数幂的除法,幂的乘方等运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算,幂的乘方运算,熟练掌握幂的相关运算是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将写成（，n为正整数）的形式即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，先根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，乘方运算法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）计算：的结果是：（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂的计算，掌握相关运算法则即可. 【详解】解：原式， 故选：B ． 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 6．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：（，为正整数），计算得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 8．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则．根据同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解： ，，， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答． 【详解】解：， 故答案为∶ ． 10．（24-25九年级上·重庆彭水·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值，先计算绝对值和零指数幂，再计算减法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·河南漯河·期末）2018年2月18日，清朝袁枚的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典咏流传》的舞台重新唤醒．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示米，用科学记数法，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：，则． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方法则的逆用等知识点．运用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 13．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的法则是解题的关键． 先逆用法则，即，再入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，是解答本题的关键． 根据单项式除以单项式的运算法则，即系数相除，相同字母的次数相减，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 16．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 【答案】1 【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键． 三、解答题 17．（21-22八年级上·北京朝阳·期末）计算∶． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，先去绝对值，进行负整数指数幂和零指数幂的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和有理数混合运算，首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可. 【详解】解： 19．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，零指数幂，先根据幂的乘方、积的乘方法则、零指数幂的意义化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【详解】本题考查的是负整数指数幂的含义，同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练运用幂的运算法则进行运算是解题的关键． 根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数求出，，然后根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法进行计算即可得解． 【解答】解：，， ，， 则，， ． 21．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 23．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$