专题7.2幂的乘方与积的乘方（4大考点+5大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题7.2幂的乘方与积的乘方（4大考点+5大题型+强化训练） 1.掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质，并会用符号表示， 2.会正确运用幂的乘方与积的乘方的运算性质进行运算，并知道每一步运算的依据. 3.能灵活运用两类运算法则，并解决一些简单的实际问题. 知识点01幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (其中都是正整数). 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 解题技巧：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 【即学即练】 1．计算（﹣x3）4的结果是（　　） A．﹣x7 B．x7 C．﹣x12 D．x12 2．下列计算中，结果等于a2m的是（　　） A．am+am B．am•a2 C．（am）m D．（am）2 3．（﹣a3）4+（﹣a4）3等于（　　） A．0 B．﹣2a12 C．2a12 D．﹣2a7 4．计算： （1）xm•（﹣x2）2m； （2）（xm﹣1）2•（﹣x3）． 5．计算： （1）（x3）4； （2）﹣（x3）5； （3）[（﹣2）2]3； （4）[（﹣a）3]2． 6．计算： （1）（﹣a）3•a2； （2）x•（﹣x）2； （3）（﹣x）2•（﹣x）3； （4）（﹣a）3•（﹣a）2•（﹣a）． 知识点02 幂的乘方法则公式的逆运用 幂的乘方逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练】 7．若3m•3n＝35，（xm）2＝x4，则mn的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知10x＝2，10y＝3，则102x+3y等于（　　） A．36 B．72 C．108 D．24 9．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 10．若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为 　 　． 11．已知ax＝3，求a4x的值． 知识点03 积的乘方法则 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (其中是正整数). 解题技巧：（1）公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练】 12．计算（2x3）2的结果是（　　） A．2x3 B．2x5 C．4x5 D．4x6 13．计算： （1）（﹣3×104）3； （2）； （3）84×256． 14．计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣5x3y）2； （3）（3×104）4； （4）； （5）； （6）． 知识点04积的乘方的逆运用 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【即学即练】 15．计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 16．计算： 　 　． 17．请用简便方法计算下列各题． （1）24×54． （2）45×2.54． （3）（2×4）5． 18．用简便方法计算： （1）（）2018×（﹣0.75）2019； （2）2018n×（）n+1． 题型01幂的乘方与积的乘方的混合运算 【典例】计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 【变式训练】 1．如果（am•b•bn）3＝a6b15，那么m，n的值分别是（　　） A．2，4 B．2，5 C．3，5 D．3，﹣5 2．下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2＝4m2n2 B．（﹣2mn）2＝4m2n2 C．（2m2n2）3＝8m6n6 D．（﹣2m2n2）3＝8m5n5 3．计算的值是 　 　． 4．计算： （1）x2•x2•x+x4•x； （2）（a5）2•（a2）2﹣（a2）4•（a3）2． 5．（1）﹣m2•（﹣m）4•（﹣m）3； （2）a2•a4+（2a2）3； （3）（﹣a2）3•a2+a8； （4）（﹣0.125）9×（﹣8）10． 题型02积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用 【典例】解决下列有关幂的问题： （1）若26＝a3＝4b，求a+b值； （2）若n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣10（x2）2n的值． 【变式训练】 6．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 7．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　 　． 8．（﹣4）2024×0.252025＝　 　． 9．　 　． 10．若a+3b﹣2＝0，求3a•27b的值． 11．（1）若am＝3，an＝4，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025的值． 12．根据已知条件求值． （1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值． （2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值． 题型03 逆用幂的乘方法则比较幂的大小 【典例】比较2100与375的大小． 解：因为2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725， 因为16＜27， 所以2100＜375． 请根据上述解答过程接解答． （1）比较255，344，433的大小； （2）a＝833，b＝1625，c＝3219，比较a，b，c的大小． 【变式训练】 13．已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c的小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 14．已知a＝213，b＝46，c＝323，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 15．若a＝230，b＝320，c＝510，则a、b、c的大小关系是 　 　.（用“＜”连接） 16．比较大小： （1）比较2100和375的大小； （2）已知a、b为正数，且a2＝2，b3＝3，试比较a、b的大小． 题型04积的乘方与幂的乘方在实际问题中的应用 【典例】太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为6.96×108m，太阳的体积大约是多少？（π取3.14，Vπr3，其中，V，r分别为球的体积与半径．） 【变式训练】 17．某圆形湖面的半径为5×103m，请计算湖面的面积．（π取3.14） 18．一个正方体的棱长为2×103厘米，它的体积是多少立方厘米？ 19．球的表面积公式为S＝4πr2，已知地球半径约为6.4×103km，求地球的表面积（π取3.14）． 题型05幂的运算与新定义问题 【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ 　 　，（ 　 　，﹣27）＝3； （2）若（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，请你尝试运用上述运算证明：a+b＝c； （3）进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： 　 　． 【变式训练】 20．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 22．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 一．选择题（共8小题） 1．计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 2．下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a6 C．2a2﹣a2＝a D．a2•a3＝a6 3．下列计算正确的是（　　） A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7 C．x3•x3＝x9 D．（﹣2a）2＝4a2 4．计算的结果为（　　） A． B． C．1.5 D．﹣1.5 5．计算的值是（　　） A． B． C． D．﹣1 6．已知a＝214，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 7．已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 8．已知：M＝212×58，则M是（　　）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 二．填空题（共10小题） 9．计算 　 　． 10．已知4x＝23x﹣1，则x＝　 　． 11．若3m＝a，27n＝b，m，n为正整数，则32m+6n值为 　 　． 12．若a+2b＝2，则3a•9b的值为 　 　． 13．已知5a＝4，5b＝6，5c＝9，则a，b，c之间满足的等量关系是 　 　． 14．若x2＝3，则3（x3）2﹣2（x2）2＝　 　． 15．若a＝250，b＝340，c＝430，则a、b、c的大小关系是 　 　．（用“＜”连接） 16．已知2x+3y﹣3＝0，则3•9x•27y的值为 　 　． 17．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　 　立方厘米． 18．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　 　． 三．解答题（共6小题） 19．计算： （1）（﹣y3）6•（﹣y6）3； （2）（﹣a）3•a•（a2）3； （3）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3； （4）x3•x3+（x3）2+（﹣2x2）3． 20．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，求a、b、c之间的等量关系． 21．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； （2）若2×4x×8x＝216，求x的值． 22．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算： ①82022×（﹣0.125）2022； ②； （2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值． 23．（1）已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值． （2）若2×8x×16x＝222，求x的值． （3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535． 24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． 规定：，比如： （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ 　 　，（4，1）＝ 　 　， 　 　． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（4n，5n）＝（4，5）他给出如下的证明：设（4n，5n）＝x，则（4n）x＝5n，而（4n）x＝（4x）n，所以（4x）n＝5n，则4x＝5，即（4，5）＝x，所以（4n，5n）＝（4，5） 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（6，4）+（6，5）＝（6，20） （3）请你参照（2）的（6，4）+（6，5）＝（6，20），写出一个成立的等式 　 　． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2幂的乘方与积的乘方（4大考点+5大题型+强化训练） 1.掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质，并会用符号表示， 2.会正确运用幂的乘方与积的乘方的运算性质进行运算，并知道每一步运算的依据. 3.能灵活运用两类运算法则，并解决一些简单的实际问题. 知识点01幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (其中都是正整数). 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 解题技巧：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 【即学即练】 1．计算（﹣x3）4的结果是（　　） A．﹣x7 B．x7 C．﹣x12 D．x12 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：（﹣x3）4＝x12． 故选：D． 2．下列计算中，结果等于a2m的是（　　） A．am+am B．am•a2 C．（am）m D．（am）2 【答案】D 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、am+am＝2am，故此选项不合题意； B、am•a2＝am+2，故此选项不合题意； C、（am）m，故此选项不合题意； D、（am）2＝a2m，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（﹣a3）4+（﹣a4）3等于（　　） A．0 B．﹣2a12 C．2a12 D．﹣2a7 【答案】A 【分析】先分别进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案． 【详解】解：原式＝a12﹣a12＝0． 故选：A． 4．计算： （1）xm•（﹣x2）2m； （2）（xm﹣1）2•（﹣x3）． 【答案】（1）x5m．（2）﹣x2m+1． 【详解】解：（1）xm•（﹣x2）2m ＝xm•x4m ＝x5m． （2）（xm﹣1）2•（﹣x3） ＝x2m﹣2•（﹣x3） ＝﹣x2m+1． 5．计算： （1）（x3）4； （2）﹣（x3）5； （3）[（﹣2）2]3； （4）[（﹣a）3]2． 【答案】（1）x12；（2）﹣x15；（3）64；（4）a6． 【详解】解：（1）（x3）4＝x3×4＝x12； （2）﹣（x3）5＝﹣x3×5＝﹣x15； （3）[（﹣2）2]3＝（﹣2）6＝64； （4）[（﹣a）3]2＝（﹣a）6＝a6． 6．计算： （1）（﹣a）3•a2； （2）x•（﹣x）2； （3）（﹣x）2•（﹣x）3； （4）（﹣a）3•（﹣a）2•（﹣a）． 【详解】解：（1）（﹣a）3•a2＝﹣a5； （2）x•（﹣x）2＝x3； （3）（﹣x）2•（﹣x）3＝（﹣x）5＝﹣x5； （4）（﹣a）3•（﹣a）2•（﹣a）＝a6． 知识点02 幂的乘方法则公式的逆运用 幂的乘方逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练】 7．若3m•3n＝35，（xm）2＝x4，则mn的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据幂的乘方法则求出m的值，根据同底数幂的乘法法则得出m+n＝5，即可求出n的值，最后求出mn的值即可． 【详解】解：∵3m•3n＝35， ∴3m+n＝35，∴m+n＝5， ∵（xm）2＝x4，∴x2m＝x4，∴2m＝4，∴m＝2， ∴2+n＝5，∴n＝3，∴mn＝23＝8，故选：C． 8．已知10x＝2，10y＝3，则102x+3y等于（　　） A．36 B．72 C．108 D．24 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当10x＝2，10y＝3时， 102x+3y ＝102x×103y ＝（10x）2×（10y）3＝22×33＝4×27＝108． 故选：C． 9．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故选：C． 10．若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为 　48　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算将原式变形为（am）2•an，代入数值进行计算即可． 【详解】解：∵am＝4，an＝3， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝42×3＝48， 故答案为：48． 11．已知ax＝3，求a4x的值． 【答案】81． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵ax＝3， ∴a4x＝（ax）4＝34＝81． 知识点03 积的乘方法则 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (其中是正整数). 解题技巧：（1）公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【即学即练】 12．计算（2x3）2的结果是（　　） A．2x3 B．2x5 C．4x5 D．4x6 【答案】D 【分析】根据积的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝4x6． 故选：D． 13．计算： （1）（﹣3×104）3； （2）； （3）84×256． 【答案】（1）﹣2.7×1013； （2）8； （3）1012． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，科学记数法，进行计算即可解答； （2）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答； （3）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，科学记数法，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）（﹣3×104）3＝（﹣3）3×（104）3＝﹣27×1012＝﹣2.7×1013； （2）＝（）2010×82010×8 ＝[（）×8]2010×8＝（﹣1）2010×8＝1×8＝8； （3）84×256 ＝84×254×252 ＝（8×25）4×252 ＝（2×102）4×252 ＝24×（102）4×252 ＝42×252×108 ＝（4×25）2×108 ＝（102）2×108 ＝104×108 ＝1012． 14．计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣5x3y）2； （3）（3×104）4； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）x3my3m； （2）25x6y2； （3）8.1×1017； （4）x2y6z4； （5）a3mb3n； （6）x2ny6n． 【详解】解：（1）（x3y3）m ＝x3my3m； （2）（﹣5x3y）2 ＝25x6y2； （3）（3×104）4 ＝81×1016 ＝8.1×10×1016 ＝8.1×1017； （4） x2y6z4； （5） a3mb3n； （6） x2ny6n+x2ny6n x2ny6n． 知识点04积的乘方的逆运用 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【即学即练】 15．计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】D 【详解】解： ＝1 ， 故选：D． 16．计算： 　　． 【答案】． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 17．请用简便方法计算下列各题． （1）24×54． （2）45×2.54． （3）（2×4）5． 【答案】见试题解答内容 【详解】解：（1）24×54＝（2×5）4＝104＝10000； （2）45×2.54 ＝44×4×2.54 ＝（4×2.5）4×4 ＝104×4 ＝40000； （3）（2×4）5 ＝（2×22）5 ＝215 ＝1． 18．用简便方法计算： （1）（）2018×（﹣0.75）2019； （2）2018n×（）n+1． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型01幂的乘方与积的乘方的混合运算 【典例】计算 （1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2． 【答案】（1）47m6； （2）a11． 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）（﹣2m）6﹣（3m3）2+（﹣2m2）3 ＝64m6﹣9m6+（﹣8m6） ＝47m6； （2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2 ＝（﹣a2）•（﹣a3）•a4•a2 ＝a11． 【变式训练】 1．如果（am•b•bn）3＝a6b15，那么m，n的值分别是（　　） A．2，4 B．2，5 C．3，5 D．3，﹣5 【答案】A 【分析】根据积的乘方法则得出3m＝6，3（n+1）＝15，求出即可． 【详解】解：∵（am•b•bn）3＝a6b15， ∴3m＝6，3（n+1）＝15， 解得：m＝2，n＝4， 故选：A． 2．下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2＝4m2n2 B．（﹣2mn）2＝4m2n2 C．（2m2n2）3＝8m6n6 D．（﹣2m2n2）3＝8m5n5 【答案】D 【分析】根据积的乘方把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答即可． 【详解】解：A、（2mn）2＝4m2n2，正确，不符合题意； B、（﹣2mn）2＝4m2n2，正确，不符合题意； C、（2m2n2）3＝8m6n6，正确，不符合题意； D、（﹣2m2n2）3＝﹣8m6n6，错误，符合题意； 故选：D． 3．计算的值是 　　． 【答案】． 【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算： （1）x2•x2•x+x4•x； （2）（a5）2•（a2）2﹣（a2）4•（a3）2． 【答案】（1）2x5； （2）0． 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式＝x2+2+1+x4+1 ＝x5+x5 ＝2x5； （2）原式＝a10•a4﹣a8•a6 ＝a10+4﹣a8+6 ＝a14﹣a14 ＝0． 5．（1）﹣m2•（﹣m）4•（﹣m）3； （2）a2•a4+（2a2）3； （3）（﹣a2）3•a2+a8； （4）（﹣0.125）9×（﹣8）10． 【答案】（1）m9； （2）9a6； （3）0； （4）﹣8． 【分析】（1）先把各个幂化成同底数幂，然后按照同底数幂相乘法则进行计算即可； （2）按照积的乘方和幂的乘方法则计算乘方，再根据同底数幂相乘法则计算乘法，最后合并同类项即可； （3）先根据积的乘方和同底数幂相乘法则计算乘方和乘法，再合并同类项即可； （4）先根据乘方的意义，把（﹣8）10写成（﹣8）9×（﹣8）的形式，再逆用积的乘方法则进行简便计算即可． 【详解】解：（1）原式＝﹣m2•m4•（﹣m3） ＝m2•m4•m3 ＝m9； （2）原式＝a6+8a6 ＝9a6； （3）原式＝（﹣a6）•a2+a8 ＝﹣a8+a8 ＝0； （4）原式＝（﹣0.125）9×（﹣8）9×（﹣8） ＝[﹣0.125×（﹣8）]9×（﹣8） ＝19×（﹣8） ＝1×（﹣8） ＝﹣8． 题型02积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用 【典例】解决下列有关幂的问题： （1）若26＝a3＝4b，求a+b值； （2）若n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣10（x2）2n的值． 【答案】（1）7； （2）32． 【分析】（1）将26＝a3变形为（22）3＝a3，即可求出a的值，将26＝4b变形为26＝（22）b，即可求出b的值，再计算a+b即可； （2）将要求的式子变形为9（x2n）3﹣10（x2n）2，再代入计算即可． 【详解】解：（1）∵26＝a3， ∴（22）3＝a3， ∴43＝a3， ∴a＝4， ∵26＝4b， ∴26＝（22）b， ∴26＝22b， ∴2b＝6， ∴b＝3， ∴a+b＝4+3＝7； （2）∵x2n＝2， ∴（3x3n）2﹣10（x2）2n ＝9x6n﹣10x4n ＝9（x2n）3﹣10（x2n）2 ＝9×23﹣10×22 ＝9×8﹣10×4 ＝72﹣40 ＝32． 【变式训练】 6．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故选：C． 7．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　a3b2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【详解】解：32n＝25n＝b， 则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2． 故答案为：a3b2． 8．（﹣4）2024×0.252025＝　0.25　． 【答案】0.25． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：原式＝（﹣4×0.25）2024×0.25＝0.25； 故答案为：0.25． 9．　　． 【答案】． 【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出答案即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．若a+3b﹣2＝0，求3a•27b的值． 【答案】3a•27b的值为9． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a+3b﹣2＝0， ∴a+3b＝2， ∴3a•27b＝3a•（33）b ＝3a•33b ＝3a+3b ＝32 ＝9， ∴3a•27b的值为9． 11．（1）若am＝3，an＝4，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025的值． 【答案】（1）36；（2）﹣1． 【分析】（1）化简a2m+n＝（am）2×an，再将已知代入即可； （2）由已知得24m＝22n，33n＝3m+5，可得n＝2m，3n＝m+5，求出m、n的值即可求解． 【详解】解：（1）∵am＝3，an＝4， ∴a2m+n＝a2m×an ＝（am）2×an ＝32×4 ＝36； （2）根据题意可知，16m＝4×22n﹣2＝24m＝22×22n﹣2＝22n﹣2+2＝22n， ∴4m＝2n， ∴n＝2m， 又∵27n＝9×3m+3＝33n＝32×3m+3＝3m+3+2＝3m+5， ∴3n＝m+5， ∴6m＝m+5， ∴m＝1， ∴n＝2， ∴（m﹣n）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1． 12．根据已知条件求值． （1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值． （2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值． 【答案】（1）40；（2）8． 【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵am＝2，an＝5， ∴a3m+n＝a3m•an＝（am）3•an＝23×5＝40； （2）∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， ∴4x•32y＝（22）x•（25）y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8． 题型03 逆用幂的乘方法则比较幂的大小 【典例】比较2100与375的大小． 解：因为2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725， 因为16＜27， 所以2100＜375． 请根据上述解答过程接解答． （1）比较255，344，433的大小； （2）a＝833，b＝1625，c＝3219，比较a，b，c的大小． 【答案】（1）255＜433＜344；（2）c＜a＜b． 【分析】（1）由题意可得255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，由32＜64＜81即可得到答案； （2）幂的乘方法则得到a＝833＝299，b＝1625＝2100，c＝3219＝295，比较指数大小即可得到答案． 【详解】解：（1）255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411， ∵32＜64＜81， ∴255＜433＜344； （2）a＝833＝（23）33＝299，b＝1625＝（24）25＝2100，c＝3219＝（25）19＝295， ∵295＜299＜2100， ∴c＜a＜b． 【变式训练】 13．已知a＝166，b＝89，c＝413，则a，b，c的小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 【答案】C 【分析】利用幂的乘方的法则把各数的底数转为相等，再比较指数即可． 【详解】解：a＝166＝（24）6＝224； b＝89＝（23）9＝227； c＝413＝（22）13＝226； ∵24＜26＜27， ∴224＜226＜227； 即a＜c＜b． 故选：C． 14．已知a＝213，b＝46，c＝323，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】先根据题意将a、b、c化成底数相同的指数幂，再进行比较即可． 【详解】解：∵a＝213，b＝46＝（22）6＝212，c＝323＝（25）3＝215， ∴c＞a＞b． 故选：A． 15．若a＝230，b＝320，c＝510，则a、b、c的大小关系是 　c＜a＜b　.（用“＜”连接） 【答案】c＜a＜b． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法得到a＝810，b＝910，c＝510即可． 【详解】解：∵a＝230＝（23）10＝810，b＝320＝（32）10＝910，c＝510，而5＜8＜9 ∴510＜810＜910， 即c＜a＜b， 故答案为：c＜a＜b． 16．比较大小： （1）比较2100和375的大小； （2）已知a、b为正数，且a2＝2，b3＝3，试比较a、b的大小． 【答案】（1）2100＞375；（2）b＞a． 【分析】（1）利用幂的乘方将两个幂变成指数相等，再比较大小即可； （2）将a，b的指数变相等，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）2100＝（24）25＝1625；375＝（33）25＝2725， ∵1625＜2725， ∴2100＜375； （2）∵a2＝2， ∴a6＝8， ∵b3＝3， ∴b6＝9． ∴b6＞a6， 即b＞a． 题型04积的乘方与幂的乘方在实际问题中的应用 【典例】太阳可以近似地看成球体．已知太阳的半径约为6.96×108m，太阳的体积大约是多少？（π取3.14，Vπr3，其中，V，r分别为球的体积与半径．） 【分析】根据球体的体积公式Vπr3分析计算． 【详解】解：根据题意得， 太阳的体积Vπ×（6.96×108）3≈1.41×1027（m3）， 答：太阳的体积大约是1.41×1027m3． 【变式训练】 17．某圆形湖面的半径为5×103m，请计算湖面的面积．（π取3.14） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2来计算分析． 【详解】解：湖面的面积为3.14×（5×103）2＝3.14×25×106＝7.85×107（m2） 答：湖面的面积是7.85×107m2． 18．一个正方体的棱长为2×103厘米，它的体积是多少立方厘米？ 【答案】8×109立方厘米． 【分析】根据正方体的体积公式V＝a3，把a＝2×103厘米代入，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（2×103）3＝23×（103）3＝8×109（立方厘米）． 答：它的体积是8×109立方厘米． 19．球的表面积公式为S＝4πr2，已知地球半径约为6.4×103km，求地球的表面积（π取3.14）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案． 【详解】解：地球的表面积： 解：S＝4πr2 ＝4×3.14×（6.4×103）2 ＝12.56×6.42×106 ＝12.56×40.96×106 ＝514.45×106 ＝5.14×108． 题型05幂的运算与新定义问题 【典例】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ 　3　，（ 　﹣3　，﹣27）＝3； （2）若（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，请你尝试运用上述运算证明：a+b＝c； （3）进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合（2）、（3）探索的结论，计算： 　3　． 【答案】（1）3，﹣3； （2）证明见解析； （3）3． 【分析】（1）根据题意可得43＝64，（﹣3）3＝﹣27，进而求解； （2）由（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c，得5a＝3，5b＝8，5c＝24，即知5a•5b＝5c，从而a+b＝c； （3）设（2，5）＝a，，由结论得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：43＝64，（﹣3）3＝﹣27， ∴（4，64）＝3，（﹣3，﹣27）＝3， 故答案为：3，﹣3； （2）∵（5，3）＝a，（5，8）＝b，（5，24）＝c， ∴由新定义可得：5a＝3，5b＝8，5c＝24， ∵3×8＝24， ∴5a•5b＝5c， ∴a+b＝c； （3） ， 设（2，5）＝a，，， ∴， ∵23＝8， ∴c＝3， ∴． 故答案为：3． 【变式训练】 20．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【答案】（1）D（2）＝1， D（16）＝4， （2）①D（a3）＝3， ②D（15）＝3a﹣b+c， ， D（108）＝6a﹣3b+2， 5a﹣3b﹣c﹣2， 【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【详解】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 【答案】（1）不是，理由见详解； （2）64； （3）16． 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”； （2）根据（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，可以求得（4m）n的值； （3）根据（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，可以求得（﹣2）m﹣n的值． 【详解】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对”， 理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，﹣3≠﹣1 ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； （2）由题意可知： ， ∴mn＝3， ∴（4m）n＝4mn＝43＝64； （3）由题意可得： ∴， ∴m﹣n＝3+1＝4， 则（﹣2）m﹣n＝（﹣2）4＝16． 22.定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值． 【答案】（1）96；（2）21． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：（1）22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96； （2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时． 2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×5 ＝6+15 ＝21． 一．选择题（共8小题） 1．计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 【答案】D 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12， 故选：D． 2．下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a6 C．2a2﹣a2＝a D．a2•a3＝a6 【答案】B 【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘法和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故选项符合题意； C、2a2﹣a2＝a2，故选项不符合题意； D、a2•a3＝a5，故选项不符合题意； 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7 C．x3•x3＝x9 D．（﹣2a）2＝4a2 【答案】D 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则逐一计算即可． 【解答】解：A、b3•b3＝b6，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（a5）2＝a10，原计算错误，故此选项不符合题意； C、x3•x3＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（﹣2a）2＝4a2，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．计算的结果为（　　） A． B． C．1.5 D．﹣1.5 【答案】D 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝（）2024×1.52024×（﹣1.5） ＝（1.5）2024×（﹣1.5） ＝1×（﹣1.5） ＝﹣1.5． 故选：D． 5．计算的值是（　　） A． B． C． D．﹣1 【答案】B 【分析】根据积的乘方逆运算进行简化运算即可． 【解答】解： ＝﹣1 ， 故选：B． 6．已知a＝214，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】D 【分析】先把b和c写成底数是3的幂，然后根据乘方意义比较b，c，a的大小即可． 【解答】解：∵b＝275＝（33）5＝315，c＝97＝（32）7＝314， ∴214＜314＜315， ∴b＞c＞a， 故选：D． 7．已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 【答案】B 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵mx＝2，my＝5， ∴m2x+y＝m2x•my ＝（mx）2•my ＝22×5 ＝4×5 ＝20， 故选：B． 8．已知：M＝212×58，则M是（　　）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【分析】利用积的乘方的法则进行求解即可． 【解答】解：M＝212×58 ＝24×28×58 ＝1.6×109． 故M是10位正整数． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 9．计算 　　． 【答案】． 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方的法则进行求解即可． 【解答】解：原式 故答案为：． 10．已知4x＝23x﹣1，则x＝　1　． 【答案】1． 【分析】将原式变形为22x＝23x﹣1，即可得出2x＝3x﹣1，从而求出x的值． 【解答】解：∵4x＝23x﹣1， ∴（22）x＝23x﹣1， ∴22x＝23x﹣1， ∴2x＝3x﹣1， ∴x＝1， 故答案为：1． 11．若3m＝a，27n＝b，m，n为正整数，则32m+6n值为 　a2b2　． 【答案】a2b2． 【分析】由27n＝b得出33n＝b，再将32m+6n变形为＝（3m）2•（33n）2，代入计算即可． 【解答】解：∵27n＝b， ∴（33）n＝b， ∴33n＝b， ∵3m＝a， ∴32m+6n ＝32m•36n ＝（3m）2•（33n）2 ＝a2b2， 故答案为：a2b2． 12．若a+2b＝2，则3a•9b的值为 　9　． 【答案】9． 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：当a+2b＝2时， 3a•9b ＝3a•32b ＝3a+2b ＝32 ＝9． 故答案为：9． 13．已知5a＝4，5b＝6，5c＝9，则a，b，c之间满足的等量关系是 　a+c＝2b　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵5a＝4，5b＝6，5c＝9， ∴4×9＝62， ∴5a•5c＝（5b）2， ∴5a+c＝52b， ∴a+c＝2b， 故答案为：a+c＝2b． 14．若x2＝3，则3（x3）2﹣2（x2）2＝　63　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂的乘方把原式变形为原式＝3（x2）3﹣2（x2）2，然后把x2＝3整体代入计算即可． 【解答】解：原式＝3（x2）3﹣2（x2）2， 当x2＝3时，原式＝3×33﹣2×32＝63． 故答案为63． 15．若a＝250，b＝340，c＝430，则a、b、c的大小关系是 　a＜c＜b　．（用“＜”连接） 【答案】a＜c＜b． 【分析】根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【解答】解：a＝250＝（25）10＝3210， b＝340＝（34）10＝8110， c＝430＝（43）10＝6410， ∵32＜64＜81， ∴3210＜6410＜8110， 即a＜c＜b， 故答案为：a＜c＜b． 16．已知2x+3y﹣3＝0，则3•9x•27y的值为 　81　． 【答案】81． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵2x+3y﹣3＝0， ∴2x+3y＝3， ∴3•9x•27y ＝3×32x•33y ＝31+2x+3y ＝31+3 ＝34 ＝81． 故答案为：81． 17．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　1021　立方厘米． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用棱长变化规律进而得出3秒后该正方体的棱长，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm）， 故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3）， 故答案为：1021． 18．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　35　． 【答案】35． 【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值． 【解答】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝35． 故答案为：35． 三．解答题（共6小题） 19．计算： （1）（﹣y3）6•（﹣y6）3； （2）（﹣a）3•a•（a2）3； （3）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3； （4）x3•x3+（x3）2+（﹣2x2）3． 【答案】（1）﹣y36； （2）﹣a10； （3）37x6y12； （4）﹣6x6． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法； （2）先算乘方，再算乘法； （3）先算乘方，再算加法； （4）先算乘方，再算加法． 【解答】解：（1）（﹣y3）6•（﹣y6）3 ＝y18•（﹣y18） ＝﹣y36； （2）（﹣a）3•a•（a2）3 ＝（﹣a3）•a•a6 ＝﹣a10； （3）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3 ＝64x6y12+（﹣27x6y12） ＝37x6y12； （4）x3•x3+（x3）2+（﹣2x2）3 ＝x6+x6﹣8x6 ＝﹣6x6． 20．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，求a、b、c之间的等量关系． 【答案】ba2＝c． 【分析】先逆用积与因数的关系，再利用积的乘方法则、逆用幂的乘方法则得结论． 【解答】解：∵c＝20n＝（22×5）n＝22n×5n＝（2n）2×5n＝ba2， ∴ba2＝c． 21．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； （2）若2×4x×8x＝216，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为（am）3•（an）2，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为21+2x+3x，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，am＝2，an＝3， ∴a3m+2n ＝a3m•a2n ＝（am）3•（an）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72； （2）∵2×4x×8x ＝2×（22）x×（23）x ＝21+2x+3x ＝216， ∴1+2x+3x＝16， 5x＝15， 解得：x＝3． 22．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：45×（﹣0.25）5． 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1． （1）计算： ①82022×（﹣0.125）2022； ②； （2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值． 【答案】（1）①1；②；（2）4． 【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； ②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【解答】解：（1）①82022×（﹣0.125）2022＝[8×（﹣0.125）]2022＝（﹣1）2022＝1； ②原式 ； （2）∵3×9n×81n＝325 ∴3×（32）n×（34）n＝325， ∴36n+1＝325， ∴6n+1＝25， 解得：n＝4． 23．（1）已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值． （2）若2×8x×16x＝222，求x的值． （3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535． 【答案】（1）40； （2）3； （3）p5q7． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则将8和16分别化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （3）将3535中的底35写成5×7，再根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：（1）∵2a＝5，2b＝1， ∴2a+b+3 ＝2a•2b•23 ＝5×1×8 ＝40． （2）∵2×8x×16x ＝2×23x×24x ＝21+3x+4x ＝27x+1 ＝222， ∴7x+1＝22， ∴x＝3． （3）∵p＝57，q＝75， ∴3535 ＝（5×7）35 ＝535×735 ＝（57）5×（75）7 ＝p5q7． 24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． 规定：，比如： （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ 　3　，（4，1）＝ 　0　， 　﹣3　． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（4n，5n）＝（4，5）他给出如下的证明：设（4n，5n）＝x，则（4n）x＝5n，而（4n）x＝（4x）n，所以（4x）n＝5n，则4x＝5，即（4，5）＝x，所以（4n，5n）＝（4，5） 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（6，4）+（6，5）＝（6，20） （3）请你参照（2）的（6，4）+（6，5）＝（6，20），写出一个成立的等式 　（3，2）+（3，5）＝（3，10）（答案不唯一）　． 【答案】（1）3；0；﹣3；（2）证明见解析；（3）（3，2）+（3，5）＝（3，10）（答案不唯一）． 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）设（6，4）＝x，（6，5）＝y，则6x＝4，6y＝5，则由同底数幂乘法计算法则得到6x+y＝20，则（6，20）＝x+y，据此可证明结论； （3）类似于（2）写出符合题意的式子即可． 【解答】（1）解：由新定义可知：（3，27）＝3；（4，1）＝0；； 故答案为：3；0；﹣3； （2）证明：设（6，4）＝x，（6，5）＝y， ∴6x＝4，6y＝5， ∴6x+y＝20， ∴（6，20）＝x+y， ∴（6，4）+（6，5）＝（6，20）； （3）（3，2）+（3，5）＝（3，10），证明如下： 设（3，2）＝m，（3，5）＝n， ∴3m＝2，3n＝5， ∴3m•3n＝2×5＝10， ∴3m+n＝10， ∴（3，10）＝m+n， ∴（3，2）+（3，5）＝（3，10）， 故答案为：（3，2）+（3，5）＝（3，10）（答案不唯一）． 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