6.1 正弦、余弦、正切、余切（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.1正弦、余弦、正切、余切（第2课时） 情景引入 2 我们将锐角α置于平面直角坐标系中，使角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边必在第一象限.如图6-1-6,在角α的终边上任取异于原点的一点P(x,y),它与原点的距离r=√x²+y²>0.过点P作x轴的垂线，设垂足为M,则线段OM的长度|OM|为x,而线段MP的长度|MP|为y.根据锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义，有 注：线段OM的长度通常用|OM|表示.在不引起混淆的前提下，也可用OM表示. 一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 如图6-1-7,在任意角α的终边上任取异于原点的一点P,设其坐标为(x,y),并令|OP|=r,必有r=√x²+y²>0.这样，就可以分别定义角α的正弦、余弦、正切、余切为 应当注意的是：当a=kπ+ (k∈Z),即角a的终边位于y轴上时，tanα无意义；而当α=kπ(k∈Z),即角α的终边位于x轴上时，cota无意义. 由相似三角形知识可知，角α的正弦、余弦、正切及余切值只与角a的终边有关，而与在终边上所取的点P的位置无关. 1.已知角的终边与单位圆的交点坐标为,则下列表示正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为角的终边与单位圆的交点坐标为, 所以.故选C. 练一练 5 2.若角的终边经过点,则_______,_____,_______,cotα=_______ [解析] 因为, 所以, 所以, . 6 由于角α的正弦、余弦、正切及余切值可以由其终边上一点P的坐标求出，因此不难根据点P的坐标来判断角α的正弦、余弦、正切及余切的符号，如表6-3所示. 二、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 简记口诀：一全正、二正弦、三切、四余弦． 上表的结果可用图6-1-8直观表示. 练一练 9 10 半径为1个单位的圆称为单位圆.本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以原点为圆心，以1为半径的圆. 将角α的顶点置于坐标原点O,始边与x轴的正半轴重合，则角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点P(x,y),如图6-1-9所示.这样，任意一个角α对应于单位圆上一点P;反之，单位圆上一点P可对应无穷多个角，但这些角的弧度数之差必为2π的整数倍.由定义可知，x=cos α,y=sina.因此，单位圆上点P的坐标必可以写为(cosα,sin α). 三、由单位圆求角的正弦、余弦、正切、余切 5.求的正弦、余弦和正切值. [答案] 如图,在平面直角坐标系中, 作, 易知的终边与单位圆的交点坐标为, 所以. 练一练 12 对终边与坐标轴重合的角α,设终边与以原点为圆心的单位圆的交点为P,请同学们完成以下表格(表6-4). 设角α的终边经过异于原点的一点P(x,y),并记r=√x²+y²>0. 由定义，有 由x²+y²=r²,就有 sin²α+cos²α=1. 当cosα≠0时，有 四、正弦、余弦、正切、余切之间的关系（同角的三角函数的基本关系） 当sina≠0时，有 当tanα、cot α都有意义时，有 tanα·cot α=1. 根据以上关系，如果知道角α的正弦、余弦、正切及余切之中的一个值，就可以求出其他值. 练一练 探究点一 利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】 求解下列各题: （1）若角 的终边与单位圆的交点是 ,则 __, _ ____, _ _____; <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 依题意, ,解得 , 于是 , , . 题型归纳 18 （2）已知角 的终边经过点 ，且 ,则 _ ___; <m></m> [解析] 角 的终边经过点 ， ,解得 , , , , 则 . 19 （3）已知角 的始边与 轴的非负半轴重合,终边在射线 上,则 _ _. <m></m> [解析] 角 的始边与 轴的非负半轴重合,终边在射线 上,设 终边上一点 , 为坐标原点 . 不妨令 ,则 , , , , . 20 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况 （1）若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函 数值. （2）若已知角 终边上一点 是单位圆上的点,则 , ， . （3）若已知角 终边上一点 （不与原点重合）不是单位圆上一点,则先 求 ,再求 , . （4）若已知角 终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 21 变式训练1（1） 已知角 的终边经过点 ,则 ____, _____, _ __. <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 因为 ,所以点 在单位圆上.由三角函数的定义知 , , . 22 （2）已知角 的终边上有一点 ,且 ,求 , 的值. 解 由已知,得 , 解得 或 . ①当 时, , ; ②当 时, , ; ③当 时, , . 23 探究点二 三角函数值符号的运用 【例2】（1） 若 ,且 ,则角 是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析] 由 可知 , 异号,从而 为第二或第三象限角.由 可知 , 异号,从而 为第三或第四象限角.综上可知, 为第三象限角.故选C. 24 （2）判断下列各式的符号: ① ; 解 , 分别为第二、第三象限角, , ， . ② . , 是第二象限角, . 又 是第三象限角, ， . 25 规律方法 判断三角函数值在各象限符号的攻略 （1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； （2）关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； （3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误. 注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号. 26 变式训练2 ［北师大版教材习题］在单位圆中,确定下列三角函数值的符号: （1） ; 解 因为 角的终边在第二象限,所以 . （2） ; 因为 , 的终边在第三象限,所以 . （3） ; 因为 的终边在第三象限,所以 . （4） . 因为 角的终边在第四象限,所以 . 27 探究点三 利用同角三角函数的基本关系式求值 角度1.已知某个三角函数值，求其余三角函数值 【例3】（1） 已知 ,求 , 的值； 解 , 是第一或第二象限角. 当 为第一象限角时， , ; 当 为第二象限角时, , . 28 （2）已知 ，求 , 的值. , 是第二或第三象限角. 当 是第二象限角时, , ; 当 是第三象限角时， , . 29 规律方法 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数基本关系式，求出其余三角函数值. 30 角度2.已知 ，求关于 和 的齐次式的值 【例4】 已知 ，则 （1） ____; <m></m> [解析] （2） __; <m></m> [解析] . 31 （3） ___. 1 [解析] . 32 规律方法 已知 ，求关于 和 的齐次式的值的基本方法 （1）形如 的分式，可将分子、分母同时除以 ；形如 的分式，可将分子、分母同时除以 ，将正、余弦转化 为正切，从而求值. （2）形如 的式子，可将其看成分母为1的分式， 再将分母1变形为 ，转化为形如 的分式求解. 33 角度3.利用 ， 与 之间的关系求值 【例5】 已知 , ，求 的值. 解 ,① 将其两边同时平方，得 , . , ， . , .② 由①②得 , , . 34 规律方法 1.由 , 可知如果已知 , , 三个式子中任何一个的值，那 么就可以利用平方关系求出其余的两个. 2. 的符号的判定方法 （1） 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 的终边落在 直线 上时， ，即 ；当 的终边落在直线 的上半平面区域内时， ，即 ；当 的终边落在直线 的下半平面区域内时， ，即 .如图1所示. 35 （2） 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 的终边落在 直线 上时， ，即 ；当 的终边落在直线 的上半平面区域内时， ，即 ；当 的终边 落在直线 的下半平面区域内时， ,即 .如图2所 示. 36 变式训练1（1） 若 ,则 ( ) B A. B.2 C. D. [解析] 易知 , . （方法1）由 解得 所以 . 37 （方法2）因为 ,所以 , 则 ,即 , 所以 ,解得 . （方法3）设 ，则 ， 代入题设 ，得 . 当 ,即 时， , 与题意矛盾，所 以 ,所以 ,所以 .又 ,所以 ,即 . 38 （2）已知 ，求 的值； 解 由题中等式易知 , 则 ,整理得 ,即 , 解得 或 . （3）已知 ，求 的值. 解 将 两边同时平方，得 ,从而可得 , 故 . 39 探究点四 应用同角三角函数的基本关系式化简 【例6】 化简下列各式: （1） ; 解 . （2） （其中 是第二象限角）. 因为 是第二象限角,所以 . 故 . 40 规律方法 三角函数式的化简过程中常用的方法 （1）利用同角三角函数的基本关系，减少函数名称,达到化简的目的. （2）对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的. （3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 ,以降低函数次数,达到化简的目的. 41 变式训练2 化简: （1） ； 解 . （2） ； 原式 . 42 （3） . 因为 ，所以 . （方法1）原式 . （方法2）原式 . 43 探究点五 应用同角三角函数的基本关系式证明恒等式 角度1.一般恒等式的证明 【例7】 求证: . 证明 （方法1） 左边 右边. 原等式成立. 44 （方法2） 右边 , 左边 , 左边 右边,原等式成立. 45 规律方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： （1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； （2）左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子； （3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异； （4）变更命题法，如要证明 ，可证 或证 等； （5）比较法，即设法证明“左边-右边 ”或“ （右边 ）”. 46 变式训练3 证明: . 证明 由题可知 , ,则左边 右边，所以原等式成立. 47 角度2.给出限制条件的恒等式的证明 【例8】 已知 ，求证： . 证明 由 ,可得 ,即 , 故有 , 整理得 , 即 , 展开得 ,即 . 规律方法 证明含有条件的三角恒等式时，常用方法有：①直推法：从条件直推到结论；②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③换元法. 48 变式训练4 已知 ,求证： . 证明 设 , ,则 , . 由 ,得 , 化简得 ， , . 49 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然． 问题：把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为α，水车的半径为r，点P的坐标如何表示？ 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0． (　　) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 4．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　) A．第一象限角　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．故选B． 5.已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 解:因为cos α=-<0, 所以α是第二或第三象限角. 若α是第二象限角,则 sin α==,tan α==-. 若α是第三象限角,则 sin α=-=-,tan α==. 6.已知sin α+cos α=-,0<α<π. (1)求sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值. 解:(1)由sin α+cos α=-,得(sin α+cos α)2=, 即sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 所以sin αcos α=-. (2)因为0<α<π,sin αcos α<0, 所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0. 所以sin α-cos α===. $$