小专题(3)构造等腰三角形的四种方法(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 山西专版）

小专题（三） 构造等腰三角形的四种方法 类型1作等腰三角形的腰或底的平行 类型2 利用角平分线作垂线构造等腰 线构造等腰三角形 三角形 模型归纳 模型归纳 (1)作腰的平行线构造等腰三角形： (1)延长AP交ON于点B,如图①： (2)延长BA,CE交于，点M,如图②. (2)作底边的平行线. 图① 图② 3.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC 于点E,AD⊥BE于点D, 求证：∠BAD=∠CAD+∠C 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB 上，点E在AC的延长线上，且BD=CE, DE交BC于点F.求证：DF=EF 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE 是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于 点D.求证：BE=2CD. 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC 于点D,点E为CD上一点，且AD=DE, EF∥BC交BD于点F.求证：AB=EF 名师测控·数学八年级下册(S)23 类型3利用倍角关系构造等腰三角形 类型4利用截长补短法构造等腰三角形 模型归纳 模型归纳 在△ABC中，∠ABC=2∠C,可作AB=AD(如图①) 如图，已知AB+BD=DC,在DC上载取DE=BD. 或作BE平分∠ABC(如图②). D D 7.如图，已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 图① 图② 100°，BE平分∠ABC交AC于点E. 5.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于 (1)求证：BC=BE+AE; 点D.若BD=4,CD=16,求AB的长， (2)探究：若∠BAC=108°，其他条件不变，则 BC的长等于哪两条线段的和呢？试说 明理由。 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 点D,且∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC 24第一章三角形的证明思准拓爆 ,R△ER△DHl.O,∠DE=∠DCF.∠DCF+∠CD=, 写这点E用AB的平行线交C的是长线于一点)上话明，过点A作A联凳D 上解：小连接PB℃P军有直平分H,N有直平分C,1=PH.卫LP, ∠Dk+∠MD=I.即∠A0+∠ACD=1ar 的E长复于点明∠M-∠D取二D平分∠A,∠D=∠取，∠M 二H=,点P在线爱C的属直平登接上，()P吧承直平分AB,PA=B. ∠Ai队∴1M=A:MC,EF及，.AMF,÷∠=∠DFE在△A国 EA-B,六∠PAI=∠PH4,∠PAB=∠F4,六，∠AB-∠AI=∠PH =∠eE, ∠FL,锋∠PF=∠PHF同现∠PAN=∠N.★1)年PB=代，∴∠PHF △F中， ∠=∠EDF,△2△TFAS》,AMmF,,A ∠FX∠F-∠N,原AP华分∠LN:)r[第所，PE套在平分 AD-ED. AB,直平分AC,FA=FB,NA=N,∠AE于=∠A-G.复∠AC=r, 第2课时三角形的三条内角平分线 F亚隔：量长AD交C子边F.E平分A..∠A一∠以，AD ∠uB=头∠F出m∠A=∠NC=∠TX在△ABC中，∠A十 淋密议美 5-,∠A/N=∠T=N,r一∠AD-∠A=r-∠FD-∠F7,p ∠D∠FD.∠FD=∠AD+∠C,∠D=∠CD+∠C4旺， ∠B+∠oWr∠FANi+y+广4+y-,+yr在国 LC2IA21:34解，走接OL,过点0作E⊥AB干直E(FLAC千直F 指0)登科平分∠A和∠第，军-0=4F一多，.■=8+5m 长1，(D交于点Q:∠B1E-,山∠CAQ-,∠Q十∠Q=w.i∠BE 边BAEP中，∠AEP+∠AMP+∠E1是+∠FPNH3,∠FPN=1r-r =∠AQ￥(DLE..∠'=，，/AE+∠Q=,.∠日=∠AHB在 E·B+球，A-×2《+-×2×如-1群&B 7解：图.意0甲是小停中心的良置 △AE和△AQ中，ABM, ,△AE2△AQA541,,E=OD +角平分线 ∠BAE=∠CQ 第1课时角平分线的性质定理及其刺定定理 平分∠Aw,∠=∠T又：∠图=∠HDQ=..mr-∠QI0 基毽过美 能力规升 CD,Q=2D,E=2以5解，如图，作AEAL ADI 1,0【安式】3号玉证螺：“∠-阿，EL.AD是∠从给平分线，地 餐非A日N国IL,解：补充延月过程超下，∠A=T,AM=(3 DE-IC. ·24-∠ARA-号×(1r-1)-现，：△4r为等迹三雅8，∠B .∠C=∠港=在△DH阳△F中，，∠E出∠C,∴△DT△ ∠IAC=∠A=r,:∠BAM=∠k+∠AC=r+3=0,∠M= C,D=DE-4.”ABAE.∠Bm∠AEDT∠空∠C,∠D2∠C.又 ∠APD=∠C+∠EC∠-∠C+∠EC,∠=∠Ek,AE.AH S.D一下A4D名在一个角的内厚，到角的料边距肉相零特点在这学角的 ∠度M十∠RA=0+=可，∴.A上4，M⊥CPM平分∠PN,复 平线上a解：点)在A的平分线上，理由如下，：以)，若是△A的两条高， NP,=M=在R△N△2N中， N-AM.ih△sLv MAMQ. -f,1D=6,2=4.∴军=1Df=n4=2,.A=忆 6用：u润 在边AC上截取AP=AB,莲接贝 A0平分∠俱C,.∠AD ∠m∠T4 5∠D=∠(70=.在△EBD有△D)中. ∠AE∠(D,△.BB k:△12NHl3,-AN=QN属理可图.4P-Q".∴.NP-QN+Q-AN+月 0=t, 思量后解 AB-AP, △(TKAs.感-(0义：LAC4ELA比：点)在∠A的平年线上 2解，1正E=FD理由下，过点F作FM⊥山干点，FN⊥干点N:FH工 =∠Ln在△AD和△AD中，∠BD=∠PAA△ABDZAPD4SS1, 佳力雪升 AC干直H,则∠3业-∠FND-0?D.CE分湖是∠BC,∠B的平分钱 AD-AD. T,D8,3万男解，(1)，A(,÷∠6D+∠AxC=1了.AM平分∠D. iFM-H-FN,∠2AFP-∠Fa-∠B-1r-∠n-×-- ∠8=∠APD,l)=:∠I-2C,∠=∠呢4，∠，÷2∠C∠+ ∠LMD=2∠A"f平分∠ADC:∠A=2∠AD,2∠ND+ ∠，：∠PC∠C,电=，六=℃，，AB+提A+找=C.乙解， 1,∠E-∠AT-÷∠MI-文×-，÷∠A-∠C+∠xA-a 2∠AD-i,∠MD十∠AAM,∴∠AD,图LDM(2)过点M 小在灯上藏取D一E,连接DE能图霄. AB-AC, 作MN LAD F点N.:∠=，A8D..∠C=1'-∠B-1==, +4=75,∠A=r-∠DM=-1=T,÷∠F=∠NIF,△E ÷A,(M山：AM平分∠D,Dw半耸∠A风，÷M-MX,X-(M, △DNMS,FE和FD:2成之，话明mF,过点F作F⊥AB于点G,FZ⊥C 于点Z,AD,E分拼是∠k.∠AH的平分线.F=FZ.∠FRE=∠FD ∠=0.∠A==(一r门+2=半∠AC.∠E 六MN--(一子推-号×将-.甲点到AD的离为七 ,"∠FD-∠B+∠BAD-+∠C,∠F-∠B+∠E-∠BAC+ ∠AE-.HDuE,∠E=∠ET(一a+1又V∠DE 思推拓属 =∠C+∠ED,∠C=,∠CD=-∠C.E=DC过点E作LB交 明，I)如州②，过点D作DE⊥B下点E:研⊥C交C岭矣线干点F. 宁∠T-∠RC+1m-∠B-∠O-∠C+子1ar-m-∠O- AA的猛长投于点M.作NL于点N.:球平分∠AC.制LHL.NLC四 ?D甲分∠LCE⊥H,DF⊥CDE=DF,∠DEB=∠F■0，：∠ED+ f=EN.:∠RC'=Ir,,∠CAf=1-I0W=.在△E2A相A.ND中， ∠AD-I",∠D+∠F=1r.∠BD=∠FT在△DH和△F℃中. 阿+令∠MC.∠Fi-∠F2.△Fa△F2AS,F-Fm ∠EM=∠EDN=8r, C-∠， 小专题（三）构造等腰三角形的四种法 ∠A1R=∠DNE-,品△@△D(AS,EA=2又YDE DC ∠DE=∠F,÷△△XAAs1,÷第=C2U如国3，过点D作E L明：这点D作风N.交食CP点M.÷∠沿=∠.∠DN=∠RA M-EN. DE-DF, =MC,,∠B∠ACB,,∠B=∠M形，，D=,D=E,,D=(E在 ∴EA=风，-D十-E+品2-E+A限毫由 L于点E,W⊥交AC的延长线于点F,“D草登∠儿DE⊥AB,WI ∠FM-∠E 量下，在百上本P■E连我PE,如答求.？U小C =- C第-D球.∠E消-∠-，在A管相的AD中， △DAF和△BF中 ∠FD-∠cFE.△DNF2△下AA5).DF-EF,度 ∠-10.∴.∠山报=∠C=(w-1w÷8=6.(中- 1L店mDF, MD-CE. 笔.÷∠f-1r-◆2=2..F=1T-72=1需.∴.∠g=∠九图 第7页（共60南） 第8医（共0百） 第0直共6D页) ∠AE∠FE, 爱考期型废保 截力慢升 :成早分∠AC,÷∠成∠在△W成和△然中.∠A-∠H它六1C1C友：1反2四&解：其接C在△A度中，出勾起建理，得° 3,C&6寸罪”y-3=￥一8-1品y-3C-12又 深-E. A7+4干=10(mk.出从+W=1千=4指=24AW :21..1y<盖①同厘.得=<之C=1,语①+2，明1+4=)<y+8+ △HE4△PHEAASI,BM=即，CP+BP=(E+AR 品△TD是直角三角形.且∠ACD=,”国中1m代表实丙.距瑞地m,中线段 【一山，一￥的取指范摆是一1x十L 第·管整合与提升 的实克离分对月Hn的C=1mC=en,CD=40m网边用拟D 4一元一次不将式 应频考点义玻 的飘为等-5w十长m一：空，一支×的×十吉×0x 第1课时一元一次不等式的解法 1,C2AD-A指客案不用一)，3B1,B5角形的个内角影小千名据： ■20十128)=144气m.1挂4×的■8科G(元3，暮，球乾这块空老所有的餐 (2)△山F的形我是等腰直角三角和，理由妇下，A因 基确过关 用为朗400元 L目1一是【位式】学。D4D名m16解：1体项，合并其爽，得 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 >一1.有边都除以3，得上>一L这个不等式的解集在数轴上的表示框用： 1不等关系 kAD是高，∠BMD=∠CAD-吉∠BC,FF半#∠E,六∠EF∠ 了寸古干2扬号，将24十2-0+4释用得4一12-2+1. 基侧位关 合并同更项，得一⊙1.两边s辩区一1，程<一1，这个不等式的解第在数轴上的表示 -寸∠CE?∠5D-∠FC+∠0-克∠CE+寸∠C-是×1=，1e1.D玉>1（答黑不唯-）4D51-B<-14解，L+C: 用车古专于古③法分.科2十一62-水去橘号，42+担 便△A球是宜角三角感.AD⊥食，.∠A配州-可，六∠啡-∠A久.二A 421一了-1≥2：(31T+121 一6G-3,移项，得2+2r6+日一2合并同类项，得<0为边障以5，得rG C.∠AD=∠FCDF平分∠A∠AF=∠FD-∠AF.AD= 能提开 4F,品直箱三角形ADF是等我直角三角形.7.解：(1)rm(1-2am(2)坚点 工这个不等无的新东数编上的表示肥方寸十古日打C B1>品：×<@>①>>>2当。 P在AB边上站南，点Q在程边上站时，△A度是等边三角电，∠A=∠一 器32，l0象银，太分得，得1十8一1移明，程上一1上一多一L合年同类确，得 ∠B-.4g放MM,∠a-∠C-,∠FQ-∠A-,÷∠aP-∠O 1减2明m(+1产，写3时，m(十1P(3粉22102@P, 一2一七有或指孩以-3得么，六t不等式梅正套数解为己 =∠H一.∴△是等边三角思.÷0一BP,肆10一当=2.解周=1当点P在 2不等式的基本柱质 能力漫升 C边上面动，意Q在AB边上面请时，同里写荐一山一一D,解荐一K综上丙连， 葛密议美 级A1L.目正>13解，(1)不等式的基本生面？21聚法对如法的分配洋 1.C2.A玉A【安式】4.A乐>，点AT解，1根据不等式的精本胜M1, 直不等式的再边强以同一十角酸时，石等号的方向段有发业(11 车0C时t路值为2度R意A男4减号a明：在△E和 两边春妇5，荐：一5+<1中5，月16(2)积累不等式的然本性婚1，筒边说得 男维无展 △Ft.U-】 14解：12他1解不等式无+243n,得3-1%解不等式2一32r+n-料< △U△F.5,∠HHE=∠nF.∠AE 2一一一，面一4们山根据不等式的基率性期3，何也霜红一具3，得 一三？扇：精在第图电，>：品一心血不等式的因边多除世负数一，不等 m十2鞋据赠意，碍一2w十三解得m一1，成的眼植直展是wG一1：(3解不琴 =∠LF-∠iC.∠MF=∠AF-∠C,.∠AE-∠LLF4tA=AN.BN 号亿成爱为料才宽成这 式十，程r一L解不等式一1一，特（￥+1》M+LD当+10，￥ L证明如下：由门烟R△AR:△AFAE=A,在△AEM和△AFN中， 能力慢升 之一1时.<1银据随夏，得一31，甲-<：放一1CC4②当4+1C0,厘￥<-1 ∠MAE=∠NAF, 复B【应式0非1儿.当+1江.解：)根奖不等式的琳本作盾1，再边军加 封5>小a一心<一4，的许许介意意，数<一上.绿上情述心的重值范相为<一成 -AF. ÷.△A1Ma△ARNCASA).A1=AN￥IV=AH-AN(特 骨8一3r十4一了中，得8一C4银正不等式的其本性通1，两边都减8.精8一面 ∠E-∠F 一<一，目一2心一名雕摆系等式的基本柱镜3，两边程除以一2.特x3221根据 第艺课时一元一次不等式的应用 C-M,U=AC.BVt11.n12屏，12如谢 东等式的基本往质2，臂边国辟以4，厚3一3-头积影不等式的基本性质1，再边霉 基碑过关 减，程8一一J3一y一，甲一<一天制据不等式前福本件减8，得边斯算区一1，得 1A1B表移432气解：设可的买这静程可的水基灭火方个，州可购买干粉 >大以.解：1)电)情植运用了不等式的据木料减3，审本等式铃两益格乘同 灭火琴0一1个.制起题意：行5抢十8(0一r十100解群场12.元r为第 一个负数，不等号的方科设有改坐：43》正确的解题过程如下：：#，一20a心 数，∴可取的量大值为2着：最多可的买这件路司的水精求火2个：系邮：配 》A5=A,∴∠=∠ACL:AM平分∠DC.·∠DAF=∠P.∠DC= -拿246，一4日4w十1G一含0时h十， 该授可歌买x个壁域，渊可聊买(109一1个泥球，雕零题意，群山r十的10的一1≤ 2∠FAC又∠D-∠H+∠k2∠A.∠FA-∠MAF是线段 思爆拓根 华0龙，解得<打.立”：为整数，六r时取的量大维为有，宣校是多国以购买7个 ∠F∠R 14,解，德.比校过程如F,1一丝r一T一（于一生+7r一2一7一u+山一7 蓝球 的系直平升找.M=以在△F箱△中，A0=L, ·△A门 =-1-1t0,.-0,--130,(32-2-7)-(4-2r+7) 熊力授升 ∠MF-∠1. 7C装时矣解：1量A种C料候公未的银价为：无使，1物尾州黄小来的球外 0,.2-2=74=21+7 △EAD-)宁年-}×-t在随些中，由马霞定界：料0 3不等式的群集 1十6y=18阳， y元/程君框延，程 答：A种记州黄小未的单骨为 2+3y=115. √EB家=-平一，AH=C'u2A=2×8=且 慕您过关 边元/裂，B种轮州翼小米的章价为5元/授：2)设该而肠将进B种尾利翼不米n袋， 积埔易现专攻 1A主N人2：C年（容案不电一）45于写16丽： 制南进A种化州首小装(3)一m>绕根制思意，得1一m》十工G25第得志 1,3,而境，而2减6境 方在青文才十对十 :m为正禁散阳的最大氧为气容：该商场量多能利连B种州阔小米极 第0厦（共60夏》 第11〔（共0至） 第12页（共60页》