小专题(1)运用分类讨论思想求解等腰三角形中多解问题&小专题(2)活用“三线合一”巧解题(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 山西专版）

小专题（一）运用分类讨论思想求解等腰三角形中多解问题 类型1当顶角或底角不确定时，分类讨论 类型4由腰的垂直平分线引起的分类 1.已知△ABC为等腰三角形，∠A为底角，且 讨论 ∠A=70°，则∠C的度数可能是 ) 7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 A.709 B.40 AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角 C.70°或409 D.55或70°或409 ∠B的大小 2.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这 个三角形的三个角应该为 类型2当底和腰不确定时，分类讨论 3.已知实数x,y满足|x一4|十√y一8=0，则 以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长 是 A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对 4.等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则 该三角形的周长是 类型3当腰和高的位置不确定时，分类 讨论 5.在△ABC中，AB=AC,DB为△ABC的中 线，且DB将△ABC的周长分为9和12两 部分，则BC的长为 6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 类型5由动点的不确定性引起的分类 48°，求该等腰三角形底角的度数. 讨论 8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(4, 0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三 角形，则满足条件的点C的个数是() A.5 B.6 C.7 D.8 (第8题图) (第9题图) 9.如图，已知P是射线BM上一动点（点P不 与点B重合)，∠AOB=30°，∠ABM=60°， 点O,B,M在同一直线上.当∠OAP的度数 为 时，以A,O,B中的两点 和点P为顶点的三角形是等腰三角形 名师测控·数学八年级下册(S)9 小专题（二） 活用“三线合一”巧解题 类型1利用“三线合一”证明线段相等 4.如图，在△ACB中，AC=BC,AD为△ABC 1.(2024·太原迎泽区校级月考)如图，点D,E 的高线，CE为△ABC的中线。 在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. 求证：∠DAB=∠ACE. 求证：BD=CE. 2.如图，已知等边三角形ABC中，点D是AC 的中点，点E是C延长线上的一点，且CE= 类型3利用“三线合一”证明垂直 CD,DM⊥BC,垂足为M.求证：BM-EM, 5.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC= DE,∠B=∠E,点F是CD的中点， 求证：AF⊥CD, 类型2利用“三线合一”证明角相等 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC上任 3.如图，已知AB=AC,BD⊥AC于点D. 意一点，延长BA到点E,使得AE=AD,连 求证：∠DBC=2∠BAC 接DE.求证：DE⊥BC 10第一章三角形的证明解力提升 第4课时等边三角形的判定 参考答案 段D机B1.12解，(1)：么AC是等站三角形，二∠=∠A=∠C-. 基键过关 “∠B+∠1-∠w-∠DF+∠2.又“∠WF-,六∠2-1-，25F L,D2B3.两：DC=DB,品∠DB∠B.∠AHC-∠H+∠H6 第一章三角形的证明 议3.品∠2=∠11)可得∠1=∠2.品∠1=∠ +=又，AD=汇，.△4晶等边三角形.4A景C(C7,0m 早围拓展 I等腰三角形 13解，(1过点P作F8Q'交于直F.△AC量等动三角形，，∠A=∠A用 元解，0=AC,∠-15，∴∠-∠C-号×0-18w-30."A5 第1深时全等三角形和等能三角琴 -∠-m.“paC,÷∠AFP-∠-，∠AW-∠-r.则∠A BE∠E=∠I=W,∠CAE∠且C-∠HE=10r-0旷1 帮毽过关 ∠AFP一∠AP下一r..△AFP是等边三角形，AP一PF-AF,:点P,Q同时 1,B22知表量明：C是∠E的早分授，∠HC-∠D4E在△HC和 发，且速度相树.QAP.,Q=PFPF8QC,击∠Q∠DPF在△D知有 ∠CAE∠C-,品AR=又YD为的中点E助- ∠假C=∠ME, ∠LQD-∠PF, A=又：∠ASD-∠B+∠RAB-r3m一网，.△AD呢是等道其角形 △E中，∠C=∠E .△B0△nAM,:DE4B510r △成P中.∠Q-∠，.△D心△WP(AAS.÷D=FA∠A- 韩力慢升 AB-AD. 0-FP, 头，目组y4寻于L,6或比社解：接D”AB-AD=7∠A=m,六△AD k1.【变式11C【麦式118%丽：YAB=MC,∠4C-8,AD⊥， 时，∠2aD=.+∠Q∠AW-∠a0--=a,∠屁0∠0 基写音三角形.)-AB-1.∠AD-,在△国)中.程一1，少一5，-2， 分∠D-∠CD-∠我C-士×-，”AD-A.∠6-士×8- 四-0.州-FD-W-A-号-号-.六AP-3(2复段成的长 ?7+2=,.D+议子=D,△D:是直角三角形，且∠H0mW, 不发生雯化由门相D?△AFP是等边三角慰，PEAF,E一E平，，DE ∠BD-号×1r-的-，∠E-∠A-∠CD-0-0r.头7 ÷∠A度-∠AB图十∠C=ar十国'=1,1成用：：AH=m'-AM.△A ◆(I+AD=A=4,.呢+《D+力=5，海[E+尾=6，÷DE-1 ABCI 【雯式小 第3课时等稀三角形的判定与反远法 是等边三角形.∠M0=∠C=r,在△AE和△CAD中. ∠MFm∠C. 能力智升 幕陆位关 AE-CD. 1B5,H210心k证明：生接A以￥AB=AC,D是的中点.AD平分 LCA群人4箱4证用：：BE(F,.E+FF+EF,目FE在△AHF ÷△AB△CA8A8,∠A=∠CAA∠i9-∠AB5+∠BAP-∠CD AEAF. AF DC. +∠A1P=∠BM=f,又2LD,,∠QP=,,∠PQ=-∠Q ∠EC,品∠EAD∠FUR在△AD阳△AFD中，∠EAD-∠FAD,△AED 自△笔中，-(E△4F△0.∠AF-∠置.-，目 0一-.∴.-gQ AD-AD. AF-DE. 明雄英展 △FxSS.六DE-E4.解，(DD-贴，∠DE-∠DRYE半分 △EF0是腰三角冠，5B反B?,A米解：希情覆，改正如下：餐设AC=我周 4解U在等迪三是形A中，-A6一0m”拉广肆动的速度为会/，结动 ∠W∠D-∠HE.∠EB-∠《E.p呢家：E,∠C- ∠A=∠L,∠C=时，∠=∠A=.这与∠A秉屑，C=不度立， 的时间为t,,P=m山P■C一P■一m点Q移动的速度为 ∠D=45.直△A'中.∠A+∠AC+∠C-3',∠AC+1s-∠A-∠C “AC≠ 能力规外 1m,徐动的时间为r.二一03)“在等边三角形Aa中.2小=4.∴.若 1r45--.E是△V江的分线∠汇子∠-寸×-浴 象经过直线外一点，有且只有-一条直线与已知直风平行依解1)如周，E于AD. △四为等洁角卷，剩有国-P,厚动一-，解得一是的过号，△P网 思撞拓展 ∠1=∠4∠2=∠P.VAD平分∠AC∠1m∠2，∠4=∠P.AF=AP.则 为等边三角服 1线期，I”(2)3f1∠D=空∠EDC(4)仍成立，理由如下，？UD■AE, △APF是等幅三角形： A=代理由u下，：CH及A,∠= 小专题（一）运用分类时论思求解等版三角形中多解向题 ÷∠A12-∠AD,∠D+∠I=∠U-∠A0E+∠C'-∠A0+∠ LC玉7孩：矿，6线T,,切3非419m减1n5.生我年点.解，分偶料 -∠E+∠+∠ED-2∠ETDC+∠CAh-C,∠B-∠C,∠HD 情混H怆①君∠<，如DL,∠A+∠的-，号∠AD= 2/X 第2深时等能三角彩的精珠性质与等边三角移的性覆 ·∠A---亿.：A-六∠A度-么C-支×1m-2的-若 ∠H,∠H=∠、EFAD,∠1=∠3.·∠H=∠1，在△F和△DH中 基础过美 ∠A>W,1用②同BW得∠AD-e-g-世.？AB=C,六∠A度=∠C 1.1准玉E明，了即，正是△Ag的两条中线.D一专C,E子A级 ∠=∠H,△E△DHCAAS,F-CH.,AD平分∠AC.÷∠I=∠2 ?∠A千∠-∠A0∠A-.∠A段一，3上所延，波等聘兰角形 BE-C. 幢角的度数为该2： BE CD. ∴∠2-∠HAC=H.A'=BFAB-AF+F,P-AP+AB= -C六E-(D∠A-∠1K在△B和△B中.∠EK-∠B. 早围拓展 =, 1L解，(1)△，L,△C(2)思g中共有5个尊腰三角形，△A,△段，△白入 △2a☑△CH59.∠B-∠DC,+D后4.B下.1F8.证明： △U,△A手线段罩阳出.之民的关系为F=E+《并=B,(3丽 △相A从E是等边三角®，·∠B■∠CA=,F=度，M=直 中还有等覆三角形，图△E和△形，()中F一B十FC仍然减之，甲由知下 7,解：分两种辅况转论：①如图面，当An的系直平分视1N与A心相定于点D时： ∠FRB十∠报A=∠文1十∠A.即∠FA=∠仪军在△F℃A和△军中， 甲计∠A,)平分∠B.∠Ea∠a人∠F口)=∠汉又女EF》 ?∠AD-,∠ADM=,∠A=g--以.BM∠B=∠C =改 ,,∠且8=∠C-∠度∠上T度)=∠得，∠C=∠，，E ∠FEA-∠E,△F℃△E或sAS,证E 荐人其一气.△模害相△球韩是等睡三角形，.下一计月一+ 国。辽一5，如周，弯A出特零直平分线AN有CA阴题长线相受干点D时， C-CE. 【空式划 ∠AD-m,∠A0R-4世.∠AB-r-0-.5-C,∴∠A-∠C 第1页（共60南） 第2军（共0百） 第3ī（共60页） ∠+∠C∠U民2∠B分，∠B保上桥进，旺角∠B时度数为5减D+D一5-4，(D=C-D一-，在R△从D中，由霞定用.用U下= ÷∠AD-号∠A-,∠A-∠AD.A-班.点D在线0A的垂有 A0-CD---六-上-6-，师得子 平分统土在4 第2课时直角三角移全等的判 能力提升 基脑这关 7,A案A从4明：”点E在D的系直平线上.∴球=0F,∠川=∠D LD工BL任用.”∠C=∠D=,△AB和△24都是直角三角8.在 ∠M=F,.∠At∠i=r,∠D十∠下D=..∠A=∠AX∠AF6 米A见75线12减0 AD. =∠CD..∠A-∠APE.÷AE=下.二点E在线段AF的6有平分现上 小专题（二）活用"三线合一"巧解题 风△带有风△A中，-.六果△M省2风△H.画△B 思推耗居 △0L4明：：AD9,÷-∠A+∠B-13,:∠A--.∠=.∠1= 解：D:地每有平分A0,÷.正=尾，.∠E=∠且民W可得∠CAN=∠C 1.哥明，过点A作AHL干克H.”AB=CAH⊥BH(H.月理闻话， ÷∠E1N-∠-∠AE+∠CAN-∠aC-(∠I+∠，：在△A中，∠B DH=EH,H一DH-H一E孔.D=王2赶明：走接：在等边三角形 ∠，E无在△UE相△实：中，E比 ,H△AE粒△ AD-JE. +∠C-r-∠4=-1=3..4V=18-0-21(D:f有直 A度中，点D是的中点六∠2=士乙A段-×g-,∠MH=似 《H.厘△A因2△，名4，下.7R显用：：EF1A,∴∠F+∠C 平分A,:AE=E,,∠IMB-∠K同理可得∠CAN-∠C.∠AN=∠AB+ T-CD,∠DE-∠E?D-∠E+∠E.∴，8∠E=r,∴∠E=1, .:∠A=周，，∠A+∠C=,∠A∠在△D有△探中 ∠MN-∠C-∠B+∠门-∠EMC:在C中，∠B+∠C=r=∠AC 5∠C∠E3ED,△B为尊W三角酸义⊥度ME机. -0G-m-110,,∠E4N=11-70=4:(3)当<时，∠E4N=1-2 ∠F-∠A AH明，进点A作AE1C于成EF-AC,∠CAE-号∠AC:DLAC ∠FBD=∠ABC=,△FBDE△A改AAS.FwAL 有>时，∠EAY-241的 第2课时三角形三迎的垂直平分线 ∠C5+∠C-∠D+∠C-e,∠DK-∠eB.∠D-支∠HC 能力提开 基确过关 +H明，WC=,E为△A的中成：∠B=∠B.CE⊥AB,i∠CB+ 段03m收5或1L.解，补充过根下，A一A了，，AF=A五D是 L,C上形38未解，'点P为△A报C中边康直平分剪受点.A-PB, ∠AE=0,:D为△Ak3的高线.∠D,∠DA因+∠月=，∠H ADED. +∠P=∠PWM,∠PM=∠PTA=R,∠PKC=∠P=,H∠PH+∠PM AN-AF. 边上的中线，D一C在△AD和△D中，∠A沿=∠EC,△AD +∠P+∠A+∠Pa+∠B-1r.粤2∠P山+2∠P+2∠PC一18， ∠军&证用：生援A,AA在△AC阳△AD中，CH-∠E.△AR2 BD-CD. ÷∠-×1矿-2×好-2×型=4心.反C6郸，如医心作性E,在 =, △xTh8AS.÷E-AL∠Ar=∠22：∠Am)中∠节-T.÷∠xTt 线站上戴取摄C一A,并年C的垂宜平分业M￥交C于点1⊙在上做R △？x8,:-A又点晶(D的中点，AP1(力kE期：过点A靠 ∠MB=∠从E=0.问速耳得，CEAB',∠ACE=.AB每.CE DA=:连接A,A,围山风即为所求. AM⊥C十点MFA-AC.∠LC-:∠EM:AD-AE六∠AE-∠E, AE-A'E' ∠-∠A第+∠E-2∠影，·∠U-∠玉，E8A3MA时L,DE1 CE,在△F和品△AE中， Am△R△A''EtHL 军(. 徵 M-A℃ 2直角三角形 思重拓展 第1谋时直角三角形的性质与刺定 12解I)正LAB,票上C,.∠=∠C0=:点)为x:山的中点- 基稳过美 1,2A人24m4D名（°AD7,Cs证用：世D=8,=可，刷0=1， -工在E有箱A深-E6F。 Z.解，【)因，点即为所求g ∠B=∠CUC(2山制(1可藏B△ER:△(F(D.,∠0hE 手+中而护，品D+D,△张D是直角角形，且∠=， /f下，：=，.∠=∠x,∠呢十∠0=∠x平十x, ÷∠A=1-∠-ar-0=,.△D是直角三角形，复B真 ∠AC=∠ACI.AIAC:(3)解胰一，同H1)可正民A5@R△KFH》 陵力罐异 1L,B12+■1及解：：ABL雀二∴.△AE与△A均为直角三角形在 ∠OE=∠CF出-C.∠-∠团.1M-∠E-∠4C19 能力提升 △AE中，：∠ANE-矿.∠AB=,∴∠4E=r一一3，A=I形 下一∠(A-即∠A棋-∠A.A=AC鲜法二：蓬接A以E-米，M) (2)岸接 MA,△E△F(IHL,AEA.具《1)可证△h△F 在R△AE中.盘女段定理，得8+A=A开，即好+家=军，.E-司 .E-下，AE-一E-AF-F,年AB-C 鱼值已者去在△A中：∠C-,AE=3..A一-3，℃-℃+E 3线毁的每直平分线 -1+5w一g…-×8+x3 第1课时筑授在直平分线的性质定理及其判定定理 期撞拓属 落彩罐美 AP,P:Ai=B.PD是4的黑直平分线.屏足为D.P与PD在一条直线上 1l第，5am-号，Sw-专6+uuSm-子h-a5aw LB2.A【变式3.解，"E是AC的素直平分线，Em工，，∠EC=∠C ,P常是AB的暴白平线，A=A=a-3,A=gkm.AD=1m -0,∠B=,∠C-指，∠-1树---9“A5平分∠ 在△UD中，由g段定理.得D,一了=√9一=4(m.在△APD am+8wmd合2-号0+aw+26-uh2-++号F 2F-号∠九-于×-7，∠下E-∠FAC-∠EAC---8 中，PD一一HP=4一AP,由句设定理，得A严一P刊)+AB,国A严=(4-APy+ 安d+W-,在△AD中，由女段宣，群A世-Ar一即-- 4A5E明：：∠C=.∠A=.∠A=0-衡=，D平分A崖。 苹，P号a,D会h限打点P到B村的离为号m 第4页（共60南） 第5溪（共60百》 第6ī（共60页）