1.3勾股定理的应用 课时作业2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用 课时作业 一、单选题 1．在中，，若，，则AB等于　　 A．2 B．3 C．4 D． 2．一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是（　　） A．3cm B．πcm C．6cm D．8cm 3．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S，若，底面半径为2，取3，求点P移动的最短距离为（    ） A．8 B．10 C． D． 4．如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（     ）    A． B． C． D． 5．如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 8．丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（   ） A．4米 B．8米 C．10米 D．12米 二、填空题 9．如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要 米． 10．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 ． 11．公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了 ． 12．一只蚂蚁从长2cm、宽为1cm、高为4cm.的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 . 13．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了 米． 三、解答题 14．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图，AB为一长度为6米的梯子． （1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？ （2）如图2，若梯子底端向左滑动（3﹣2）米，那么梯子顶端将下滑多少米？ 15．如图，一个圆桶，底面直径为8cm，高为5cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底点B处，问小虫所爬的最短路径长是多少？（注意：π取3） 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 17．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C D C D B B 1．C 【分析】利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中， ，，， ， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 2．D 【分析】先根据牙刷不同的摆放方式确定在杯子中牙刷最短是等于杯子的高（竖着放），最长是等于杯子斜边长度（斜着放），从而确定h的取值范围. 【详解】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x＝12， 最长时等于牙刷斜边长度是：x＝＝2， ∴h的取值范围是：（18﹣2）≤h≤（18﹣12）， 即2.37≤h≤6． 故选D． 【点睛】此题考查的是勾股定理和线段的最值问题，掌握不同的摆放方式选取最值是解决此题的关键. 3．C 【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出点P移动的最短距离的长度即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为的长度， ∵，的中点S， ∴， 在中，，，， ∴， 即点P移动的最短距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是的长度是解答的关键． 4．D 【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，圆柱形杯子的底面周长为，高为， 展开图中， 则彩色胶带最短要． 故选：D．    【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 5．C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：牙刷在杯内的长度，最短为竖直放置时长度为水杯高，此时露在杯子外面的长度为，最长； 当牙刷倾斜放置对角线位置时，杯内长度最长为，此时露在杯外的长度最短为． ∴， 故选：C． 6．D 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，解题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示： 此时， ， 故． 所以h的取值范围是：． 故选∶D． 7．B 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 8．B 【分析】据题意设出旗杆的高，表示绳子的长，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高 【详解】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m． 根据题意得： x2+62=（x+2）2， 解得x=8， ∴绳长为x+2=8+2=10． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用的知识，根据题意应用勾股定理构造方程是解答关键． 9． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点，则，米，米，利用勾股定理求出即可求解 ，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则，米，米， ∴由勾股定理得，米， 故答案为：． 10． 【分析】根据题意可直接进行列式求解． 【详解】由题意易得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，利用勾股定理求出的长度，据此进一步求解即可，熟练掌握相关概念是解题关键. 【详解】解：依题意， ∵， 即游客走小路少走了， 故答案为：． 12．5cm 【分析】此题涉及的知识点是直角三角形的应用，由题意可知找出最短路线必须把长方体拆开变成平面，利用勾股定理就可以解答. 【详解】 如图，DE=1,EC=2 BC=4  DC=3 虚线BD即为蚂蚁走过的最短路线 BD= 故最短路线长5cm 【点睛】此题重点考查学生对直角三角形的理解，抓住最短路线的理解是解题的关键. 13． 【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得：米，由于梯子的长度不变，在直角三角形中，根据勾股定理得米，所以米，即梯子的顶端下滑了米． 【详解】解：在中，米，米， ∴（米）， 在中，米，（米）， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式． 14．（1）它的顶端不能到达5.7米高的墙头；（2）梯子的顶端将下滑动米． 【分析】（1）由题意可得，AB=6m，OB=AB=2m，在Rt△AOB中，由勾股定理求得OA的长，与5.7比较即可得结论；（2）由题意求得OD= 3米, 在Rt△DOC中，由勾股定理求得OC的长，即可求得AC的长，由此即可求得结论. 【详解】（1）由题意可得，AB=6m，OB=AB=2m， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得， AO=m， ∵4＜5.7， ∴梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头； （2）因梯子底端向左滑动（3﹣2）米， ∴BD=（3﹣2）米， ∴OD=OB+BD=3米, 在Rt△DOC中，由勾股定理可得， OC=米， ∴AC=OA-OC=-=米. ∴梯子的顶端将下滑动米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学问题，利用勾股定理求解是解决此类问题的基本思路. 15．最短路径长为13cm 【分析】分小虫从圆柱侧面直接爬到点和底面A点沿直径爬行到点对应点，再爬到点，两种情况分类讨论，进行比较即可求解． 【详解】解：（1）如图，当小虫从圆柱侧面直接爬到点时， 在中，由勾股定理得，， （2）从底面A点沿直径爬行到点对应点，再爬到点，路径为， 答：最短路径长为13cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，将圆柱曲面化为平面，熟知勾股定理是解题关键． 16．(1)风筝的高度为米； (2)他应该往回收线8米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 17．米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∵米，米， ∴米， 答：两点间的距离为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$