1.3 勾股定理的应用-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

3勾股定理的应用 A1分点训练 。夺实基础 5.新趋势数学文化《九章算术》中记载“今有 知识点个利用勾股定理的逆定理解决实际 竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者 问题 高几何？”译文如下：一根竹子，原高一丈八 尺，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着 1.某景区在修建岩壁栈道时，需确保栈道支架 地处离竹子根部6尺远，求折断处离地面的 与岩壁垂直以保障游客安全.如图，工程在 高度.(1丈=10尺) 某段栈道施工中，测得AB=8m,BC=15m, AC=17m,则该支架 要求.（填“符 合”或“不符合”) (第1题图) (第2题图) 2.如图，小明从点A到点B走了41m,从点B 6.如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的 到点C走了40m,从点C到点A走了9m, 左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的 则∠A+∠B的度数是 点B处.保持梯子底端B的位置不变，将梯 3.(教材P14随堂练习T1变式)五根小木棒， 子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在 其长度分别为9,12,15,36,39.如图，现将 点C处，测得顶端A距离地面的高度AO= 它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 2m,OB=1.5m. .(填序号) (1)求梯子的长； (2)若顶端C距离地面的高度CD比AO高 39 0.4m,求OD的长. 39 12 36 15 1039 36 36 15 ① ② ③ 知识点2利用勾股定理解决实际问题 4.如图，小明和小华同时从点P处分别向北偏 东60°方向和南偏东30°方向出发，他们的速 度分别是3m/s和4m/s,则10s后他们之 间的距离为 A.30m 北 B.40m 60 C.50m 30 D.60m 7 数学八年级上册北师大版 B综合运用 。提升能力 态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) 7.如图，将长为12cm的弹性绳放置在直线1 (1)求绳子的总长度； 上，固定端点A,B,然后把中点C竖直向上 (2)如图②，若物体C升高7dm,求滑块B 向左滑动的距离。 拉升4.5cm至点D,则拉长后弹性绳的长为 cm. 图① 图② (第7题图) (第8题图) 8.（教材P13“尝试·思考”变式)如图，把一张 长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与 顶点A重合，折痕为EF.若AB=1,BC=2, 则AF的长为 9.情境题自行车某工厂计划生产一批自行 车，其车架部分示意图如图所示，经测量，上 管AB=64cm,下管AD=80cm,∠BDC= 90°，后下叉CD=55cm,后上叉BC=73cm. 根据设计要求，需保证AB∥CD,请判断该 车架是否符合设计要求，并说明理由 C创新拓展 。发展素养 11.新趋势项目探究在实践课上，甲、乙两组 同学分别设计方案，检测背景墙面的边AD和 边BC是否分别垂直于边AB(如图所示). 甲组：工具：卷尺，测得边AD的长为1m, 边AB的长为2.4m,点B和点D之间的 距离为2.6m. 乙组：工具：20cm的刻度尺. (1)甲组测量数据 判断边AD垂 直于边AB.(填“能”或“不能”) 10.学科融合定滑轮物理课上，老师带着科技 (2)你能帮乙组借用现有的工具设计一个 小组进行物理实验.同学们将一根不可拉 方案检测边BC是否垂直于边AB吗？ 伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B 简要说明设计方案。 上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水 平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑 动来调节物体C的升降，实验初始状态如 图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C 到定滑轮A的垂直距离是8dm,AB+BC= 16dm(实验过程中，绳子始终保持绷紧状 第一章勾股定理8参考答案 8,解：不能通过.理由如下：如图，在OC上取点F,使OF-号×1.6 15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB=BC-BC=15-6=9(dm).答：滑 块B向左滑动的距离为9dm 第一章勾股定理 O.8m,过点F作EF⊥CD于点F,交半圆于点E,交AB于点M,连接 11.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF-4cm OE,则OE-1m,MF-AD-2.3m.在Rt△OEF中，由勾股定理，得 1探索勾股定理 再测量E℉的长度.若EF=5m,则边BC乘直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） EF=OE-OF=12-0.8=0.62,所以EF=0.6m.所以EM=EF 第1课时认识句股定理 专题特训勾设定理与面积问题【回归敦材·期末热点】 十MF-0.6十2.3=2.9(m).因为2.9<3，所以不能通过该工厂大门. 1.D2.D3.C4.8 1,解：连接AC,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=8+6=100,所以 2一定是直角三角形妈 5.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=AB形一BD=102一62=64，所以AD=8. AC=10m.因为AC+CD=102+24=676,AD=676,所以AC+CD=AD.所以 在Rt△ACD中，DC=AC-AD=17-82=225,所以CD=15.所以BC=BD+CD 1.C2.A3.直角4.直角三角形 5.解：(1)503218(2)以AB,BC,AC三条线段为边能构成直角三角形.理由如 △ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以SN#D=Sam一SAm=之AC·CD =6+15=21. 下：因为AC+BC-18+32=50,AB-50,所以AC+BC=AB,所以以AB,BC, 6.C【变式题】C AC三条线段为边能构成直角三角形. 之AB·BC=×10×24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m 7.解：因为∠BAD=90°，所以BD=AD+AB=4+32=25.因为∠CBD=90°，所以 6.解：(1)在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB十AD=+3=25,所以BD= 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=3+4=25,所以 CD=BD+BC=25十5-50，所以正方形DCEF的面积为50， 5.(2)△BCD是直角三角形.理由如下：由(1)，知BD=25.所以BD+CD=25+12 AC=5m.因为AC+AD=5+12=169,CD=169,所以AC+AD=CD,所以 8.B9.C10.17 =169.因为BC=169,所以BD十CD-BC.所以△BCD是直角三角形. 11.解：(1)24(2)设a=3x,则b=4工，在Rt△ABC中，由勾殷定理，得a十=2，所 △ADC是直角三角形，且∠CAD-9O.所以Snam-Sac十Sae-号AB·BC 以(3x)十(4x)2一40，解得x-8(负值已金去).所以a-24,b-32. 7.C8.5,12,13(答案不唯一)9.C10.12011.4812.(19,180,181) 12.解：设BD=x,则CD=14一x.在R1△ABD中，由勾股定理，得AD=AB-BD= 13.解：△AEF为直角三角形.理由如下：因为DF=-CD,所以CF=子CD.因为四边 +号AD·AC=号×3×4+号×12×5=36(m).答：这块绿化地的面积是36m. 15-x.在R1△ACD中，由勾股定理，得AD=AC一CD=13一(14一x),所以15 3.644.865.66.20267.B 形ABCD为正方形，且边长为4a,所以AB=BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D 一x2-132-(14-x)2,解得x=9.所以AD=152-9=144.所以AD=12.所以Sac 专题特训勾投定理中的方程思想【回归数材·通性通法】 90,所以CF-a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE-2BC=2a,在R△ABE 1.解：设OA=OB-x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺， =2BC·AD=84. 中，由勾股定理，得A=AB+BE=(4a)2+(2a)2=202.在Rt△EFC中，由勾股定 OE=OA一EA=(x一4)尺.在Rt△OEB中，由勾股定现，得OB=OE十EB,即x= 13.解：(1)因为四边形ABCD是“垂美四边形”，所以AC⊥BD,所以△ABO是直角三 理，得EF-CE+CF■(2a)十a2-5a2.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF=AD (x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索0B的长为14.5尺. 角形.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB-AO+BO-2十3=13.同理，得BC- 十DF=(4a)F十(3a)2=25a',所以AE+EF=AF,所以△AEF为直角三角形. 2约3号425.66号【变式题127.10 B0+C0=3+4=25,CD=C0+D0=4+5=41,AD=A0+D0=2+5 14.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CMLAC,垂 =29.(2)由(1)，得BC+AD=(BO+CO)+(A0+D0)=(B0+AO)+(CO+ 问题解决策略反思 足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因为∠ACD=90°，所以AC+CD=AD DO)=AB+CD.因为AB=6,CD-10,所以BC+AD-62+102=136.(3)“垂美 【趣味陈情境引入】解：如图，作点B关于直线1的对称点B',连接AB,与直线（交于点 因为AC+BC=AB,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB 网边形”的两组对边的平方和相等。 C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和最短 DC-BC. 第2球时验证句股定理及其简单应用 中，《AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB 1.解：1)B(2)因为Snsm-受AD+BC)·AB-壹(a+a+b)-20+是 AD=AB, 是直角三角形。 15.24 之8+ab=2e2十ab.所以c+=已 3勾股定理的应用 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB矿”，与直线1交于点P,则点 1.符合2.90°3.①③4.C P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短， 2.C3.D 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得2十6-(18一x)2,解得x-8. 4.解，因为每一块地砖的长度为20cm,所以AB=(20×4)2+(20×3)2=802+602= 答：折断处离地面的高度为8尺， 1002,BC=(20×5)1+(20×12)1=1002+240=2602,所以AB=100cm.BC 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=AO+OB=2+1.5=6.25,所以 260cm.所以AB+BC=100+260=360(cm).答：鸽子吃完小朋友洒在点B,C处的鸟 AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m(2)由题意，得CD=AO+0.4=2.4m,BC=AB= 食，最少需要走360cm. 2.5m在R:△BCD中，由勾股定理，得BD-BC一CD-2.5一2.4-0.49.所以 5.D BD=0.7m,所以(OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 【一模多变】1.1302.53.134.17 6.解：(1)在R△AB0中，由勾股定理，得AB=A0十B行=20+152=252，所以AB 【拓展变式】10 =25cm.(2)由题意，得A'0=A0-AA'=20-13=7(cm),A'B=AB=25cm.在 7.158.5 【方法运用】1.202.53.254.100 R△A'OB中，由勾股定理，得A'B1=A'O+B矿O,所以25=7+BO.所以BO= 9.解，该车架符合设计要求，理由如下，在Rt△BCD中，BD=BC心一CD=732一552= 第一章归纳与提升 24cm,所以BB=B'O-BO=24-15=9(em),所以BB的长为9cm 2304.因为AB+BD=642+2304=6400,AD=6400,所以AB+BD=AD.所 思维导图梳理 7.解：(1)(a+b)4×2b+c2a+=2(2)图②中大正方形的面积为(a+b2, 以△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，所以∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD,所以 a2+形=2a2十B=2正整数 该车架符合设计要求. 核心考点突破 两个小正方形的面积之和为(a十6)2一4×2ab一a2+:图①中小正方形的面积为(a 10,解：(I)设AB=xdm,则BC=(16一x)dm,在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+ 1.B2.D3.A4.B5.156.25 7.解：因为CA⊥AB,所以∠CAO=90°.设OB=OC=xcm,则AO=AB-OB=(16 +b)一4×之ab=a2+:=2,所以图②中两个小正方形的面积之和等于图①中小正 BC=AB,所以82+(16一x)产-x2,解得x=10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度 为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB=10+7=17(dm) x)em.在R△ACO中，AC+OA3=OC,所以82+(16-x)3=2,解得x=10,所以 方形的面积，用关系式可表示为a2+=, 在R1△AB'C中，由勾股定理，得BC=AB一AC-17-82=225,所以BC= OB=OC=10cm.所以量角器的半径OB的长为10cm 1 2 3