1.2一定是直角三角形吗 课时作业2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册数学1.2一定是直角三角形吗 课时作业 一、单选题 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 4．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．，， 5．下列各组数据中不能构成直角三角形的是（　　） A． B．6、8、10 C．、、 D．、、1 6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）    A．56 B．60 C．65 D．75 7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．1﹣ 8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．6，8，10 C．，， D．，， 二、填空题 9．如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm． 10．如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，交的延长线于点，交边于点．当时，的长为 ． 11．如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走 步可到处健身（假设2步为）． 12．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是 m． 13．如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是 ． 三、解答题 14．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 15．如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． (1)求证：； (2)连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 16．我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德（Garfield）证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上． （1）求证：∠90°； （2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：）． 17．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C C C B 1．C 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。 【详解】由于大正方形的边长为，又大正方形的面积为13， 即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为 故本题正确答案为C． 【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键． 2．B 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键：在一个直角三角形中，两直角边为a、b，斜边为c，那么． 3．A 【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE＝BC＝4，∠CBE＝60°，从而有∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算出AE即可． 【详解】解：连接BE，如图， ∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE， ∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE， ∴△BCE为等边三角形， ∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝90°， 在Rt△ABE中，AE＝＝5， ∴BD＝5． 故选：A． 【点睛】本题是对三角形知识的考查，熟练掌握图像旋转和勾股定理是解决本题的关键. 4．C 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误； B、 不能构成勾股数，故选项错误； C、 能构成勾股数，故选项正确； D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，， ， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，， ， ∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， ∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴以，，1为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．C 【分析】如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 7．C 【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可． 【详解】解：∵A（−1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝， ∴AC＝AB＝， ∴OC＝， ∴点C的横坐标为（）， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长． 8．B 【详解】根据勾股定理的逆定理，易得B. 9．10 【详解】如图所示： 连接AB， ∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm， ∴AC=×12=6cm， 在Rt△ABC中， AB==10cm． 10．2.5或1 【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情况，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】如图，设BM=x， 在Rt中，AB=10，AC=6， BC=， ， ， O是AB的中点， OA=OB， 在和中， （ASA） PA=BQ=6-1=5，OQ=OP ， MQ=MP， 解得x=2.5． 当点P在AC的延长线时，同法可得， 解得x=1， 综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1． 故答案为2.5或1． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 11．52 【分析】根据勾股定理进行功能计算即可． 【解答】解：由勾股定理可知：， （步， 故答案为：52. 12． 【分析】根据题意可得24和10为两条直角边长，可求出小正方形的边长，然后可利用勾股定理得出的长． 【详解】解：∵，，即直角三角形的两直角边长为， ∴小正方形的边长为， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 13． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式可得AC的长，利用勾股定理可求出AB的长，即可得AD的长，根据数轴上两点间的距离公式即可得答案． 【详解】∵点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合， ∴AC==1， ∵BC=2AC， ∴BC=2， ∴AB==， ∵以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点， ∴AD=AB=， ∵当D在点A右侧， ∴点所表示的数是， 故答案为： 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及勾股定理的应用，利用勾股定理求出AB的长是解题关键． 14．(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到； （）把代入到（）中的关系式中计算即可求解； 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明方法，熟练的利用图形面积证明勾股定理是解本题的关键； （1）先证明，，，即可得到结论； （2）如图，连接，记，的交点为，结合或，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，，， ∴，，， 如图，连接，记，的交点为， ∴或， ∴， 整理得：． 16．(1) 见解析;(2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠CAB=∠DBE，再根据等角的余角相等即可得出结论； （2）用三角形的面积和梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理． 【详解】（1）∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠CAB=∠DBE． ∵∠CAB+∠ABC=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABE=180°﹣90o=90o； （2）∵∠ABE=90o，∴△ABE是一个等腰直角三角形，S△ABE=c2． 又∵S梯形ACDE=（a+b）2，S梯形ACDE=S△ABC+S△BDE+S△ABE=ab+c2，∴（a+b）2=ab+c2，即a2+b2=c2． 由此验证勾股定理． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2证明勾股定理． 17．（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$