第07讲 平行线的性质（1个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第07讲 平行线的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握平行线的三个性质； 2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算； 3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别。 知识点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点一：根据平行线的性质求角度 例1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，，则的度数是 ． 考点二：平行线与三角板的结合 例2.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边，，则的度数等于 ． 【变式2-3】（23-24七年级下·吉林松原·期末）一束平行光线照射三角板（，），光线落在地面上，若，则 度． 考点三：平行线与折叠的综合 例3.（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ． 考点四：平行线的性质在生活中的应用 例4.（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的是，第二次拐的是，第三次拐的角是，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 考点五：平行线的判定与性质综合 例5.（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式5-1】（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【变式5-2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【变式5-3】（23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·广东阳江·一模）如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与互余，与的余角互补， 则等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为 ．    9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，，则 ． 10．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是 ． 三、解答题 12．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 13．（23-24七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行线的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握平行线的三个性质； 2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算； 3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别。 知识点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 考点一：根据平行线的性质求角度 例1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解： 于B，， ， 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/72 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，即可． 根据平行线的性质得出，再根据角平分线得出，最后根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：∵，， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，由，求出，再求出，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点二：平行线与三角板的结合 例2.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 【变式2-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边，，则的度数等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，过点E作，则，由平行线的性质得到，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级下·吉林松原·期末）一束平行光线照射三角板（，），光线落在地面上，若，则 度． 【答案】54 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，可得，由此可得，再根据两直线平行内错角相等，即得． 【详解】， ， ， ． 考点三：平行线与折叠的综合 例3.（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据矩形纸片得到，得到，，则，根据折叠的性质，得，列式计算即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 解得． 故选B． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，，求出，即可得到． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行线的性质与折叠的问题．有长方形可得，，根据折叠的性质，得到，，由平行线的性质，即可得解． 【详解】∵长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，最后再根据平行线性质定理求出． 【详解】解：如图，由折叠的性质，可得， ∵纸带对边互相平行 ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 考点四：平行线的性质在生活中的应用 例4.（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的是，第二次拐的是，第三次拐的角是，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的相关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点作，然后根据平行同一直线的两条直线平行，可得，从而得出； 接下来，根据平行线的性质，可得，根据可求出的度数 【详解】过点作， ，， ， ，. ，， ， ； 故选：C 【变式4-1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-2】（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-3】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 考点五：平行线的判定与性质综合 例5.（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 【变式5-1】（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，两直线平行的性质、判定，往往要相互转化，交替运用，注意在实际解题中多加体会． （1）根据对顶角相等及已知条件证得，即可得到结论； （2）根据对顶角相等和平行线的判定推出，得到，根据，求出，得到，再利用，得到． 【详解】（1）解：；理由如下： 因为与是对顶角， 所以， 又因为，， 所以， 所以； （2）解：因为与是对顶角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以． 【变式5-2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定以及性质，角平分线的定义，余角和补角性质； （1）根据题意可已知条件并结合图形进行分析，内错角相等，即可得到答案． （2）根据题意利用平行线得性质角平分线的定义，余角和补角性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， 设， 则， 即，解得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（23-24七年级下·天津南开·期末）如图．点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，若与互补．过点作，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）由与互补，可得，进而得到，根据平行线的性质即可证明； （2）由可得，结合题意可得，由，得到，，然后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明： 与互补， ， ， ， ； （2） ， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，先证明，再利用对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2023·广东阳江·一模）如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 根据角平分线的定义得出，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．分两种情况画出图形，先证明或，又由比的3倍少，即可求解． 【详解】解：如图1所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得， 如图2所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与互余，与的余角互补， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意，得到，得到，平角的定义求出， 【详解】解：与互余，与的余角互补， ， ， ， ， ∵， ， 故选：C 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，即可得到，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 二、填空题 8．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，，则 ． 【答案】/106度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据，证明，由平行线的性质即可得到，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作射线，再根据，得出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：46． 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 由平行线的性质推出，，由平角定义求出，即可得到的度数． 【详解】解：， ，， ∴， ， ． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键； （1）及，得，由平行线的判定即可证明； （2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ； （2）解：， ， ， ． ． ． ， ． 13．（23-24七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$