第05讲 两直线的位置关系（5个知识点+8大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第05讲 两直线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”； 2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质； 3．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题； 4．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题 知识点1：余角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角． （2）余角的性质：同角(等角)的余角相等． （3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°. 知识点2：补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角． （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等． （3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°. 知识点3：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点4：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 知识点5：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 考点一：求一个角的余角 例1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）已知，则它的余角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义， 根据两角互余和为，求解即可． 【详解】解：∵， 则它的余角的度数为：， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角，和为的两个角互为余角，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是， 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列图形中，和互为余角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了互余的概念，掌握该定义是解题的关键．如果两个角的和等于，那么这两个角互余，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，互为补角，不符合题意； C、，互为补角，不符合题意； D、，互为余角，符合题意； 故选：D． 考点二：求一个角的补角 例2.（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）若与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角的定义，直接根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴． 故选A． 【变式2-1】（2023·湖南怀化·模拟预测）一个角的度数是，它的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角定义，角的大小计算，注意分与度之间的进率为60，此处易错．根据和为的两角互为补角，再计算即可． 【详解】解：， ∴的补角的度数为； 故选：A． 【变式2-2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 【答案】60 【分析】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为． 根据互补的两个角之和为，即可得出答案． 【详解】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：60． 【变式2-3】（23-24七年级下·天津河西·期末）如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，求一个角的补角，根据角平分线的定义可得出，再利用补角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 考点三：与余角﹑补角有关的计算 例3.（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角、补角的定义，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， 故选：． 【变式3-1】（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了角度的计算，设这个角为，则它的余角为，补角为，依据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 由题意可得，， 解得：， 即：这个角为， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的运算，互补关系等知识；由及互补关系可求得，再由平分及对顶角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，比较简单． 根据若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，解答即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴； 又∵和互余， ∴， 故选：B． 考点四：对顶角和邻补角的计算 例4.（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． （1）由垂直的定义可知，，从而可知与是的余角，由对顶角的性质从而的得到是的余角； （2）依据同角的余角相等可知，，从而得到平角． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴与是的余角． ∵由对顶角相等可知：， ∴． ∴与互为余角． ∴的余角为，，； 故答案为：，，． （2）解：∵，°，， ∴． ∴． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知，直线经过点O，若 ，计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角度计算，解题的关键是： （1）先求出，，然后代入计算即可； （2）先求出，进而求出，然后利用邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解∶ ∵， ∴ ， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ， ∴． ∴． ∴， ∴． 【变式4-2】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 【变式4-3】（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识． （1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据，以及互为补角的定义可求出，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点五：垂线段最短 例5.（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键． 根据点到直线的连线中垂线段最短求解即可． 【详解】∵ ∴当汽车行驶到E点时，汽车离学校最近． 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C连接，使，P在线段上连接．若，则线段的长不可能是（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短，正确求出线段的长度范围是解题关键． 先计算出的长度，再由垂线段最短得出的范围，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ， 结合垂线段最短可得：． 故不可能是， 故选：D． 【变式5-2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．掌握垂线段最短是银题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， 过点作于点，这样做的理由是垂线段最短． 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P到直线l的距离应小于等于的长度． 【详解】解：∵点P到直线l的距离是点P到直线l所有点的连线中最短的线段的长度， ∴点P到直线l的距离应小于等于的长度， 即点P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 考点六：同位角、内错角、同旁内角 例6.（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，与构成同位角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：与构成同位角的是， 故选：B． 【变式6-1】（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是内错角 D．∠1和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据定义注意判断即可． 【详解】解：A、和是内错角，原说法错误，不符合题意； B、和是同位角，原说法错误，不符合题意； C、和是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、∠1和是同旁内角，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，不符合题意； B、和是内错角，原说法错误，符合题意； C、和是同旁内角，正确，不符合题意； D、和是内错角，正确，不符合题意； 故选B． 【变式6-3】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，按各组角的位置，判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项正确，不符合题意； B、与是内错角，故本选项正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，故本选项错误，符合题意； D、与是同位角，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 考点七：求平行线间的距离 例7.（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况，如图：    （1）直线与的距离是厘米； （2）直线与的距离是厘米； 故选：C 【变式7-1】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 【变式7-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 考点八：利用平行线间距离解决问题 例8.（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 【变式8-1】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，，B，C，D是上的三点，且，A，E是上的两点，三角形的面积记作，三角形的面积记作，三角形的面积记作，则 （填入“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握同底等高的两个三角形面积相等是解题的关键．设两平行线之间的距离为h，可得，再求解即可得到答案． 【详解】解：设两平行线之间的距离为h， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积等于，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 2．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线．熟练掌握垂线的定义，是解题的关键． 先得出，再结合，，进行角的运算，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东深圳·单元测试）由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．据此即可求解． 【详解】解：和符合同旁内角的定义， 故选：D． 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答． 【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系， 故选：B． 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交、于点、，过点作射线，则图中的同位角有（　　）    A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的概念，根据同位角的定义，逐一判断即可解答．本题的关键在于判断出哪两条线段被哪条线段所截 【详解】解：由题意可知，的同位角为或者． 故选：． 6．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A选项，与是同位角，故该选项符合题意； B选项，与是内错角，故该选项不符合题意； C选项，与是同旁内角，故该选项不符合题意； D选项，与不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）如图，直线和直线相交于点，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了对顶角的性质．根据对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：∵，与是对顶角， ∴， 故答案为： 8．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/145度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角相等，邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．根据对顶角相等，邻补角以及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，先由对顶角相等得到，再根据垂线的定义得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：65． 11．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且与直线l垂直，在从点P到直线l的多条道路中，已知最短路线是（4），理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段的定义和性质，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短作答即可．掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：线段是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，（1）～（5）中，最短，所以点P到直线l的最短路线是（4）．理由是：垂线段最短； 故答案是：垂线段最短． 12．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）一个角的余角是，则这个角的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查补角和余角的定义，根据“和为的两个角互为余角”，先求出这个角，再根据“和为的两个角互为补角”，求出这个角的补角即可． 【详解】解：这个角的度数为， 这个角的补角为：， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）如图，直线、相交于点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了对顶角、垂直的定义、角平分线、邻补角等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键． （1）由对顶角相等和邻补角得到，，由角平分线得到，即可得到的度数； （2）由垂直的定义得到，由（1）知，即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵直线、相交于点，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴ 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． （1）根据垂直的定义得出，根据余角的定义求得，进而根据邻补角即可求解； （2）根据题意设，则，根据平角的定义求得，继而得出，根据对顶角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， 又， ， ； （2）解：设， ， ， ， 即， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 两直线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”； 2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质； 3．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题； 4．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题 知识点1：余角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角． （2）余角的性质：同角(等角)的余角相等． （3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°. 知识点2：补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角． （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等． （3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°. 知识点3：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点4：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 知识点5：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 考点一：求一个角的余角 例1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【变式1-1】（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）已知，则它的余角的度数为 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列图形中，和互为余角的是（    ） A．B．C． D． 考点二：求一个角的补角 例2.（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）若与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·湖南怀化·模拟预测）一个角的度数是，它的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 【变式2-3】（23-24七年级下·天津河西·期末）如图，相交于点O，平分，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 考点三：与余角﹑补角有关的计算 例3.（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，，则等于 ． 【变式3-3】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 考点四：对顶角和邻补角的计算 例4.（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知，直线经过点O，若 ，计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式4-3】（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，已知直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 考点五：垂线段最短 例5.（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【变式5-1】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，A是直线l外一点，过点A作于点B，在直线l上取一点C连接，使，P在线段上连接．若，则线段的长不可能是（     ） A． B．4 C．5 D． 【变式5-2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式5-3】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 考点六：同位角、内错角、同旁内角 例6.（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，与构成同位角的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是内错角 D．∠1和是同旁内角 【变式6-2】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【变式6-3】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，按各组角的位置，判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 考点七：求平行线间的距离 例7.（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 【变式7-1】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【变式7-2】（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【变式7-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 考点八：利用平行线间距离解决问题 例8.（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式8-1】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，，B，C，D是上的三点，且，A，E是上的两点，三角形的面积记作，三角形的面积记作，三角形的面积记作，则 （填入“”、“”、“”） 【变式8-3】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·单元测试）由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交、于点、，过点作射线，则图中的同位角有（　　）    A． B．或 C．或 D．或或 6．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 二、填空题 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）如图，直线和直线相交于点，，则 ． 8．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 9．（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是 ． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 11．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且与直线l垂直，在从点P到直线l的多条道路中，已知最短路线是（4），理由是 ． 12．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）一个角的余角是，则这个角的补角为 ． 三、解答题 13．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）如图，直线、相交于点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$