第09讲 等可能事件的概率（1个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第09讲 等可能事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念，理解概率取值范围的意义； 2.能够运用列举法计算简单事件发生的概率。 知识点：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 考点一：列举随机实验的所有可能结果 例1.把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先保证放入和编号相同的球数，只需分析剩下的球的不同方法即可． 【详解】解：先放1，2，3的话，那么还剩下4个球，4个球放到3个不同的盒子里，情况有： 0，0，4，分别在1，2，3号盒子中的任意一个中放4个，共3种情况； 0，1，3，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放3个和1个，共6种情况； 0，2，2，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个，共3种情况； 1，1，2分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个和1个，共3种情况； ∴3+6+3+3=15种． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生的分析能力．此题与生活实际联系比较密切，解题的关键是要注意仔细分析题目，做到不重不漏． 【变式1-1】书架上有一本语文书，两本相同的英语书，三本相同的数学书，则把它们排成相同科目的书不相邻的排列方法有 种． 【答案】10 【分析】设语文书为△，英语书为□，数学书分别为○，根据题意进行排列即可得出所有的排列方法. 【详解】解：设语文书为△，英语书为□，数学书分别为○， ∴则排成相同科目的书不相邻的排列方法可以为： △○□○□○； □○△○□○； □○□○△○； ○□○□○△； ○□○△○□； ○△○□○□； ○△□○□○； ○□△○□○； ○□○△□○； ○□○□△○； 故此种要求的排法有10种， 故答案为：10. 【点睛】本题考查了排列与组合问题，注意把不符合的扣除，避免多了或少了，始终注意同类书不相邻是解题关键． 【变式1-2】假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 【答案】8 【分析】本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【详解】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；三、0⇒1⇒3⇒4；四、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 【点睛】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 【变式1-3】将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 考点二：判断实验所得结果是否是等可能的 例2.如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 【变式2-1】下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 【答案】C 【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是，据此计算各个选项所代表事件的概率． 【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为； B、朝上点数为7的可能性为0； C、朝上点数为2的倍数的可能性为； D、朝上点数不大于2的可能性为． 故选C． 【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键． 【变式2-2】一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】根据概率公式，求出各个事件发生的概率，再进行比较即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球， ∴摸出白球概率，摸出黄球概率，摸出红球概率， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用概率公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握事件发生的概率等于符合条件的情况数和总情况数之比． 【变式2-3】如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据事件发生的可能性大小作出判断即可． 【详解】解：事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”， 则事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性，即, 故答案为：< 【点睛】此题考查了概率，概率是表示事件发生可能性大小的量，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 考点三：根据概率公式计算概率 例3.不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是． 故选：Ａ ． 【变式3-1】一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是概率的公式，可先求出总的球的个数，再用白球的个数除以总的球的个数即可得出本题的答案． 【详解】共有球个，白球有4个， 因此摸出的球是白球的概率为：． 故选：B． 【变式3-2】在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得的面积为1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键． 按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：如图所示， 点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使的面积为1的点共有如图4种可能， 故恰好使的面积为1的概率为：． 故选：C． 【变式3-3】三张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等腰三角形、直角梯形．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是轴对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，轴对称的定义，综合运用以上知识是解题的关键． 根据轴对称的定义，得出是轴对称图形的有线段、等腰三角形，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵线段、等腰三角形是轴对称图形，共2个， ∴在看不见图形的条件下任意摸出1张， 这张卡片上的图形是轴对称图形的概率是． 故选：D． 考点四：根据概率作判断 例4.．小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 【变式4-1】某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 (1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少? (2)如果销售这种衬衣1200件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换? 【答案】(1) (2)准备件正品衬衣供顾客调换 【分析】本题考查了概率的运算，样本估计总体等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据次品件数比上抽查总件数即可得到概率； （2）利用商品总数次品概率即可得出结果． 【详解】（1）抽查总件数， 次品件数， ； （2）根据(1)的结论：， 则(件)， 答：准备件正品衬衣供顾客调换． 【变式4-2】甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 【答案】(1)甲摸到“石头”的概率为 (2)乙获胜的概率为 【分析】本题考查了简单的概率计算； （1）共有10张卡片，其中2张上写有“石头”，直接利用概率公式求解即可； （2）若甲先摸出“石头”，则还剩下9张卡片，乙需要摸到“布”，据此根据概率公式求解即可． 【详解】（1）甲摸到“石头”的概率为 （2）因为甲先摸到了“石头”，又要乙获胜，所以乙必须摸到“布”，所以乙获胜的概率为 【变式4-3】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【答案】(1)12个 (2)红 (3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【分析】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 考点五：已知概率求数量 例5.“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【答案】(1)个 (2) (3) (4)人 【分析】此题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式． （1）用球的总数乘以红球的概率即可求解； （2）设白球有个，则黄球有个，根据题意列出方程求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，根据概率公式求解即可； （4）用乘以白球的概率即可求解． 【详解】（1）解：红球的个数为： （个）； （2）设白球有个，则黄球有个， 根据题意得：，       解得：， 摸出一个球是白球的概率为：； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化， 从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是； （4）获得一等奖的人数：（人）． 【变式5-1】一个不透明布袋里有5个红球和若干个白球，两种球除颜色以外没有任何差别，小明从中随机的摸出一个球，放回去后摇晃后又摸一个球，如此摸下去，发现摸到红球的频率稳定在0.333左右，则布袋中的白球约有 个； 【答案】10 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解即可． 【详解】解：设布袋中白球有个， 由题意可得：， 解得：， 布袋中白球可能有10个． 故答案为：10． 【变式5-2】在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据概率求数量，根据概率的公式即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：， 则， 故选：D． 【变式5-3】一个盒子中装有33个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球的2倍多5个，从盒子中任取一个球是白球的概率是，求从盒子中任取一个球是黑色的概率． 【答案】 【分析】此题考查了根据概率求数量，一元一次方程的应用，求概率， 首先求出从盒子中任取一个球是白球的概率是，然后求出白球的个数，然后根据列方程求出黑球有9个，然后根据概率求解即可． 【详解】∵从盒子中任取一个球是白球的概率是， ∴白球的个数为（个） 设黑球有x个，则红球有个 根据题意得， 解得 ∴黑球有9个 ∴从盒子中任取一个球是黑色的概率为． 一、单选题 1．如图，转盘中个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是掌握：如果一个事件出现有种可能，而且这些事件出现的可能性相同，其中事件出现有种可能，那么事件的概为率．据此列式解答即可． 【详解】解：∵转盘中个扇形的面积相等， ∴任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数共有种等可能结果，其中指向的数是偶数有，，共种结果， ∴任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为． 故选：B． 2．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选C． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，求出整个图形的面积和阴影部分的面积是正确解答的关键． 求出整个图形的面积和阴影部分的面积，根据几何概率的定义进行计算即可． 【详解】设每一块小正方形的边长为1，则总面积为，其中阴影部分面积为， 飞镖停留在阴影区域上的概率是． 故选∶C． 二、填空题 4．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵5个小球中，有2个蓝色小球， ∴摸到的是蓝色小球的概率， 故答案为． 5．在2021年1月份抗击疫情时，中国青年志愿者和中国心理卫生协会向全国心理卫生服务工作者发出倡议，号召大家以志愿服务的方式，积极参与疫情防控工作．第三批心理志愿者招募50人，某市在所有报名的志愿者中随机抽查了部分志愿者的年龄情况，绘制了如下统计表： 报名志愿者年龄 24岁 26岁 30岁 35岁 人数 4 6 6 4 若想从抽查的报名志愿者中随机抽取1人来谈对这份工作的认知，则抽到志愿者年龄为26岁的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式的应用；根据概率公式可得答案． 【详解】解：因为， 即共抽查了20名志愿者的年龄情况，其中年龄为26岁的有6人， 所以抽到志愿者年龄为26岁的概率是． 故答案为：． 6．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮32秒，黄灯亮3秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式计算，熟知某事件的概率这个事件发生的结果数除以总的结果数是解题的关键． 【详解】解：当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率． 故答案为：． 三、解答题 7．已知一个不透明的盒子中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、绿色的玻璃弹珠共100个，其中红色的有30个，黄色的有45个．从盒子中任意摸出一个玻璃弹珠，求： (1)摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率； (2)摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先求出玻璃弹珠的颜色是绿色有25个，再直接利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率为； （2）解：由题意得，玻璃弹珠的颜色是绿色有个， ∴摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 8．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲 (2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． （2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 9．小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾1张、牙刷1张，谢谢参与3张（答案不唯一） 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”、对应牌的数量和除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有四张写着太阳伞，其他的五张包含纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张． 10．北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 【答案】(1)， (2)，作记号或分开煮后再盛 (3)给妈妈和外婆每人盛个饺子 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）根据概率公式计算即可得出答案； （3）根据概率公式结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解：若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是；杨晨能吃到钱币的概率是； （2）解：事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是，外婆做手脚的方法我猜想是作记号或分开煮后再盛； （3）解：还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：给妈妈和外婆每人盛个饺子． 11．一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)红球有20个，绿球有8个 (2) (3) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据红、黄、绿三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可求得红球的个数，设绿球有x个，则黄球有个，根据球的总个数列出方程求出x的值即可得； （2）用绿球的个数除以总的球数即可； （3）先求出从袋中拿出12个黄球还剩的球数，再根据黄球的个数，除以还剩的球数即可． 【详解】（1）解：红球个数：（个）， 设绿球有x个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， ∴红球有20个，绿球有8个． （2）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， ∴从袋中随机摸出一球是绿球的概率为； （3）解：拿出12个黄球以后，从袋中随机摸出一球，共有种等可能的结果，其中摸出黄球的结果有（种）， ∴从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等可能事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念，理解概率取值范围的意义； 2.能够运用列举法计算简单事件发生的概率。 知识点：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 考点一：列举随机实验的所有可能结果 例1.把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 【变式1-1】书架上有一本语文书，两本相同的英语书，三本相同的数学书，则把它们排成相同科目的书不相邻的排列方法有 种． 【变式1-2】假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 【变式1-3】将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 考点二：判断实验所得结果是否是等可能的 例2.如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式2-1】下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 【变式2-2】一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 【变式2-3】如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么 ．（填“>”、“<”或“=”） 考点三：根据概率公式计算概率 例3.不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 【变式3-1】一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得的面积为1的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】三张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等腰三角形、直角梯形．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是轴对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 考点四：根据概率作判断 例4.．小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【变式4-1】某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 (1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少? (2)如果销售这种衬衣1200件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换? 【变式4-2】甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的10张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，5．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． (1)若甲先摸，则他摸到“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸到了“石头”，则乙获胜的概率是多少? 【变式4-3】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 考点五：已知概率求数量 例5.“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【变式5-1】一个不透明布袋里有5个红球和若干个白球，两种球除颜色以外没有任何差别，小明从中随机的摸出一个球，放回去后摇晃后又摸一个球，如此摸下去，发现摸到红球的频率稳定在0.333左右，则布袋中的白球约有 个； 【变式5-2】在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】一个盒子中装有33个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球的2倍多5个，从盒子中任取一个球是白球的概率是，求从盒子中任取一个球是黑色的概率． 一、单选题 1．如图，转盘中个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为（  ） A． B． C． D． 2．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 5．在2021年1月份抗击疫情时，中国青年志愿者和中国心理卫生协会向全国心理卫生服务工作者发出倡议，号召大家以志愿服务的方式，积极参与疫情防控工作．第三批心理志愿者招募50人，某市在所有报名的志愿者中随机抽查了部分志愿者的年龄情况，绘制了如下统计表： 报名志愿者年龄 24岁 26岁 30岁 35岁 人数 4 6 6 4 若想从抽查的报名志愿者中随机抽取1人来谈对这份工作的认知，则抽到志愿者年龄为26岁的概率为 ． 6．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮32秒，黄灯亮3秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为 ． 三、解答题 7．已知一个不透明的盒子中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、绿色的玻璃弹珠共100个，其中红色的有30个，黄色的有45个．从盒子中任意摸出一个玻璃弹珠，求： (1)摸到的玻璃弹珠的颜色是红色的概率； (2)摸到的玻璃弹珠的颜色是绿色的概率． 8．现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 9．小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”. 10．北方有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有钱币的饺子，谁就在新的一年里吉祥如意，鸿运当头．不过，有钱币的饺子只有一个，否则就不灵了．今年外婆来我家过年，她在60个饺子中的一个放了钱币，吃饺子时外婆给每人盛了15个，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到钱币，被外婆称之为“宝贝”的杨晨却吃到了． 请根据上述信息，简要回答下列问题： (1)若此游戏具有公平性，吃一个饺子能吃到钱币的概率是_____；杨晨能吃到钱币的概率是_____； (2)事后杨晨了解到：之所以杨晨能吃到钱币，是因为外婆做了手脚，在此前提下，杨晨吃第一个饺子就有钱币的概率是_____，外婆做手脚的方法我猜想是______； (3)还是4个人共吃60个饺子，且只有一个有钱币，请你设计一个办法能使妈妈、外婆吃到的概率都为，方法是：________． 11．一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$