专题5 微专题15 圆锥曲线热点问题(一)——计算类（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题15　圆锥曲线热点问题(一)——计算类 命题点1　定值计算 　(2024·江西南昌一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右两顶点分别为A1，A2，过点C(1,0)作斜率为k1(k1≠0)的动直线与椭圆E相交于M，N两点．当k1＝1时，点A1到直线MN的距离为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设点M关于原点的对称点为P，设直线A1P与直线A2N相交于点Q，设直线OQ的斜率为k2，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由． [解析]　(1)依题意可知e＝＝，由于k1＝1，则直线MN的方程为x－y－1＝0，因为点A1到直线MN的距离为，所以＝，解得a＝2，所以c＝，则b＝＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)设M，N，P，直线MN的方程为x＝my＋1，此时k1＝. 联立直线与椭圆方程消去x得y2＋2my－3＝0，则有y1＋y2＝，y1y2＝，不妨设Q，因为A2，N，Q三点共线，则kA2N＝kA2Q，所以有＝，因为A1，P，Q三点共线，则kA1P＝kA1Q，所以有＝，所以＝＝＝m－，＝＝＝m－，＝2m－＝2m－＝，所以＝，所以k2＝，所以k2＝k1，所以＝. 求解定值问题的两大途径 (1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正、负项抵消或分子与分母约分得定值．　 【预测练1】 (2024·湖北荆州三模)从抛物线y2＝8x上各点向x轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ. (1)求Γ的轨迹方程； (2)A，B，C是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F. ①若AC∥DF，求的值； ②证明：三角形ABC与三角形DEF的面积之比为定值． 解析　(1)设垂线段中点坐标为(x，y)，则抛物线上点坐标为(x,2y)，代入抛物线方程，则(2y)2＝8x，即y2＝2x，所以Γ的轨迹方程为y2＝2x. (2)①如图，A，B，C是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，设A，B，C，D，E，F， 则抛物线y2＝2x上过点A的切线方程为x－＝t，将切线方程与抛物线方程联立，得消去x，整理得y2－2ty＋2ty1－y＝0，所以Δ＝(－2t)2－4＝4t2－8ty1＋4y＝42＝0，从而有t＝y1， 所以抛物线上过点A的切线方程为x＝y1y－， 同理可得抛物线上过点B，C的切线方程分别为x＝y2y－，x＝y3y－， 两两联立，可以求得交点D，E，F的纵坐标分别为 y4＝，y5＝，y6＝，则＝＝＝，同理可得＝，＝，即＝＝，当AC∥DF时，＝，故＝，即|EF|＝|FC|，因此＝＝1. ②证明　易知kAB＝＝，则直线AB的方程为y－y1＝，化简得y＝，即y＝2x＋y1y2，且|AB|＝＝ |y2－y1|，点C到直线AB的距离为 d1＝ ＝， 则三角形ABC的面积S1＝|AB|·d1＝||. 由(2)①知切线DE的方程为x＝y1y－， D，E，F，可知|DE|＝|y3－y2|，点F到直线ED的距离为d2＝＝，则外切三角形DEF的面积S2＝|ED|·d2＝|(y2－y1)(y3－y1)(y3－y2)|. 故＝＝2. 因此三角形ABC与外切三角形DEF的面积之比为定值2. 命题点2　最值(范围)问题 　(2024·山东济宁一模)已知椭圆E：＋＝1，直线l与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，OP⊥AB，垂足为点P. (1)求点P的轨迹方程； (2)求△OAB面积的取值范围． [解析]　(1)①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧，直线OA的方程为y＝x，由解得x＝，y＝， ∴A，∴直线AB的方程为x＝，此时P. 同理，当直线l在y轴左侧时，P. ②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，设A，B，联立消去y并整理得x2＋4kmx＋2m2－8＝0， ∴Δ＝64k2－8m2＋32>0，且x1＋x2＝，x1x2＝，又∵OA⊥OB，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，则x1x2＋km＋m2＝0， 故－＋＝0，∴3m2＝8满足Δ>0，∴|OP|＝＝ ＝ ＝. 综上，|OP|＝，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝. (2)①由(1)可知，当直线l斜率不存在时，S△ABO＝. ②当直线l斜率存在且不为0时，|AB|＝|x1－x2|＝＝·＝· ＝· ＝· ＝· ，∵k2>0，∴4k2＋≥4，当且仅当k2＝，即k＝±时等号成立． ∴1＋∈， ∴|AB|∈， ∴S△ABO＝|OP|·|AB|∈， 综上，S△ABO的取值范围为. 圆锥曲线中的范围问题的解题策略 (1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知的或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　 【预测练2】 (2024·山东淄博一模)在平面直角坐标系xOy中，点F，点P(x，y)是平面内的动点．若以PF为直径的圆与圆D：x2＋y2＝1相切，记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设点A(1,0)，M(0，t)，N，直线AM，AN分别与曲线C交于点S，T(S，T异于A)，过点A作AH⊥ST，垂足为H，求|OH|的最大值． 解析　(1)设P(x，y)，则PF的中点G，根据题意得|OG|＝|PF|±1， 即＝ ±1， 整理得＝2， 化简整理，得点P的轨迹方程C：x2－＝1. (2)设S，T，由对称性可知直线ST的斜率存在，所以可设直线ST：y＝mx＋n，联立直线ST与曲线C的方程，得消元整理，得x2－2mnx－＝0， 则Δ>0⇒4＋n2－m2>0　①， x1＋x2＝－，x1x2＝　②， 所以lAS：y＝(x－1)， 令x＝0，得点M纵坐标t＝－， 同理可得点N纵坐标4－t＝－，故＋＝－4，将y1＝mx1＋n，y2＝mx2＋n代入上式整理，得x1x2＋＋4－2n＝0，将②代入得m2＋2mn＋n2＋2m＋2n＝0⇒(m＋n)(m＋n＋2)＝0， 若m＋n＝0，则直线lST：y＝m(x－1)，恒过A(1,0)，不合题意； 若m＋n＋2＝0，则lST：y＝m(x－1)－2，恒过Q(1，－2)，因为lST恒过Q(1，－2)，且与C：x2－＝1始终有两个交点，又A(1,0)，AH⊥ST，垂足为H， 所以点H轨迹是以AQ为直径的圆(不含点A)，设AQ中点为E，则圆心E(1，－1)，半径为1，所以|OH|≤|OE|＋1＝＋1，当且仅当点H在线段OE的延长线上时，OH取最大值＋1. 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 解析　(1)第1步：代入A，P坐标求解a，b 由题知解得 第2步：根据a，b，c的关系求解c，得出C的离心率e ∴c＝＝，∴C的离心率e＝＝. (2)第1步：求解|PA| |PA|＝＝， 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝. 第3步：求解点B坐标 易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)， 则解得或 ∴B(0，－3)或B， 第4步：求直线l的方程 故l：y＝x－3或y＝x. 2．(2023·全国甲卷·理)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． 解析　(1)设A，B， 由 可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以＝＝＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)因为F，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M，N， 由可得y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，所以＋y1y2＝0， 即＋y1y2＝0， 亦即y1y2＋m＋2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，得 4m2＝n2－6n＋1,4＝2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， ＝＝·＝＝·＝2， 所以△MNF的面积S＝××d＝××2＝2，而n≥3＋2或n≤3－2，所以，当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝2＝12－8. 学科网（北京）股份有限公司 $$