专题5 微专题14 圆锥曲线的标准方程与性质（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题14　圆锥曲线的标准方程与性质 命题点1　圆锥曲线的定义与标准方程 　(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋，则该椭圆方程为(　　) A.＋＝1　　　　 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 (2)(2024·浙江金华模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3,2)，点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是(　　) A．3＋2 B．3 C．4＋2 D．2＋2＋2 [解析]　(1)设椭圆的半个焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1，因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是|F2B|＝|BF1|＝a，cos 45°＝＝＝，|F1A|＝|AP|，可得a＋c＝(2＋)，解得a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为抛物线方程为y2＝4x，所以2p＝4⇒＝1， 所以焦点F(1,0)，且抛物线准线方程为x＝－＝－1. 注意到△PAF的周长为C△PAF＝|PF|＋|FA|＋|PA|，因为A(3,2)，F(1,0)，所以|FA|＝＝2， 所以C△PAF＝|PF|＋|PA|＋2. 因为根据抛物线定义，P点到准线x＝－1的距离等于|PF|，故若求周长C△PAF最小值，则求P点到准线x＝－1的距离与PA长度之和的最小值即可，由图可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时，P点到准线x＝－1的距离加PA长度之和最小，最小值为3－(－1)＝4，所以周长C△PAF的最小值为4＋2.故选C. [答案]　(1)D　(2)C 求圆锥曲线标准方程的步骤 (1)设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程． (2)求方程：利用待定系数法求出方程的系数．特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． 提醒：(1)双曲线的定义中注意“绝对值”．(2)确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置．　 【预测练1】 1．(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析　由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C. 答案　C 2．(2024·山东日照模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(－2,2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：－＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是(　　) A．(＋1,5] B．[3,5] C．(＋1,2] D． 解析　∵点Q(a，b)在双曲线E：－＝1， ∴a2－b2＝4，∴c＝＝2. 可得右焦点F2(2,0)，左焦点F1(－2,0)，由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|，即|PF2|＝2a－|PF1|， 可得|PA|－|PF1|＝8－2a，由||PA|－|PF1||≤|AF1|＝2，可得－2≤8－2a≤2，解得3≤a≤5，又点A(－2,2)在椭圆C内，∴＋<1，解得a>＋1. ∴m的取值范围是(＋1,5]． 故选A. 答案　A 命题点2　椭圆、双曲线的几何性质 考向一　离心率问题 　(1)(2024·江西鹰潭一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为(　　) A. B． C. D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，点P(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1,2] B．(1,4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) [解析]　(1)依题意，椭圆的左焦点为F，|FM|＝|OF|＝c，过M作MM′⊥x轴，垂足为M′，由∠MFM′＝60°，得|FM′|＝|FM|＝c，|MM′|＝|FM|＝c，则M，设A，B，则有＝tan 60°＝，＝－c，＝c，由＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0，则有＝－＝－×＝，所以e＝＝ ＝＝.故选B. (2)由题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，∵P(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0的距离d＝＝，∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则d≥1，∴≥1，即e＝≤4，故e的取值范围为(1,4]，故选B. [答案]　(1)B　(2)B 确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围．　 考向二　椭圆、双曲线的几何性质 　(1)(2024·江苏名校联盟)已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (2)(多选)(2024·河南新乡二模)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，A，F2，B三点共线，若直线BF1的斜率为，直线AF1的斜率为－，则(　　) A．C的渐近线方程为y＝±x B．|AB|＝16 C．△ABF1的面积为16 D．△AF1F2内接圆的半径为 [解析]　(1)设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝＝ ＝ ，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.故选C. (2)对于A，依题意，直线BF1的斜率为，所以∠BF1F2＝，又|BF1|＝|BF2|，所以△BF1F2为等边三角形，故|BF1|＝|BF2|＝|F1F2|＝2c＝6，∠BF2F1＝，在△AF1F2中，tan∠F2F1A＝>0，∠F2F1A为锐角，所以sin∠F2F1A＝，cos∠F2F1A＝，所以sin A＝sin＝×－×＝，根据正弦定理可得＝＝，即＝＝，解得|AF1|＝14，|AF2|＝10，所以2a＝4，即a＝2，b＝＝，所以双曲线C的方程为－＝1，对于A、B，C的渐近线方程为y＝±x，|AB|＝6＋10＝16，故A、B正确； 对于C，△ABF1的面积为|BF1|·|AB|sin ＝×6×16×sin ＝24，故C错误； 对于D，△AF1F2的面积为×6×14×＝15，所以△AF1F2内接圆的半径为＝，故D正确．故选ABD. 答案　(1)C　(2)ABD 求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．　 【预测练2】 1．(多选)(2024·河南TOP二十名校质检)已知双曲线E：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝10，过F1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝，则(　　) A．E的渐近线方程为y＝±2x B．3|PF1|＝4|PF2| C．直线l的斜率为± D．P的坐标为或 解析　对于A选项，|F1F2|＝2＝10，且a>0，解得a＝1，又因为b＝2，故双曲线E的渐近线方程为y＝±x＝±2x，A正确； 对于B选项，因为点P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2　①， 又因为∠F1PF2＝，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100　②， 联立①②可得|PF1|＝8，|PF2|＝6，所以3|PF1|＝4|PF2|，B正确； 对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为kPF1＝tan∠PF1F2＝＝＝，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为kPF1＝－. 综上所述，直线l的斜率为±，C错误； 对于D选项，设点P(x，y)，则x>1，且x2－＝1，可得y2＝24x2－24，所以|PF1|＝＝＝＝5x＋1＝8，解得x＝，则y2＝24×2－24＝，可得y＝±， 即点P，D正确．故选ABD. 答案　ABD 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥F1F2，H是线段PF1上靠近F1的三等分点，且·＝0，则C的离心率为________． 解析　由题意，不妨设点P在第一象限，如图． 因为PF2⊥F1F2，则|PF2|＝，|PF1|＝2a－＝，|HF1|＝|PF1|＝. 因为·＝0，则OH⊥PF1，可知△PF1F2∽△OF1H，则＝，即＝，整理得c2－ac＋a2＝0. 由e＝得e2－e＋1＝0，解得e＝或e＝>1(舍去)，所以C的离心率为. 答案　 命题点3　抛物线的几何性质 　(多选)(2024·广东广州三模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射，沿直线l2射出，经过点Q，则(　　) A．y1y2＝－1 B．|AB|＝ C．PB平分∠ABQ D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 [解析]　如图，设抛物线的焦点为F，则F.因为P，且l1∥x轴，所以A(1,1)，所以直线AF：y＝＝x－.由 可得y2－y－＝0，故y1y2＝－，A错误．因为y1＝1，所以y2＝－，故B，故|AB|＝1＋＋＝，故B正确．因为|AP|＝－1＝＝|AB|，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确．直线AO：y＝x，由可得C，故yC＝yB，所以C，B，Q三点共线，故D正确．故选BCD. [答案]　BCD 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．　 【预测练3】 1．(2024·江苏扬州第二次调研)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|＝3|FN|，则直线MN的斜率为(　　) A. B． C. D． 解析　根据题意可得抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1， 则有A(－1,0)，设MN直线方程为y＝k，k>0，联立可得k2x＋x＋k2＝0，则Δ＝2－4k2·k2＝－16(k－1)·(k＋1)>0，得－1<k<1，故0<k<1，设M，N，0<x2<x1，x1＋x2＝，x1x2＝1，M到准线距离为|MM′|，N到准线距离为|NN′|， 又|FM|＝3|FN|，有|MM′|＝3|NN′|，即1＋x1＝3，得x1＝2＋3x2，∴x1x2＝x2＝1，又0<x2<x1，解得x2＝，x1＝3，∴x1＋x2＝＝3＋，又k>0，解得k＝.故选A. 答案　A 2．(多选)过点P(4,0)的直线l交抛物线C：y2＝4x于A，B两点，线段AB的中点为M，抛物线的焦点为F，下列说法正确的是(　　) A．以AB为直径的圆过坐标原点 B.·<0 C．若直线l的斜率存在，则斜率为 D．若y0＝2，则|AF|＋|BF|＝12 解析　由题意可知直线l斜率不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋4，联立得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，x1＋x2＝m＋8＝4m2＋8，x1x2＝m2y1y2＋4m＋16＝16，因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OA⊥OB，以AB为直径的圆过坐标原点，A说法正确；·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－＋1＋y1y2＝－4m2－7<0，B说法正确；因为M为线段AB中点，所以M(2m2＋4,2m)，若直线l的斜率存在，则m≠0，直线l：y＝x－的斜率k＝＝，C说法正确；若y0＝2，则m＝1，由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝14，D说法错误；故选ABC. 答案　ABC 1．(2024·全国甲卷·理)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4　　　　　　　　 B．3 C．2 D． 解析　解法一(方程组法)　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则 得所以离心率e＝＝2. 解法二(定义法)　根据双曲线的定义，得2a＝ |－|＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2. 答案　C 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y>0) B.＋＝1(y>0) C.＋＝1(y>0) D.＋＝1(y>0) 解析　解法一(代入法)　设M(x0，y0)，则P(x0,2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)，故选A. 解法二(数形结合法)　由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. 答案　A 3.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A．a＝－2 B．点(2，0)在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤ 解析　(定义法＋逻辑推理法＋放缩法)　因为坐标原点O在曲线C上，所以2×|a|＝4，又a<0，所以a＝－2，所以A正确． 因为点(2，0)到点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离之积为(2－2)(2＋2)＝4，所以点(2，0)在曲线C上，所以B正确． 设P(x，y)(x>0，y>0)是曲线C在第一象限的点，则有(x＋2)＝4，所以y2＝－(x－2)2，令f(x)＝－(x－2)2，则f′(x)＝－－2(x－2)，因为f(2)＝1，且f′(2)<0，所以函数f(x)在x＝2附近单调递减，(若f′(x0)>0，则函数f(x)在x＝x0附近单调递增；若f′(x0)<0，则函数f(x)在x＝x0附近单调递减)即必定存在一小区间(2－ε，2＋ε)使得f(x)单调递减，所以在区间(2－ε，2)上均有f(x)>1，所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误． 因为点(x0，y0)在C上，所以x0>－2且(x0－2)＝4，得y＝－(x0－2)2≤，所以 y0≤|y0|≤ ＝，所以D正确．综上，选ABD. 答案　ABD 4．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 解析　(数形结合法)　对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，故A正确； 对于B，A(0,4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4,4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确； 对于C，当|PB|＝2时，P(1,2)，B(－1,2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误； 对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1,0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 5．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 解析　解法一(直接法)　由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5，因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8,2c＝|F1F2|＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝. 解法二(二级结论)　因为|AB|＝10，所以＝10，所以＝＝5，又|AF1|＝13，所以|F1F2|＝2c＝＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝＝＝. 答案　 6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 解析　解法一　依题意，设＝2m，则＝3m＝，＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)·(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以＝4a，＝2a，＝＝3a，则＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 解法二　依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，令A，B(0，t)，因为＝－，所以＝－，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2－16a2c2＝9a2，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝.故答案为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$