专题5 微专题13 直线与圆（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

专题五　解析几何 微专题13　直线与圆 命题点1　直线的方程 1．“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行，则(－a)－2a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝，经检验a＝0或a＝时两直线互相平行．故“a＝”能得到“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”，但是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”不能得到“a＝”．故选A. 答案　A 2．(2024·江西上饶一模)作圆x2＋y2＝4的一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＋＝0 C．x－y＋1－＝0 D.x＋y－2＝0 解析　如图，可知A，B，C，D，E，F，G， H(，－1)，I(1，－)，J(0，－2)，K(－1，－)，L(－，－1)，直线FG的方程为y－0＝(x－2)，即x＋(2－)y－2＝0，A正确；直线LK的方程为y＋1＝(x＋)，即x＋y＋1＋＝0，B正确；直线DE的方程为y＝x＋2，即x＋y－2＝0，D正确． 答案　C 3．(多选)已知直线l过点(3,4)，点A(－2,2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．x－2y＋2＝0　　　 B．2x－y－2＝0 C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0 解析　A，B在直线l同侧时，kl＝kAB＝＝－，所以l：y＝－＋4，即2x＋3y－18＝0；A，B在直线l异侧时，l过AB中点M(1,0)，所以kl＝＝2，所以l：y＝2(x－3)＋4，即2x－y－2＝0.故选BC. 答案　BC (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线的平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况． (2)求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等．　 命题点2　圆的方程 　(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(　　) A．(x＋)2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋(y＋)2＝2 C．(x－)2＋(y＋)2＝ D．(x＋)2＋(y－)2＝2 (2)(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论中正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1,2) B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是4 C．a＋b＝1 D．ab的取值范围是 [解析]　(1)由题意设所求的圆方程为(x－a)2＋(y－b)＝r2(a<0，b>0)， 则即 解得 所以圆C的方程为2＋2＝2.故选D. (2)将圆的方程化为标准方程可得2＋2＝4，所以该圆的圆心为(－1,2)，半径为2，故选项A正确，选项B不正确． 由已知可得，直线2ax－by＋2＝0经过圆心，所以2a×－2b＋2＝0，整理可得a＋b＝1，故选项C正确． 由选项C知b＝1－a，所以ab＝a(1－a)＝－2＋≤，所以ab的取值范围是，故选项D正确．故选ACD. [答案]　(1)D　(2)ACD 解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．　 【预测练1】 1．已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于，则圆C的标准方程为(　　) A.2＋2＝4 B.2＋2＝16 C.2＋2＝4 D.2＋2＝16 解析　因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)，又圆C与x轴的正半轴相切于点A，所以a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝，所以d＝＝，解得a＝6或a＝2，所以A(2,0)或A(6,0)，又点A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C，r＝4，所以圆C的标准方程为2＋(y－4)2＝16.故选D. 答案 D 2．(多选)(2024·湖南邵阳模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，点P(a，b)是圆C上的一点，则下列说法正确的是(　　) A．圆C关于直线x－3y－2＝0对称 B．(a－1)2＋(b＋1)2的最小值为3－ C．2a＋b的最小值为4－3 D.的最大值为 解析　圆C：(x－2)2＋y2＝9的圆心C(2,0)，半径r＝3，对于A，显然点C(2,0)在直线x－3y－2＝0上，圆C关于直线x－3y－2＝0对称，A正确； 对于B，点C(2,0)与点(1，－1)的距离 ＝<3，则点(1，－1)与点P(a，b)距离的最小值为3－，B错误；对于C，令θ∈R，则2a＋b＝4＋6cos θ＋3sin θ＝4＋3sin(θ＋φ)，其中锐角φ由tan φ＝2 确定，因此当sin(θ＋φ)＝－1时，(2a＋b)min＝4－3，C正确；对于D，＝1＋，令t＝，由消去b得(t2＋1)a2＋(6t2－4)a＋9t2－5＝0，则Δ＝(6t2－4)2－4(t2＋1)·(9t2－5)≥0，整理得t2≤，解得－≤t≤，因此－≤≤，≤≤，D正确．故选ACD. 答案　ACD 命题点3　直线、圆的位置关系 考向一　直线与圆的位置关系 　(1)(多选)已知点M在直线l：y－4＝k(x－3)上，点N在圆O：x2＋y2＝9上，则下列说法正确的是(　　) A．点N到l的最大距离为8 B．若l被圆O所截得的弦长最大，则k＝ C．若l为圆O的切线，则k的取值为 D．若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3 (2)已知圆的方程为x2＋y2－12x－16y＝0，该圆过点(3,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． [解析]　(1)对于A选项，由题意可知，直线l过定点P(3,4)，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.当OP⊥l时，d＝|OP|＝＝5，当OP与直线l不垂直时，d<|OP|＝5.综上所述，d≤|OP|＝5，所以点N到l的最大距离为5＋3＝8，故A正确；对于B选项，若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，可得－3k＝－4，所以k＝，故B正确；对于C选项，若l为圆O的切线，则＝3，解得k＝，故C错误；对于D选项，若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，O到l的距离取最大值3，故D正确．故选ABD. (2)依题意，圆2＋2＝100的圆心M(6,8)，半径r＝10，点Q(3,4)与圆心M(6,8)的距离|QM|＝＝5<10，则点Q(3,4)在圆内，过点Q(3,4)及圆心的直线与圆相交，得最长弦长|AC|＝2r＝20，当QM⊥BD时，|BD|最短，过Q(3,4)的最短的弦长|BD|＝2＝2＝10，所以四边形ABCD的面积SABCD＝AC·BD＝×20×10＝100. [答案]　(1)ABD　(2)100 考向二　圆与圆的位置关系 　(1)(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　) A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5 (2)(多选)(2024·河北沧州模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是(　　) A．直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0 B．圆C1和圆C2共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为10 D．经过点C1，C2的所有圆中面积最小的圆的面积为π [解析]　(1)由题意可知：圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，半径r＝1，且a>0，因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4,0)为圆心，半径R＝a的圆，又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则|CM|＝r＋R或|CM|＝|r－R|，即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.故选D. (2)由题意得，圆C1：(x－1)2＋2＝4的圆心C1(1,1)，半径r1＝2，圆C2：2＋2＝9的圆心C2(4,5)，半径r2＝3，对于A，直线C1C2的方程为＝，即4x－3y－1＝0，所以A正确；对于B，因为|C1C2|＝＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得|C1C2|＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；对于C，因为|C1C2|＝5，所以|PQ|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝10，所以C正确；对于D，当|C1C2|为圆的直径时，该圆在经过点C1，C2的所有圆中面积最小，此时圆的面积为π2＝π，所以D正确．故选ACD. [答案]　(1)D　(2)ACD (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理． (2)两圆相交，公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长．　 【预测练2】 1．(2024·山东聊城二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：2＋2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(a，b)的是(　　) A．2x＋y－＝0 B．2x－y＋2＝0 C．x＋y－＝0 D．x－y＋2＝0 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1，半径r1＝1，圆C2：(x－a)2＋2＝4的圆心C2，半径r2＝2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以|C1C2|＝|r1－r2|，即＝1，所以点(a，b)的轨迹为圆x2＋y2＝1.对于A，圆心(0,0)到直线2x＋y－＝0的距离为＝<1，则该直线过点(a，b)，故A不符合；对于B，圆心(0,0)到直线2x－y＋2＝0的距离为＝<1，则该直线过点(a，b)，故B不符合；对于C，圆心(0,0)到直线x＋y－＝0的距离为＝1，则该直线过点(a，b)，故C不符合；对于D，圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离为＝>1，则该直线不过点(a，b)，故D符合；故选D. 答案 D 2．(多选)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：2＋2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是(　　) A．l1与l2关于直线y＝x对称 B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上 D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 解析　对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，则解得m－2n＋3＝0，所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；对于B，因为圆C的圆心在x轴上，则圆心为(a,0)，因为圆C与直线l1，l2都相切，所以r＝＝，解得a＝0或a＝6，当a＝0时，r＝＝；当a＝6时，r＝＝，故B错误；对于C，由圆C：2＋2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与直线l1，l2都相切，所以r＝＝，解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；对于D，由圆C：2＋2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，当a＝b时，由题意可知＝|a|，解得a＝b＝－或a＝b＝，当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 1．(2024·全国甲卷·理)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．4 D．2 解析　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)．设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以|AB|的最小值为2＝4，故选C. 答案　C 2．(2023·新课标Ⅰ卷)过点与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C. D． 解析　解法一　因为x2＋y2－4x－1＝0，即2＋y2＝5，可得圆心C，半径r＝， 过点P作圆C的切线，切点为A，B， 因为＝＝2， 则＝＝， 可得sin∠APC＝＝， cos∠APC＝＝， 则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sin＝sin∠APB＝. 解法二　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝，过点P作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得＝＝2，则＝＝＝，因为2＋2－2·cos∠APB＝2＋2－2·cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝. 解法三　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C，半径r＝，若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，则圆心到切点的距离d＝2<r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则＝，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得＝＝2，所以tan α＝＝，即＝，可得cos α＝，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，且α∈，则sin α>0，解得sin α＝.故选B. 答案　B 3．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 解析　计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断A、B选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断C、D选项的正误． 圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；如下图所示： 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD. 答案　ACD 4．(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 解析　由图可得，两圆外切，且均与直线l1：x＝－1相切．过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，可得l与l1交点为P.由切线定理得，两圆另一公切线l2过点P，设l2：y＋＝k(x＋1)，由点到直线距离公式可得＝1，解得k＝，即l2：y＝x－.另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线l3与l垂直，解得l3：y＝－x＋. 答案　x＝－1，或y＝x－，或y＝－x＋(答对其中之一即可) 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． 解析　设C到AB的距离为d，AB＝2， ∴S△ABC＝·2·d＝， ∴d＝或，若d＝＝， 则m＝±2；若d＝＝，则m＝±， ∴m＝2或－2或－或(填其中一个即可)． 答案　m＝2或－2或－或(填其中一个即可) 6．(2022·新高考全国Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析　因为kAB＝，所以AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以≤1，整理可得12a2－22a＋6≤0，解得≤a≤. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$