专题4 微专题12 统计与成对数据的统计分析（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题12　统计与成对数据的统计分析 命题点1　用样本估计总体 1．(2024·山东菏泽一模)已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是(　　) A．极差　　　　　　 B．平均数 C．中位数 D．方差 解析　样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从x1到x7，极差可能变化，故A错误；平均数为＝，可能变，故B错误；中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；方差为S2＝[(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2＋(x5－)2＋(x6－)2]，有可能变，故D错误．故选C. 答案　C 2．(2024·湖北武汉五调)已知一组数据1,2,3,4，x的上四分位数是x，则x的取值范围为(　　) A．{3} B．[2,3] C．[3,4] D．{4} 解析　在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1,2,3,4，x中第二大的数是x，所以3≤x≤4. 答案　C 3．(多选)(2024·山东菏泽三模)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　) A．m＝0.030 B．样本质量指标值的平均数为75 C．样本质量指标值的众数小于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为85 解析　对于A项，由题意知(0.010＋0.015＋m＋0.035＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，故A项正确； 对于B项，样本质量指标值的平均数为 55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5，故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是＝75<76.5，故C项正确； 对于D项，前3组的频率之和为(0.010＋0.015＋0.035)×10＝0.60，前4组的频率之和为0.60＋0.030×10＝0.90，故第75百分位数位于第4组，设其为t，则(t－80)×0.030＋0.60＝0.75，解得t＝85，即第75百分位数为85，故D项正确．故选ACD. 答案　ACD 4．规定一个学生数学成绩优秀的标志为连续5次数学考试成绩(满分150分)均不低于120分．现有甲、乙、丙三位学生连续5次数学考试成绩的记录数据(记录数据都是正整数)情况： ①甲学生5个数据的中位数为127，众数为120； ②乙学生5个数据的中位数为125，均值为127； ③丙学生5个数据中有一个数据是135，均值为128，方差为19.8. 则可以断定数学成绩优秀的学生为__________．(在“甲、乙、丙”中进行选择) 解析　因为甲学生的5个数据的中位数为127，众数是120，所以5个数据中有2个数据为120，有1个数据为127，有2个数据大于127，所以甲学生的5个数据均不小于120，所以甲学生数学成绩优秀；若乙学生的5个数据分别为118,119,125,136,137，满足中位数为125，均值为127，但其中有小于120的数据，故不能断定乙学生数学成绩优秀；丙学生的5个数据中有一个数据为135，设另外4个数据分别是a，b，c，d，因为5个数据的均值为128，方差为19.8，所以[(a－128)2＋(b－128)2＋(c－128)2＋(d－128)2＋(135－128)2]＝19.8，所以(a－128)2＋(b－128)2＋(c－128)2＋(d－128)2＝50(*)，假设a，b，c，d中存在小于120的数据，不妨设a<120，则(a－128)2>64，显然(*)式不成立，所以假设不成立，即a，b，c，d均不小于120，所以丙学生的5个数据均不小于120，所以丙学生数学成绩优秀．所以可以断定数学成绩优秀的学生为甲和丙． 答案　甲、丙 (1)解题的关键是理解统计图表的含义，从中提取数字信息，平均数、众数、中位数描述数据的集中趋势，方差与标准差描述数据的波动大小，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 ①＝； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．　 命题点2　回归分析 考向一　线性回归分析 　(2024·河南郑州第三次质量检测)下表是某地2017－2021年五年中当地酸雨区面积约占本土面积的百分比(yi%)： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2017—2021年年份代码xi与yi的样本相关系数(精确到0.01)； (2)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； (3)预测2026年该地酸雨区面积占本土面积的百分比． (回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝，＝－， iyi＝70.6，＝133.69) 附：样本相关系数r＝，≈6. [解析]　(1)由已知，可得＝＝3，＝＝5.1，由题可列下表： xi－ －2 －1 0 1 2 yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3 (xi－)(yi－)＝－5.9, ＝， ＝， r＝＝－≈－≈－0.98. (2)由小问(1)知，y与x的相关系数r≈－0.98，|r|接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． 由小问(1)知，＝＝＝－0.59，＝－＝5.1－×3＝6.87， 所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87. (3)令x＝10，则＝－0.59×10＋6.87＝0.97，故预测2026年该地酸雨区面积占本土面积的百分比为0.97%. 考向二　非线性回归分析 　(2024·山东日照二模)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为X，求X的最有可能的取值； (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率y，如下表所示： x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用y＝λecx作为回归方程．令z＝ln y，经计算得＝－0.642，≈0.02. (ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； (ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x～N，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率． 参考公式与数据：①ln 0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln 5.2≈1.66； ②经验回归方程＝x＋中，＝， ＝－. ③若随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4. 解析　(1)依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，P＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 由此可得P＝最大，即X＝1的可能性最大，故X最有可能的取值为1. (2)(ⅰ)依题意，y＝λecx两边取对数，得ln y＝cx＋ln λ，即z＝cx＋ln λ， 其中＝＝63， 由提供的参考数据，可知c＝0.02，又－0.642＝0.02×63＋ln λ，故ln λ≈－1.9， 由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故＝0.15×e0.02x，当x＝60时，＝0.15×e0.02×60≈0.498，即估计其绩效等级优秀率为0.498. (ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，μ≈＝63，σ≈s≈20，又≥0.78，即0.15×e0.02x≥0.78，可得0.02x≥ln 5.2，即x≥83.又μ＋σ＝83，且P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，由正态分布的性质，得P＝＝0.158 7，记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A，则P(A)＝P＝0.158 7，所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.158 7. 回归分析通常用来判断两组数据之间的关系，解此类题时要清楚： ①若两个变量呈现线性相关关系，可直接通过计算公式求回归方程； ②若两个变量呈现非线性相关关系，解题时可利用化归与转化思想，通过恰当的变换，将其转化为线性相关关系，再求回归方程； ③利用回归方程可以进行预测与估计，但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系，并不是函数关系，所以利用该方程求出的值是估计值，而不是一个确定的值．　 【预测练1】 1．某省为调查北部城镇2024年生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个城镇的人口(单位：万人)和该城镇2024年生产总值(单位：亿元)，计算得i＝100，i＝800，(xi－)2＝70，(yi－)2＝280，＝120. (1)请用相关系数r判断该组数据中y与x之间线性相关关系的强弱(若|r|∈[0.75,1]，相关性较强；若|r|∈[0.25,0.75)，相关性一般；若|r|∈[0,0.25)，相关性较弱)； (2)求y关于x的经验回归方程； (3)若该省北部某城镇2024年的人口约为5万人，根据(2)中的经验回归方程估计该城镇2024年的生产总值． 参考公式：相关系数r＝， 对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解析　(1)由题意知相关系数r＝＝＝≈0.857，因为y与x的相关系数r满足|r|∈，所以y与x之间具有较强的线性相关关系． (2)＝＝＝， ＝－＝－×＝， 所以＝x＋. (3)由(2)可估计该城镇2024年的生产总值＝×5＋＝40(亿元)． 2．(2024·浙江台州二模)某电动车公司为了扩大市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)关系如图所示，令νi＝ln xi(i＝1,2，…，5)，数据经过初步处理得： i i (xi－)2 (yi －)2 (νi －)2 (xi－) ·(yi－) (yi－) ·(νi－) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y＝bx＋a和②y＝nln x＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数． (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费)．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N，且满足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率．(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量) 附：①相关系数r＝， 经验回归方程＝x＋中，＝，＝－； ②参考数据：＝8.06，≈20.1，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8. 解析　(1)设模型①和②的相关系数分别为r1，r2. 由题意可得r1＝＝≈≈0.97， r2＝＝＝＝1. 所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好． (2)因为＝＝＝5， 又由＝i＝0.96，＝i＝8.8， 得m＝－5＝8.8－0.96×5＝4， 所以y＝5ν＋4，即回归方程为＝5ln x＋4. 当x＝6时，＝5ln 6＋4≈13， 因此当年广告费为6(百万元)时，产品的销售量大概是13(百万辆)． (3)净利润为200×(5ln x＋4)－200x－ξ(x>0)， 令g(x)＝200×(5ln x＋4)－200x－ξ， 所以g′(x)＝－200. 令g′(x)＝0，得x＝5， 可得y＝g(x)在(0,5)上为增函数，在(5，＋∞)上为减函数． 所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln 5＋4－5)－ξ≈1 400－ξ，由题意得：1 400－ξ>1 000，即ξ<400，P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3，即该公司年净利润大于1 000(百万元)的概率为0.3. 命题点3　独立性检测 　(2024·河北保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图． (1)根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数(中位数精确到0.01)； (2)我们规定得分80分以上(含80分)的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 [解析]　(1)强化训练后的平均成绩约为 55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4. 由于前三列概率之和为0.04＋0.16＋0.2＝0.4， 设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1， 解得x＝3.125，所以中位数约为83.13. (2)零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关． 补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则χ2＝＝8>7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关． 解决独立性检验问题的关键三关 (1)假设关：假设两个分类变量无关． (2)公式关：把相关数据代入独立性检验公式求χ2的观测值． (3)对比关：将求出的χ2的观测值与临界值比对，进行准确判断．　 【预测练2】 (2024·河南开封第三次质量检测)某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 (1)以题给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； (2)依据α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 解析　(1)由表中数据可得，选择A餐厅的概率为＝，选择B餐厅的概率为＝，设事件A1：甲、乙去A餐厅用餐，事件B1：甲、乙去B餐厅用餐，事件A2：甲、乙选择同一种套餐，事件A：甲、乙两名同学选择同一套餐用餐， P(A1)＝2，P(B1)＝2，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝， 则P(A)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝2×＋2×＝. 故甲、乙两人选择同一套餐用餐的概率为. (2)根据数据可得方案一的列联表： 男 女 合计 在A餐厅用餐 40 20 60 在B餐厅用餐 15 25 40 合计 55 45 100 零假设为H0：性别与选择餐厅之间无关， 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈8.249>7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以推断H0不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 1．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 解析　由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC. 答案　AC 2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析　对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n， 则n－m＝－＝， 因为没有确定2，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小， 例如：1,2,3,4,5,6，可得m＝n＝3.5； 例如1,1,1,1,1,7，可得m＝1，n＝2； 例如1,2,2,2,2,2，可得m＝2，n＝；故A错误； 对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差， 例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n＝(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7， 标准差s1＝ ＝， 4,6,8,10，则平均数m＝＝7， 标准差s2＝ ＝，显然>，即s1>s2；故C错误； 对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. 答案　BD 3．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200) 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg 之间 解析　对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100)，故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，(提醒：若a<x<b，c<y<d，求x－y的范围时，应先求出－y的范围)故C正确；对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确．(另解：由表知，小于1 000的数据远少于大于1 000的数据，所以100块稻田亩产量的平均值大于1 000 kg，所以D不正确)综上所述，故选C. 答案　C 4．(2024·全国甲卷·理)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解析　(1)第1步：填写列联表 填写列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 第2步：作出完整的2×2列联表 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 第3步：根据公式求K2 K2＝＝4.687 5. 第4步：根据K2的值判断 因为K2＝4.687 5>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)第1步：求出 由题意可知＝＝0.64， 第2步：求出p＋1.65的值 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 第3步：由与p＋1.65的大小关系判断 所以>p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 学科网（北京）股份有限公司 $$