专题4 微专题11 随机变量及其分布列（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题11　随机变量及其分布列 命题点1　超几何分布 　(2024·广东茂名一模)近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测． (1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率； (2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数X的分布列及其期望． [解析]　(1)记“检测出至少有1个零部件是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P＝1－3＝0.999. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2， P＝＝；P＝＝；P＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. (1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率． (2)破解此类题的关键是会利用特殊分布，即能够判定实际问题中的随机变量X服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率与期望可利用公式P(X＝m)＝(m＝0,1，…，min{n，M}且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，E(X)＝直接求得．　 【预测练1】 (多选)(2024·山东烟台三模)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则下列选项正确的是(　　) A．答对0道题和答对3道题的概率相同，都为B.答对1道题的概率为 C．答对2道题的概率为 D．合格的概率为 解析　设此人答对题的道数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故A、B错误，C正确．合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝，故D正确．故选CD. 答案　CD 命题点2　二项分布 　(2024·河北承德二模)某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1 000人的竞赛成绩(满分100分)数据，统计结果如下表所示： 成绩 区间 [30， 40) [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100] 频数 20 180 200 280 220 80 20 (1)求上表数据中的平均值(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)； (2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望． [解析]　(1)＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝35×0.02＋45×0.18＋55×0.2＋65×0.28＋75×0.22＋85×0.08＋95×0.02＝63.2. (2)随机抽取一位同学成绩不低于60分的频率为＝＝， 由题意可知，X～B，则X＝0,1,2,3， P＝3＝；P＝C2×＝；P＝C××2＝；P＝3＝； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝. (1)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列． (2)对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P＝Cpkn－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得．　 【预测练2】 (2024·广东韶关二模)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲、乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 解析　(1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A；“射击一次获得一等奖”为事件B；“射击一次获得二等奖”为事件C，所以有A＝B∪C，所以P(B)＝，P(C)＝×＝，所以P(A)＝P＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (2)获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0,1,2,3,4； 记“获得三等奖”为事件D，所以P(D)＝＋×＝， 所以P＝C04＝， P＝C13＝， P＝C22＝＝， P＝C31＝＝， P＝C40＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 显然X～B，E(X)＝4×＝1. 命题点3　正态分布 　(2024·广东深圳模拟)一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生的考试成绩应服从正态分布．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位，实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．记考生的成绩为X，且X～N，已知所有考生考试的平均成绩μ＝180，且360分及其以上的高分考生有30名． (1)求σ的值；(结果保留为整数) (2)该单位的最低录取分数约是多少？(结果保留为整数) (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当X～N时，令Y＝，则Y～N(0,1)； ②当Y～N(0,1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. [解析]　(1)依题意X～N，令Y＝，则Y～N(0,1)，所以可得P＝＝，P(X<360)＝1－＝0.985，即P≈0.985，又因为P(Y<2.17)≈0.985，则≈2.17，解得σ≈83. (2)由(1)可得X～N，设最低录取分数为x0，则P＝P＝＝，P＝1－≈0.85，＝1.04，所以x0≈266.32，即最低录取分数约为266分． (3)考生甲的成绩为286分>266分，所以甲能被录取，概率为P(X<286)＝P＝P(Y<1.28)≈0.900，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.900＝0.100，约有2 000×0.100＝200，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以甲能获得高薪． 利用正态曲线的对称性求概率的策略 (1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． (2)对于正态分布N，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： ①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； ②P(X<x0)＝1－P； ③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． (3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从正态分布N的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．　 【预测练3】 某同学骑自行车上学，第一条路线较短但拥挤，路途用时X1(单位：min)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长但不拥挤，路途用时X2(单位：min)服从正态分布N.若有一天他出发时离上课时间还有7 min，则P(X2≤7)－P(X1≤7)＝________.(精确到0.000 1) (参考数据：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)≈0.987 6， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 解析　因为X1～N(5,1)，即μ1＝5，σ1＝1，所以P(X1≤7)＝P(X1≤5)＋P(5<X1≤7)＝＋P(μ1－2σ1<X1≤μ1＋2σ1)≈＋×0.954 5＝0.977 25.因为X2～N，即μ2＝6，σ2＝0.4，所以P(X2≤7)＝P(X2≤6)＋P(6<X2≤7)＝＋P(μ2－2.5σ2<X2≤μ2＋2.5σ2)≈＋×0.987 6＝0.993 8，所以P(X2≤7)－P(X1≤7)≈0.993 8－0.977 25≈0.016 6. 答案　0.016 6 命题点4　现实生活情境中的决策问题 　(2024·福建泉州模拟)为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1－p(0<p<1)．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项；Ⅲ.随机选三个选项． (1)若p＝，且学生李华选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ [解析]　(1)记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0,2,3，P(X＝0)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×0＋×＝，P(X＝3)＝×0＋×＝， 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 则数学期望E(X)＝0×＋2×＋3×＝. (2)记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则ξ的所有可能取值为0,2,3， 则P(ξ＝0)＝p×＋(1－p)×＝， P(ξ＝2)＝p×0＋(1－p)×＝(1－p)， P(ξ＝3)＝p×＋(1－p)×0＝p， 所以E(ξ)＝0×＋2×(1－p)＋3×p＝； 记ε为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则ε的所有可能取值为0,4,6， 则P(ε＝0)＝p×＋(1－p)×＝p＋， P(ε＝4)＝p×0＋(1－p)×＝(1－p)， P(ε＝6)＝p×＋(1－p)×0＝p， 所以E(ε)＝0×＋4×(1－p)＋6×p＝2－p； 记η为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，η的所有可能取值为0,6， 则P(η＝0)＝p×1＋(1－p)×＝p＋， P(η＝6)＝p×0＋(1－p)×＝(1－p)， 所以E(η)＝0×＋6×(1－p)＝(1－p)． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则 解得<p<1，故p的取值范围为. 决策类问题的解题关注点 (1)关注均值：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平． (2)关注方差：方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据． (3)先后顺序：一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决策．　 【预测练4】 (2024·湖南长沙二模)某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品为次品．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场． (1)若质检员检测出一件次品，求该产品仅有一个电子元件是次品的概率； (2)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个．已知每个质检员每月的工资约为3 000元，该企业每月生产该产品n件(n∈N*)，请从企业获益的角度选择最优方案． 解析　(1)记“质检员检测出一件次品”为事件A，“该产品仅有一个电子元件是次品”为事件B. P(AB)＝××＋××＋××＝， P(A)＝1－××＝， 所以P(B|A)＝＝×＝. (2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，则X可取0,1,2,3，所以P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9 000 元． 若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计3 000＋×20n＝3 000＋n. 若3 000＋n＝9 000，则n＝＝892. 所以当n≥893且n∈N*时，选方案一； 当n≤892且n∈N*时，选方案二. 1．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2　　 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析　(数形结合法)　由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8，(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)所以C正确，D错误． 综上，选BC. 答案　BC 2．(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P＝1－P＝qi，i＝1,2，…，n，则E＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E. 解析　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以，P＝P＋P＝P·P＋PP ＝0.5×＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P＝pi，依题可知，P＝1－pi，则 P＝P＋P＝P· P＋PP， 即pi＋1＝0.6pi＋×＝0.4pi＋0.2，构造等比数列， 设pi＋1＋λ＝，解得λ＝－，则pi＋1－＝， 又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列， 即pi－＝×i－1，pi＝×i－1＋. (3)因为pi＝×i－1＋，i＝1,2，…，n， 所以当n∈N*时，E＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝＋， 故E(Y)＝＋. 3．(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解析　(1)第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率 设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)(ⅰ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2)． 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2)． 第3步：比较P甲与P乙的大小 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)． 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)． 第3步：比较E(X)与E(Y)的大小 E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)·(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0,3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)． 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛. 学科网（北京）股份有限公司 $$