专题1 微专题4 平面向量（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题4　平面向量 命题点1　三点共线问题 　(1)已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且满足＝，＝.F为直线DE与直线BC的交点．若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则μ－λ＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－ C. D． (2)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝，则△ABC与△APQ面积的比值为________． [解析]　(1)由题意，得＝＋＝＋.因为D，E，F三点共线，所以＝k＝k(＋)＝k，k为实数，所以＝＋k＝＋k.因为B，C，F三点共线，所以＝t＝t(－)，t为实数，所以＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t，所以所以所以＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以μ－λ＝，故选C. (2)设＝μ(0<μ≤1)，因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，由P，G，Q三点共线，得＋＝1，解得μ＝，所以＝＝＝. [答案]　(1)C　(2) 如图，平面向量中的“爪子模型”指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起来像爪子，故称之为爪子模型．解题关键点如下： ①确定共线的三点：找到平面内共线的三点A，P，B和任意一点O； ②写成规范形式：＝x＋y； ③应用结论：A，P，B三点共线⇔存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ).　 【预测练1】 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，M为BC中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B． C. D．1 解析　因为M为BC中点，所以＝(＋)，所以＝λ＋μ＝＋，因为O为△ABC的内心，且△ABC为直角三角形，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，设△ABC内切圆半径为r，则(3＋4＋5)r＝3×4，得r＝1，所以＝＋，所以所以所以λ＋μ＝. 答案　A 命题点2　平面向量数量积的运算及应用 　(1)(2024·山东泰安一模)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B． C. D．π (2)(2024·江西重点中学协作体第一次联考)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点 A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为(　　) A．[4,5] B．[5,7] C．[4,6] D．[5,8] [解析]　(1)因为(a＋b)⊥(3a－2b)，所以(a＋b)·＝0，则a·b＝2|b|2－3|a|2，又|a|＝|b|，则a·b＝2|b|2－32＝－|b|2， 所以cos〈a，b〉＝＝＝－，又0≤〈a，b〉≤π，则a与b的夹角为.故选C. (2)由题意可得，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1，当OM与正六边形的边垂直时，||min＝，当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2，所以||∈，则||2∈[6,8]，即·＝∈[5,7]．故选B. [答案]　(1)C　(2)B 求向量数量积的三种方法 (1)定义法：当已知向量的长度或夹角时，可利用此法求解． (2)坐标法：当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用此法求解． (3)若题设涉及向量的投影时，也可考虑利用数量积的几何意义求解．　 【预测练2】 1．(2024·河南五市第一次联考)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a方向上的投影向量为(　　) A.a B．a C.a D．a 解析　由|a＋b|＝＝＝＝4可得a·b＝，而b在a方向上的投影向量为a＝a＝a＝a.故选C. 答案　C 2．(2024·湖南长郡中学模拟)如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则(　　) A.＝ B.·>0 C.＋＝2 D.＋＋＝0 解析　不妨设||＝||＝||＝1，则||＝||＝，对于A项，显然与方向不一致，所以≠，故A项错误； 对于B项，由图知∠AOB是钝角，则·＝||·||cos∠AOB<0，故B项错误； 对于C项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得＝，即＋＝2，故C项正确； 对于D项，由＋＋＝＋＝2＋，而与显然不共线，故＋＋≠0.即D项错误．故选C. 答案　C 命题点3　平面向量中的最值(范围)问题 　(1)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·的最大值为(　　) A. B． C．1 D． (2)在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上两个动点，且满足MN＝，则·的取值范围为________． [解析]　(1)∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，∴a·b＝，∴·＝a·b－a·c－b2＋b·c＝－1－·c＝－－|a－b|·|c|cos〈a－b，c〉＝－－cos〈a－b，c〉，∵cos〈a－b，c〉∈[－1,1]，∴·∈，即·的最大值为. (2)如图，以B为坐标原点，边BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,2)，B(0,0)，C(2,0)，直线AC的方程为x＋y－2＝0.设M(t,2－t)，则N，且0≤t≤1，∴＝，＝(t＋1,1－t)，∴·＝t＋＝22＋，由于0≤t≤1，∴当t＝时，·取最小值，当t＝0或t＝1时，·取最大值2.故·∈. [答案]　(1)B　(2) 平面向量中最值(范围)问题的求解思路 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值(范围)问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．　 【预测练3】 1．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪ B. C.∪ D. 解析　cos〈a，b〉＝＝＝，0<<1， ⇒ ∴λ<且λ≠－2. 答案　A 2．设点O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，P是线段AB上的一个动点，＝λ.若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　＝λ⇒＝＋λ＝，＝－＝＝(λ－1，1－λ)，＝λ＝，·≥·⇔(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)⇒2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋.因为P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.故选B. 答案　B 命题点4　极化恒等式的应用 　已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________． [解析]　如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2·，由极化恒等式得·＝2－2＝2－，因此当P为OC的中点，即||＝0时，(＋)·取得最小值－. [答案]　－ 1．极化恒等式a·b＝ (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则 ①·＝(||2－||2)(平行四边形模式)； ②·＝||2－||2(三角形模式)． 2．极化恒等式可将平面向量的数量积运算转化为两个平面向量的长度运算，使不可度量的数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系．　 【预测练4】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________. 解析　连接EG，FH交于点O(图略)，则·＝2－2＝1－2＝. ·＝2－2＝1－2＝. ∴·＋·＝. 答案　 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　解法一　(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 解法二　(坐标法)　因为a＝(0,1)，b＝(2，x)，所以 b－4a＝(2，x)－4(0,1)＝(2，x)－(0,4)＝(2，x－4)．因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 答案 D 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A B． C. D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，(方法技巧：已知向量的和(差)的模，往往两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数量积问题，从而与条件中的已知向量建立联系)即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，(提醒：b2＝|b|2)解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B. 答案　B 3．(2024·全国甲卷·理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B、D错误． 答案　C 4．(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B. 答案　B 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝，b＝.若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析　因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝，由⊥可得，·(a＋μb)＝0，即·＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 答案 D 6．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.·3＝· D.·＝· 解析　A：＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，正确； B：＝(cos α－1，sin α)，＝(cos β－1，－sin β)，所以||＝＝＝＝＝2，同理||＝＝2，故||，||不一定相等，错误； C：由题意得：·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，·＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，正确； D：由题意得：·＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，·＝cos β×cos(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cos αcos2β－sin αsin βcos β－sin α·sin β·cos β－cos αsin2β＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝cos(α＋2β)，错误；故选AC. 答案　AC 学科网（北京）股份有限公司 $$