专题1 微专题3 解三角形（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题3　解三角形 命题点1　正、余弦定理的应用 　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. [解析]　(1)第1步：利用余弦定理求C 由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. 第2步：将C代入已知等式求B ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)第1步：求A 由(1)得A＝π－B－C＝， 第2步：利用正弦定理得出a，c的关系 由正弦定理＝，得＝， ∴a＝c. 第3步：利用三角形面积公式求c ∴△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2. (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．　 【预测练1】 (多选)(2024·山东烟台三模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C为钝角，且c－b＝2bcos A，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＝b(b＋c)　　　　 B．A＝2B C．0<cos A< D．0<sin B< 解析　因为c－b＝2bcos A，所以由余弦定理得c－b＝2b·，因此c(c－b)＝b2＋c2－a2，整理得a2＝b(b＋c)，故A选项正确；因为c－b＝2bcos A，所以由正弦定理得sin C－sin B＝2sin Bcos A，即sin(A＋B)－sin B＝2sin Bcos A，所以sin Acos B－sin Bcos A＝sin B，所以sin(A－B)＝sin B，由于C是钝角，所以A－B＝B，即A＝2B，故B选项正确；由于A＝2B，且C>90°，所以0°<A<60°，0°<B<30°，因此1>cos A>，0<sin B<，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是ABD. 答案　ABD 命题点2　三角函数与解三角形 　设函数f(x)＝sin－cos2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B为锐角，且f＝－，c＝2a，b＝，求△ABC的面积S. [解析]　(1)因为f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin －cos 2x－＝sin 2x－，令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为f＝sin－＝－，所以sin＝0.因为B∈，所以2B＋∈，则2B＋＝π，解得B＝.由余弦定理得cos B＝＝＝，解得a＝，所以c＝2，所以△ABC的面积S＝acsin B＝××2×＝. 解此类题的常用方法是“化简转化法”，即先用诱导公式、同角关系、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”，然后再用正、余弦定理对三角形的边、角进行互化．　 【预测练2】 已知函数f(x)＝sin2－sin ·cos －. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2＝accos B－bc，求f(B)的取值范围． 解析　(1)f(x)＝－sin x－cos x＝－sin.令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(k∈Z)． (2)由a2－b2＝accos B－bc＝ac·－bc，得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝，因为0<A<π，所以A＝.f(B)＝－sin，因为0<B<，<B＋<，则<sin ≤1，所以－1≤f(B)<－，所以f(B)的取值范围为. 命题点3　解三角形的实际应用 　(1)(2024·江苏南京六校联考)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　) A．10 米　　　　　　 B．20 米 C. 米 D． 米 (2)(2024·山东临沂一模)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 [解析]　(1)依题意可得如下图形： 在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠BCA＝75°－30°＝45°，AB＝40，所以由正弦定理得：＝，解得BC＝20， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， 所以CD＝BC·tan 30°＝20×＝，则红豆树的高度为米．故选D. (2)依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝， 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ， 即182＝182＋142－2×18×14cos θ， 解得cos θ＝， 所以cos θ＝2cos2－1＝， 又θ为锐角，解得cos ＝(负值舍去)， 在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos ＝182＋142－2×18×14×＝100， 所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里．故选D. [答案]　(1)D　(2)D 解三角形实际问题的步骤 　 【预测练3】 (2024·广东二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是(　　) A．27.75 m B．27.25 m C．26.75 m D．26.25 m 解析　如图，设钟楼的高度为PQ， 由△MKE∽△PQE，可得EQ＝＝， 由△NTF∽△PQF，可得FQ＝＝， 故EQ－FQ＝－＝a， 故PQ＝＝＝＝26.25(m)， 故选D. 答案 D 1．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)解法一(辅助角法) 由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1， 所以sin＝1. 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. 解法二(同角三角函数的基本关系法) 由sin A＋cos A＝2，得cos A＝2－sin A， 两边同时平方，得3cos2A＝4－4sin A＋sin2A， 则3(1－sin2A)＝4－4sin A＋sin2A， 整理，得1－4sin A＋4sin2A＝0， 所以(1－2sin A)2＝0，则sin A＝. 因为0<A<π，所以A＝或A＝. 当A＝时，sin A＋cos A＝2成立，符合条件； 当A＝时，sin A＋cos A＝2不成立，不符合条件．故A＝. (2)由bsin C＝csin 2B，得bsin C＝2csin Bcos B，由正弦定理，得bc＝2cbcos B，所以cos B＝，因为0<B<π，所以B＝. C＝π－(A＋B)＝，所以sin C＝sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2，c＝＝＝＋. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2，设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$