专题1 微专题2 三角函数的图象与性质（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

微专题2　三角函数的图象与性质 命题点1　三角函数的图象及其变换 　(1)(2024·湖北黄冈模拟)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，若－是f(x)的一个零点，则φ的可能取值为(　　) A.　　　　　　　 B． C. D． (2)(2024·重庆三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若f(θ)＝，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． [解析]　(1)依题意，g(x)＝cos＝sin，则ω＝2kπ－，解得ω＝4k－1，k∈N*；又cos＝0，即得cos＝0，k∈N*，则得－kπ＋＋φ＝＋mπ，m∈Z，k∈N*，即φ＝(m＋k)π＋，k∈N*，m∈Z.故选B. (2)由图可知A＝1，f(0)＝sin φ＝，由－<φ<可知φ＝，故f(x)＝sin，又由图知sin＝0，故由图得ω＋＝2kπ＋π，k∈Z⇒ω＝k＋，k∈Z　①， 由图可知－0<⇒T＝>⇒ω<　②， 又ω>0，结合①②可得ω＝， 故f(x)＝sin， 所以f(θ)＝sin＝. 故f＝sin＝sin＝sin＝cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－＝. [答案]　(1)B　(2)D (1)在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． (2)根据图象求三角函数解析式的方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用如下两种方法： ①由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ； ②代入图象中已知点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．　 【预测练1】 1．将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B． C. D． 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin. 因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)． 因为ω>0，所以ωmin＝.故选C. 答案　C 2．(2024·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，D(5,0)，B(2，A)，BC⊥CD，则f(4)＝(　　) A．4　　 B． C．2　　 D．4 解析　由图象可知＝5－2＝3，则T＝12，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，由f(5)＝Asin＝0，得＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝Asin，C，因为BC⊥CD，＝，＝，所以·＝－10＋＝0，解得A＝2(负根舍去)，所以f(x)＝2sin，所以f(4)＝f(0)＝＝，故选B. 答案　B 命题点2　三角函数的单调性、周期性、对称性 　(1)(2024·山东泰安一模)已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，f＝0，f(x2)＝1，若|x1－x2|的最小值为，且f＝，则f(x)的单调递增区间为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)(多选)(2024·江西红色十校联考)已知函数f(x)＝sin－2cos2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)图象的对称中心为(k∈Z) B．f＋1是奇函数 C．f(x)max＝1 D．f(x)在区间上单调递减 [解析]　(1)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，又f(x1)＝0，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，所以＝，即T＝2π，又ω>0，所以ω＝＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)，又f＝，所以sin＝，即cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.故选B. (2)因为f(x)＝sin－2cos2x＝－cos 2x－＝－2cos 2x－1，对于A选项，由2x＝kπ＋(k∈Z)可得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，A错误；对于B选项，f＋1＝－2cos2x－－1＋1＝－2cos＝－2sin 2x，所以f＋1为奇函数，B正确；对于C选项，f(x)max＝2－1＝1，C正确；对于D选项，当<x<时，<2x<，y＝2cos 2x单调递减，所以f(x)在区间上单调递增，D错误．故选BC. [答案]　(1)B　(2)BC (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先把三角函数式化简成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，然后求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把(ωx＋φ)看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要把ω化为正数． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x的图象的对称轴和对称中心求解． 利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．　 【预测练2】 1．(2024·山东淄博一模)已知函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期T＝2π B．函数f(x)的图象关于点中心对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 解析　对于A，函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π，A错误； 对于B，由f＝sin＝1≠0，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误； 对于C，由f＝sin＝0≠1，得函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；对于D，当x∈时，2x－∈，而正弦函数y＝sin x在上单调递增，因此函数f(x)在区间上单调递增，D正确．故选D. 答案 D 2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间 上是单调函数，则ω＝________，φ＝________. 解析　由题意，y轴为函数f(x)图象的对称轴，所以f(0)＝sin φ＝±1，又0≤φ≤π，所以φ＝.由f(x)的图象关于点M对称，得f＝0，即sin＝cos＝0.又ω>0，所以ω＝kπ＋，所以ω＝k＋，k∈Z.当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin＝cos x，在区间上单调递减，当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin＝cos 2x，在区间上单调递减，当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin＝cos ωx，在区间上不是单调函数，综上，ω＝或2，φ＝. 答案　或2　 命题点3　三角函数的性质与图象的综合应用 　(1)(多选)(2024·江西名校联合测评)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线y＝f(x)向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝2，φ＝ B．直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴 C．若f(x)在(－a，a)上单调递增，则0<a≤ D．曲线y＝f(x)与直线y＝x－有且仅有5个交点 (2)(多选)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是(　　) A．f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点 B．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 [解析]　(1)由题意得＝＝(T为f(x)的最小正周期)，故ω＝2.将f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得y＝2sin＝2sin的图象，由该函数图象关于y轴对称，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，故φ＝，故f(x)＝2sin.由f(x)的解析式知，A正确．因为f＝2sin＝－2，为f(x)的最小值，所以直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴，B正确．易知f(x)在上单调递增，故0<a≤，C错误．如图，直线y＝x－与曲线y＝f(x)均过点，且直线与曲线均关于该点中心对称，对于y＝x－，当x＝时，y＝<f＝2，当x＝时，y＝>f＝2，由对称性可知曲线y＝f(x)与直线y＝x－有且仅有5个交点，D正确．故选ABD. (2)已知f(x)＝sin(ω>0)在[0,2π]上有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以A正确，B不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以D正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在上单调递增，所以C正确．故选ACD. [答案]　(1)ABD　(2)ACD 三角函数的图象和性质综合问题的求解策略 先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，将ωx＋φ视为一个整体，借助正弦函数的图象和性质解决相关问题(如单调性、对称性、零点、极值点等)，强化数形结合思想、转化与化归思想、整体代换思想的应用．　 【预测练3】 1．(多选)(2024·山东青岛一模)已知函数f(x)＝cos x＋，则(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．f(x)图象关于直线x＝π对称 C．f(x)的值域为 D．关于x的方程f(x)＝a在区间[0,2π]上有实根，则所有根之和组成的集合为{π，2π，4π} 解析　对于A：当x∈时，f(x)＝cos x＋sin ＝－2sin2＋sin ＋1， 令t＝sin ，f(t)＝－2t2＋t＋1，对称轴t＝， 所以t≤时，函数f(t)单调递增，当x＝时，t＝sin ＝sin＝>，故f(x)在区间上不是单调函数，A错误． 对于B：f(2π－x)＝cos(2π－x)＋＝cos x＋＝cos x＋＝f(x)， f(x)图象关于直线x＝π对称，B正确； 对于C：当x∈[0,2π)时，∈[0，π)，f(x)＝cos x＋sin ＝－2sin2＋sin ＋1， 令t＝sin ，f(t)＝－2t2＋t＋1，对称轴t＝，0≤f(t)≤， 当x∈[2π，4π]时，∈[π，2π]，f(x)＝cos x－sin ＝－2sin2－sin ＋1， 令t＝sin ，f(t)＝－2t2－t＋1，对称轴t＝－，0≤f(t)≤，故C正确； 对于D：x∈[0,2π]，f(t)的图象如下，因方程f(x)＝a在区间[0,2π]上有实根，可知有一解，二解，结合图形可知所有根之和组成的集合为{π，2π，4π}，D正确． 答案　BCD 2.(多选)如图，一个半径为3 m的筒车，按逆时针方向匀速旋转．已知盛水筒P离水面的最大距离为5.2 m，旋转一周需要60 s．以P刚浮出水面时开始计算时间，P到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin(ωt＋φ)＋K，t∈[0,60]，下列说法正确的是(　　) A．K＝2.2 B．ω＝ C．sin φ＝ D．P离水面的距离不小于3.7 m的时长为20 s 解析　∵旋转一周需要60 s，∴ω＝＝，故B正确；如图，∵半径为3 m，P离水面的最大距离为5.2 m，∴A＝3，K＝5.2－3＝2.2，故A正确；∵t＝0时，P刚浮出水面，∴3sin φ＋2.2＝0，sin φ＝－，故C错误；由d≥3.7得3sin＋2.2≥3.7，即sin≥，∴≤t＋φ≤，故5－φ≤t≤25－φ，∴P离水面的距离不小于3.7 m的时长为25－φ－＝20(s)，故D正确．综上，选ABD. 答案　ABD 命题点4　含绝对值的三角函数性质 　(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin x＋|sin 2x|，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于x＝对称 C．f(x)在[0,2π]上有四个零点 D．f(x)的值域为 (2)(多选)已知函数f(x)＝＋，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的最小正周期为π C．函数f(x)的值域为 D．设函数g(x)＝sin(ω>0,0≤φ≤π)与函数f(x)的奇偶性相同，且函数g(x)在(0,3)上单调递减，则ω的最小值为2 [解析]　(1)对于A，函数y＝2sin x的最小正周期为2π，函数y＝|sin 2x|的最小正周期为，所以函数f(x)＝2sin x＋|sin 2x|的最小正周期为2π，故A正确．对于B，f(－x＋π)＝2sin(－x＋π)＋|sin 2(－x＋π)|＝2sin x＋|sin(－2x)|＝2sin x＋|sin 2x|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确．对于C，当0≤x≤时，f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x＋2sin xcos x＝2sin x(1＋cos x)，易知此时f(x)有唯一零点x＝0；当<x≤π时，f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，易知此时 f(x)有唯一零点x＝π；当π<x≤时，f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x＋2sin xcos x＝2sin x(1＋cos x)，易知此时f(x)无零点；当<x≤2π时，f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，易知此时f(x)有唯一零点x＝2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故C错误．对于D，当x＝时，y＝2sin x取得最小值－2，此时y＝|sin 2x|恰好取得最小值0，故f(x)的最小值为－2；由C的分析可知，当x∈(π，2π]时，f(x)≤0，当x∈[0，π]时，f(x)≥0，而f(x)关于直线x＝对称，故可考虑0≤x≤时，f(x)＝2sin x＋sin 2x的取值情况，f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2＋2cos x＝4cos2x＋2cos x－2，令f′(x)＝0，解得cos x＝－1(舍)或cos x＝，则x＝，易知当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f＝2sin＋sin＝＋＝.综上，函数f(x)的值域为，故D正确． (2)函数f(x)为偶函数，不是奇函数，故A错误；由于f(x)＝，其最小正周期为π，故B正确；显然f(x)＝的值域为，故C正确；由于f(x)为偶函数，从而g(x)＝sin也为偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z.又0≤φ≤π，故φ＝，从而g(x)＝cos x(ω>0)．由g(x)在(0,3)上单调递减，可知＝×＝ω≥3，所以ω的最小值为3，故D错误． [答案]　(1)ABD　(2)BC 带绝对值符号的三角函数问题的解题顺序可以归纳为：①分析奇偶性、周期性；②去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值(部分试题在判断周期性、单调性、对称性时可特值否定)．　 【预测练4】 1．关于函数f(x)＝sin|x|，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为0 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)是周期为π的周期函数 D．函数f(x)在上单调递减 解析　f(x)＝sin|x|＝最小值为－，所以A不正确；因为f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以B不正确；因为f＝sin＝1，f＝sin＝－1，所以f≠f，故π不是f(x)的周期，故C不正确；当x<0时，f(x)＝－sin x，函数f(x)在上单调递减，又因为⊆，所以函数f(x)在上单调递减，故D正确． 答案 D 2．(多选)已知函数f(x)＝|cos x|＋cos|x|，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)在[0，π]上单调递减 C．f(x)是奇函数 D．f(x)的图象关于直线x＝π对称 解析　易知y＝f(x)的定义域为R，且f(x＋2π)＝|cos(x＋2π)|＋cos|x＋2π|＝|cos x|＋cos|x|＝f(x)，所以f(x)为周期函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝－cos x＋cos x＝0，不是单调函数，故B错误；显然f(－x)＝f(x)，所 以f(x)为偶函数，故C错误；由于f(2π－x)＝|cos(2π－x)|＋cos|2π－x|＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故D正确． 答案　AD 1．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析　(数形结合法)　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 答案　C 2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　(直接法)　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC. 答案　BC 3．(2023·全国甲卷·理)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过与两点， 作出f(x)与y＝x－的部分大致图象如下， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f＝－sin＝－1，y＝×－＝－<－1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝<1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝>1； 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 答案　C 4．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析　由题意得f＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin. 选项A：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝可解得极值点； 选项C：x＝时2x＋＝3π，f(x)＝sin 3π＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D：f′(x)＝2cos， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x. 答案　AD 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 故答案为[2,3)． 答案　[2,3) 6．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，ω(x2－x1)＝，∴ω＝4，f＝sin＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－π＋kπ(k∈Z)，k＝2时，φ＝－π，f(x)＝sin满足条件． ∴f(π)＝sin＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$