专题1 微专题1 三角恒等变换（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

专题一　三角函数、解三角形与平面向量 微专题1　三角恒等变换 命题点1　给值求值 　(1)(2024·安徽合肥三模)已知2sin α＝1＋2cos α，则sin＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． (2)(2024·湖北七市二模)若α∈，tan α＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D． [解析]　(1)由2sin α＝1＋2cos α得 4＝1，即sin＝， 所以sin＝sin ＝cos 2＝1－2sin2＝，故选D. (2)由条件等式可知，＝， 整理为3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，则sin α＝， 又α∈，故cos α＝＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝1－2sin2α＝， 所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝.故选D. [答案]　(1)D　(2)D 给值求值的方法 (1)直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式．　 (2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan ，1＝sin 等，1，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用． (3)角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝＝，＝－，α＋β＝－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．　 【预测练1】 1．(2024·安徽池州二模)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，则tan＝(　　) A．7 B．－7 C. D．－ 解析　因为sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，故sin2β＋cos2β＋2sin βcos β＝，故2sin βcos β＝－<0，而β∈(0，π)，故β∈，故sin β>0，cos β<0，而2＝，故sin β－cos β＝，所以sin β＝，cos β＝－，故tan β＝－，故tan＝＝－，故选D. 答案 D 2．(2024·山东烟台三模)若＝－，则sin(α－2β)＝(　　) A．－ B．0 C． D．1 解析　因为＝－，所以＝－＝，即＝，则＝，故2sin(α－β)cos β＝sin α.所以2sin(α－β)cos β＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β，则sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝0，即sin[(α－β)－β]＝sin(α－2β)＝0.故选B. 答案　B 命题点2　给值求角 　(2024·吉林长春模拟)已知cos 2α＝－，sin(α＋β)＝－，α∈，β∈，则α－β＝(　　) A. B． C. D．或 [解析]　因为α∈，所以2α∈[0，π]， 所以sin 2α＝＝ ＝， 因为α∈，β∈， 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝＝ ＝， 又由α－β＝2α－(α＋β)知 cos(α－β)＝cos＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝－，又因为α－β∈，所以α－β＝.故选B. [答案]　B 给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．　 【预测练2】 1．(2024·黑龙江双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sin β＝sin，则α＋β的值为(　　) A. B． C. D． 解析　因为cos2α－sin2α＝，cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝，因为α∈，所以cos α＝，sin α＝，所以tan α＝. 由3sin β＝sin，得3sin＝sin， 即3 sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)·cos α＋cos(α＋β)sin α， 所以sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝2tan α＝. 又0<α＋β<，所以α＋β＝.故选D. 答案 D 2．(2024·甘肃张掖模拟)已知α∈，若∃β∈(0,2π)，使sin(α＋β)＋cos(α＋β)－＝(α－)2成立，则β＝________. 解析　由sin(α＋β)＋cos(α＋β)－＝(α－)2，可得sin＝(α－)2＋，设f(β)＝sin，g(α)＝(α－)2＋. 依题意，－≤f(β)≤ ，而g≥ ， 故f＝g＝，由g＝，α∈，可得 α＝，又由f＝sin＝，可得sin＝1，因为β∈，则＋<＋β＋<＋，<＋<π，<＋<3π，故β＋＋＝，解得β＝－. 答案　－ 命题点3　范围与最值 　(1)若锐角α，β满足sin 2αsin 2β＝3，则tan(α－β)的最大值是(　　) A．－ B． C． D． (2)若函数f(x)＝·cos x＋1，则f(x)在区间上的最大值与最小值之和为________． [解析]　(1)因为sin 2αsin 2β＝3·，所以4sin αcos αsin βcos β＝12cos2αsin2β.因为α，β是锐角，所以tan α＝3tan β，所以tan(α－β)＝＝＝.因为tan β>0，所以＋3tan β≥2，当且仅当tan β＝时等号成立，所以tan(α－β)的最大值是. (2)因为f(x)＝·cos x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin.由x∈，得2x－∈.当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值1，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.故最大值与最小值之和为3. [答案]　(1)D　(2)3 三角恒等变换中的范围与最值一般有两类：第一类是利用三角函数的性质求出函数的最值；第二类是利用基本不等式、求导等方法求出最值．　 【预测练3】 1．已知函数f(x)＝sin x＋cos2x，x∈R，且|f(x)－m|≤2在内恒成立，则m的取值范围是(　　) A．[－1,2] B． C． D．[0,2] 解析　f(x)＝sin x＋cos2x＝sin xcos x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，由x∈，得2x＋∈，sin∈， 由|f(x)－m|≤2在内恒成立，得－2≤f(x)－m≤2恒成立，即f(x)－2≤m≤f(x)＋2恒成立，∴则－1≤m≤，所以m的取值范围为.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间上的最小值为(　　) A. B． C．3 D．4 解析　依题意，g(x)＝，则h(x)＝＋＝＝＝＝＝，当x∈时，x－∈，令cos＝t∈，则h(x)＝＝，而函数y＝t，y＝－在上都是增函数，则函数y＝t－在上单调递增，函数y＝在上单调递减，则当t＝1时，ymin＝，所以所求最小值为.故选B. 答案　B 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A.　　　　　　 B． C. D． 解析　sin2＝(1－cos α)＝·＝＝2，∴sin ＝，故选D. 答案 D 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin＝，cos αsin β＝，则cos＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝.故选B. 答案　B 3．(2024·全国甲卷·理)已知＝，则tan＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C. D．1－ 解析　根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故选B. 答案　B 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C. D．3m 解析　由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β＝－3m，故选A. 答案　A 5．(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． 解析　因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－. 答案　－ 6．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________. 解析　由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z,2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$