开篇 二、数形结合思想（word教参）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

二、数形结合思想 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，数形结合思想的应用包括以下两个方面： 以形助数 以数助形 　　借助形的直观性来阐明数之间的联系，以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法 　　借助数的精确性来阐明形的某些属性，以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合 　　由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化 应用一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题． 　(2024·山东菏泽三模)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是________． [解析]　当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2；当0<x<1时，f(x)＝ln(1－x)，f′(x)＝－<0，其在(0,1)上单调递减，且f′(0)＝－1. 作出f(x)的图象，如图，易知a的取值范围是. [答案]　 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．　 1．(2024·湖南长沙三模)已知函数f(x)＝2sin x＋2|cos x|，若f(x)＝λ在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，则λ的取值范围为(　　) A．(2，4) B．(2,2) C．(2,4) D．(2,2)∪(2，4) 解析　f(x)＝2sin x＋2|cos x|＝ 作出f(x)的图象，如图所示， 结合图形可知，若f(x)＝λ在[0,2π]上有且仅有4个不等的实数根，则2<λ<4且λ≠2，即λ的取值范围为(2,2)∪(2，4)．故选D. 答案 D 应用二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题 向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；注意灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等． 　(多选)(2024·湖南邵阳第二次联考)已知复数z1，z2满足：|z1|＝1，|z2|＝|z2－2－2i|(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的有(　　) A．|(1－i)z1|＝2 B.＝ C．|z1－z2|的最小值为－1 D．|z1－z2|的最大值为＋1 [解析]　设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则|z1|＝＝1，即x2＋y2＝1， 它表示以原点为圆心，半径为1的圆； 设z2＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z2|＝|z2－2－2i|，得＝， 即a＋b－2＝0，它表示一条直线； 对于选项A：|(1－i)z1|＝|1－i||z1|＝，故选项A错误； 对于选项B：＝＝，故选项B正确； 对于选项C和D：|z1－z2|表示圆x2＋y2＝1上的点与直线x＋y－2＝0上的点的连线段的长度， 该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为－1；该距离无最大值(直线上的点可离圆上的点无穷远)；故选BC. [答案]　BC 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．　 2．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] 解析　如图，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,4)，设P(x，y)，则x2＋y2＝1，点P在圆x2＋y2＝1上，易知＝(3－x，－y)，＝(－x,4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－，又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上的点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以 ·∈，即·∈[－4,6]，故选D. 答案 D． 应用三　几何动态问题中的数形结合 对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解． 　(多选)(2024·江西名校联盟)已知点A(4,1)，F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为C的右支上一点，则(　　) A．|PA|＋|PF1|<6 B．|PA|＋|PF2|≥3 C．|PA|－|PF1|≤－ D．|PA|－|PF2|>－ [解析]　由题意可得F1(－3,0)，F2(3,0)，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PA|＋|PF2|＋2＝|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝5，所以|PA|＋|PF2|≥3，当且仅当A，P，F1共线时等号成立，故A错误，B正确；|PA|－|PF1|＝|PA|－|PF2|－2≤|AF2|－2＝－，当且仅当P，A，F2共线且F2在P，A两点中间时，等号成立，此时P点在第四象限，故C正确；对于D，因为||PA|－|PF2||≤|AF2|＝，所以－≤|PA|－|PF2|≤，当且仅当P，A，F2共线且F2在P，A两点中间时，|PA|－|PF2|＝，此时点P位于第四象限．当且仅当P，A，F2共线且A在P，F2两点中间时，|PA|－|PF2|＝－，此时点P位于第一象限，因为kAF2＝＝1，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，而1<，所以P，A，F2共线时，点P只能位于第四象限，所以－<|PA|－|PF2|≤，故D正确．故选BCD. [答案]　BCD 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时会使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．　 3．(2024·安徽合肥模拟)已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，点F，A为椭圆＋＝1的右焦点与上顶点，则∠PFA最小值为(　　) A．15°　　 B．30° C．45°　　 D．75° 解析　由题意知，F(2,0)，A(0,2)， 且圆在椭圆内，当FP与圆相切时，∠PFA取得最小值， 此时∠OFP＝30°，∠OFA＝45°， 所以∠PFA＝∠OFA－∠OFP＝45°－30°＝15°， 所以∠PFA的最小值为15°. 故选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$