专题6 微专题19 利用导数研究函数性质（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题

1．曲线y＝f(x)＝在点(1，b)处的切线方程为kx－y＋6＝0，则k＝(　　)

A．－1　　　　　　　 B．－

C.  D．1

解析　由切点(1，b)在曲线上，得b＝　①；由切点(1，b)在切线上，得k－b＋6＝0　②；对曲线求导得f′(x)＝，∴f′(1)＝＝k，即4－a＝9k　③，联立①②③，解得Error!故选A.

答案　A

2．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析　f′(x)＝－e－xcos x－e－xsin x＝－e－x·＝－e－xsin，当x∈时，e－x>0，sin>0，则f′(x)<0；当x∈时，e－x>0，sin<0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.

答案  D

3．(2024·江西名校联盟)已知函数f(x)＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析　f′(x)＝3x2－2ax＋1，是开口向上的二次函数，因为函数f(x)＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则f′(x)≥0，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤，所以a的取值范围是.故选B.

答案　B

4．(2024·江西赣州模拟)已知a＝，b＝，c＝ln 3，则(　　)

A．a<b<c  B．b<a<c

C．b<c<a  D．c<b<a

解析　令f(x)＝(x>0)，f′(x)＝＝，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因为e<3，所以f(e)>f(3)，即>，所以可得＝>ln 3，故b>c，因为a－b＝－＝＝＝>0，所以a>b，故a>b>c.故选D.

答案  D

5．(2024·湖南邵阳第二次联考)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数．若f(1)＝e，且f′(x)＋ex<f(x)在R上恒成立，则不等式f(x)<(2－x)ex的解集为(　　)

A．(－∞，2)  B．(2，＋∞)

C．(－∞，1)  D．

解析　设函数g(x)＝＋x，可得g′(x)＝＋1＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，由f(x)<ex，可得f(x)＋xex<2ex，即＋x<2＝＋1，可得g(x)<g(1)，所以x>1，即不等式f(x)<ex的解集为.故选D.

答案  D

6．(2024·江苏扬州第二次调研)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为(　　)

A．a>－2  B．a>－

C．a<－2  D．a<－

解析　由函数f(x)＝eax＋2x，可得f′(x)＝aeax＋2，若a≥0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，无极值点；故a<0，令f′(x)＝aeax＋2＝0，解得x＝ln，当x>ln时，f′(x)>0，

当x<ln时，f′(x)<0，故x＝ln是f(x)＝eax＋2x的极值点，

由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，

∴ln>0⇒ln<0⇒0<－<1，解得a<－2.故选C.

答案　C

二、多项选择题

7．定义：设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋图象的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有(　　)

A．a＝，b＝－1

B．函数f(x)既有极大值又有极小值

C．函数f(x)有三个零点

D．y＝f(x)在区间(1,2)上单调递减

解析　f(x)＝ax3＋bx2＋，f′(x)＝3ax2＋2bx，f″(x)＝6ax＋2b，令f″(x)＝6ax＋2b＝0，得x＝－，因为函数f(x)＝ax3＋bx2＋图象的对称中心为(1,1)，因此Error!解得a＝，b＝－1，A正确；则f(x)＝x3－x2＋，f′(x)＝x2－2x＝x，则当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，于是f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，D正确；函数f(x)既有极大值f(0)＝，又有极小值f(2)＝，B正确；函数f(x)的极小值f(2)＝>0，由三次函数的性质知，f(x)只有一个零点，C错误．故选ABD.

答案　ABD

8．(2024·江苏徐州适应性测试)已知函数f(x)＝ex，a∈R，则下列说法正确的是(　　)

A．当a＝－1时，f(x)有唯一零点

B．当a>时，f(x)是减函数