专题6 微专题18 基本初等函数与函数模型（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　　　　　　 B．5 C. D． 解析　对2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝4log4＝，故选C. 答案　C 2．设a＝log58，b＝21.3，c＝0.71.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析　因为1＝log55<log58<log525＝2，所以1<a<2，因为21.3>21＝2，所以b>2，又因为0<0.71.3<0.70＝1，所以0<c<1，所以c<a<b，故选D. 答案 D 3．已知实数x，y满足：x＋2x＝2,2y＋log2y＝1，则x＋2y＝(　　) A．1 B．2 C. D． 解析　∵2y＋log2y＝1，则2y＋log2y＋1＝2，即2y＋log2＝2.令log2＝t，则2y＝2t，t＋2t＝2.令f(x)＝x＋2x，显然f(x)为增函数，且f(x)＝f(t)＝2，可知x＝t＝log2，从而x＋2y＝t＋2t＝2.故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝lg，则下列说法中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞) D．若f(x)在上单调递增，则实数a的取值范围是(－3，＋∞) 解析　对于A选项，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，由x2－1>0得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A选项错误；对于B选项，由A选项可知，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，值域为R，函数无最小值，所以B选项错误；对于C选项，当a＝2 时，f(x)＝lg(x2＋2x－3)，函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，所以C选项错误；对于D选项，若f(x)在上单调递增，此时函数y＝x2＋ax－a－1在区间上单调递增，故－≤2，且22＋2a－a－1>0，解得a≥－4且a>－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)，所以D选项正确．故选D. 答案 D 5．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．已知电磁波在空间中自由传播时损耗公式为L＝32.4＋20(lg D＋lg F)，其中D为传输距离(单位：km)，F为载波频率(单位：MHz)，L为传输损耗(单位：dB)．若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的(　　) A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍 解析　设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则L′＝L＋60，F′＝100F,60＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D－20lg F＝20lg ＋20lg ，则20lg ＝60－20lg ＝60－40＝20，即lg ＝1，从而D′＝10D，故传输距离变为原来的10倍． 答案　C 6．若3a＋log3a＝27b＋3log27b，则(　　) A．a<3b B．a>3b C．a>b2 D．a<b2 解析　设f(x)＝3x＋log3x(x>0)，则f(x)为增函数． 因为3a＋log3a＝27b＋3log27b＝33b＋log3b，所以f(a)－f(3b)＝3a＋log3a－(33b＋log33b)＝33b＋log3b－(33b＋log33b)＝log3<0， 所以f(a)<f(3b)，所以a<3b，所以A正确，B错误； f(a)－f(b2)＝3a＋log3a－(3b2＋log3b2)＝33b＋log3b－(3b2＋log3b2)＝33b－3b2－log3b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝24>0，此时f(a)>f(b2)，有a>b2，当b＝3时，f(a)－f(b2)＝－1<0，此时f(a)<f(b2)，有a<b2，所以C、D错误．故选A. 答案　A 7．(2024·江西鹰潭模拟)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若10(n)＝(k∈N*，k≤2 024)，则k的值为(　　) A．674 B．675 C．676 D．677 解析　10(n)＝P10(k)＋P10(k＋1)＋…＋P10(2 024)＝lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg ，＝＝lg 3，故＝3，即k＝675.故选B. 答案　B 8．已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋a－1＝0的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为(　　) A. B． C. D． 解析　当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)ex，由此可知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，xex→0，在(－1,0]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝－；当x>0时，f(x)在(0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(1)＝0，如图所示． 由f2(x)＋af(x)＋a－1＝0， 得[f(x)＋a－1][f(x)＋1]＝0， 即f(x)＝1－a或f(x)＝－1，由f(x)与y＝－1有两个交点，则f(x)＝1－a必有四个零点， 即－<1－a<0，得a∈.故选C. 答案　C 二、多项选择题 9．若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则(　　) A.＋＝ B．＋＝ C．a＋b>4c D．ab>4c2 解析　令2a＝3b＝6c＝m，则a＝log2m，b＝log3m，c＝log6m，∴＝logm2，＝logm3，＝logm6， ∴＋＝logm2＋logm3＝logm6＝，A选项错误，B选项正确；a＋b＝c＝c>c＝4c，C选项正确；＝＋＝>，∴ab>4c2，D选项正确．故选BCD. 答案　BCD 10．科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 解析　有题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e－0.05t，当θ＝30，则30＝10＋e－0.05t1，即e－0.05t1＝，－0.05t1＝ln ，则t1＝20ln ，其是关于θ1的单调递增函数，当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28， 当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20≈30，则28≤t1≤30，故B正确； 当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误； 当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误，故选BC. 答案　BC 11．定义运算：①对∀m∈R，m⊗0＝0⊗m＝m；②对∀m，n，p∈R，⊗p＝p⊗＋m⊗p＋n⊗p.若f(x)＝ex－1⊗e1－x，则(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)在R上是增函数 C．函数f(x)的最小值为2 D．f<f 解析　对于A，依题意，f(x)＝ex－1⊗e1－x＝(ex－1⊗e1－x)⊗0＝0⊗(ex－1·e1－x)＋ex－1⊗0＋e1－x⊗0＝e0＋ex－1＋e1－x＝ex－1＋e1－x＋1，故f(1－x)＝e－x＋ex＋1，f(1＋x)＝ex＋e－x＋1，则f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；对于B，f(x)＝ex－1＋e1－x＋1＝ex－1＋＋1，由y＝u＋＋1，u＝ex－1(u>0)复合而成．当x<1时，u＝ex－1∈(0,1)且单调递增，此时y＝u＋＋1单调递减，故f(x)在上单调递减；当x>1时，u＝ex－1∈且单调递增，此时y＝u＋＋1单调递增，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，根据单调性知f(x)在x＝1时取得最小值，f(1)＝e0＋e0＋1＝3，故C错误；对于D，因为1<2<2，根据单调性得f<f，故D正确．故选AD. 答案　AD 三、填空题 12．(2024·上海三模)若m∈R，f(x)＝则满足f(m－2)≥f(m＋3)的m的最大值为________． 解析　当x>0时，－x<0，即f(－x)＝＝2x＝f(x)，当x<0时，－x>0，即f(－x)＝2－x＝＝f(x)，于是，在(－∞，＋∞)上，f(－x)＝f(x)都成立，即f(x)为偶函数．由指数函数的单调性可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此，不等式f(m－2)≥f(m＋3)等价于|m－2|≥|m＋3|，即2≥2，解得m≤－.故m的最大值为－. 答案　－ 13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的取值范围是__________． 解析　函数f(x)＝当x≥1时，令ln x＋1＝2，解得x＝e，此时函数y＝f(x)－2有且只有1个零点e，则当x<1时，函数y＝f(x)－2必有2个零点，即x2＋4x＋a＝2在x<1时有2个根．设g(x)＝x2＋4x＋a－2＝2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上有2个零点．g(x)的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝－2，故g(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(－2)，要使g(x)在(－∞，1)上有2个零点，需g(1)>0，且g(－2)<0，得－3<a<6. 答案　(－3,6) 14．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝______；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________． 解析　函数f(x)＝loga(a>0且a≠1) 在[－2,0]上的值域是[－1,0]，当a>1时，f(x)＝loga在[－2,0]上单调递减， ∴此时无解；当0<a<1时，f(x)＝loga在[－2,0]上单调递增， ∴ 解得a＝.综上，a＝. 故g(x)＝x＋m－3. ∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限， ∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1， 即实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 答案　　 学科网（北京）股份有限公司 $$