专题6 微专题17 函数的图象与性质（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝|x|　　　　 B．y＝|x|－x2 C．y＝|x|－1 D．y＝x－ 解析　对于A，易知y＝|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，易知y＝|x|－x2是偶函数，当x>0时，y＝x－x2＝－2＋，其在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，易知y＝|x|－1是偶函数，当x>0时，y＝x－1，其在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 对于D，易知y＝x－是奇函数，故D错误．故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝(　　) A. B．3 C．－ D．－ 解析　因为f(x)＝为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，所以－a＋b＝2，－8a＋b＝9，解得a＝－1，b＝1，此时f(x)＝为偶函数，满足题意，则2a＋b＝＋1＝，故选A. 答案　A 3．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)的图象关于点(－1,0)中心对称，当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析　将f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数f(x)的图象，因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)中心对称，所以f(x)的图象关于原点中心对称，所以f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.故选C. 答案　C 4．(2024·陕西商洛模拟)函数y＝xcos x－sin x的部分图象大致为(　　) 解析　当x＝0时，y＝0，故排除选项C； 当x＝π时，y＝－π<0，故排除选项B； 令f(x)＝xcos x－sin x，则f(－x)＝－xcos x＋sin x＝－f(x)在上恒成立， ∴函数y＝xcos x－sin x在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，故排除选项D，A选项正确．故选A. 答案　A 5．已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝2log2x－1，则f(2 025)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(2＋x)＝f(1＋1＋x)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(2＋2＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2log21－1＝－1.故选B. 答案　B 6．已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)<0的解集为(　　) A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) C．(－3，－1) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) 解析　解法一　由题意知，偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，又f(x－2)<0，f(1)＝0，所以由偶函数的性质，可得f(|x－2|)<f(1)，所以|x－2|<1，解得1<x<3，所以不等式f(x－2)<0的解集为(1,3)，故选A. 解法二　因为f(x)是偶函数，f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，所以f(－1)＝0，作出f(x)的大致图象如图所示，由图象可知f(x－2)<0，即－1<x－2<1，解得1<x<3，所以不等式f(x－2)<0的解集为(1,3)，故选A. 答案　A 7．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则＝(　　) A．116 B．115 C．114 D．113 解析　因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(x＋2)＋f(x)＝2，所以f(－x＋2)＋f(x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，所以f(x)的周期为4×|2－1|＝4.因为f(0)＝2，f(x＋2)＋f(x)＝2，所以令x＝0得f(2)＝0，令x＝1得f(1)＋f(3)＝2，令x＝2得f(2)＋f(4)＝2，又115＝28×4＋3，所以＝28×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝28×4＋2＝114，故选C. 答案　C 8．(2024·浙江金丽衢十二校第二次联考)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)(x1<x2)，则x2－x1的取值范围为(　　) A．[e，＋∞) B．[4－2ln 2，＋∞) C．[4－2ln 2，e] D．[e－1，＋∞) 解析　由题意可知x1＋1＝ln x2，即x1＝2ln x2－2，所以x2－x1＝x2－2ln x2＋2. 由图象可得x2∈，设h(x)＝x－2ln x＋2，x∈. 则h′(x)＝1－＝，x∈. 令h′(x)＝＝0，则x＝2， 当x∈时，h′(x)>0，当x∈时，h′(x)<0，所以h(x)＝x－2ln x＋2在(0,2)上单调递减，在(2，e]上单调递增． 所以h(x)在x＝2时取得最小值h(2)＝4－2ln 2，可得x2－x1∈[4－2ln 2，＋∞)．故选B. 答案　B 二、多项选择题 9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 解析　函数f(x)＝所以f(x)的值域为{0,1}，故A不正确；f(x)的定义域为R，故B正确；∀x∈R，f(x)∈{0,1}，所以f(f(x))＝1，故C正确；对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数，若x是无理数，则x＋T是无理数，所以任取一个不为零的有理数T，都有f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 10．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f－b为奇函数．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　) A．函数f(x)的值域为(0,2] B．函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形 C．函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称 D．若函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(xi＋yi)＝4 048 解析　对于A，显然f(x)的定义域为R,2x>0，则0<<2，即函数f(x)的值域为(0,2)，A错误；对于B，令h(x)＝f(x＋1)－1＝－1＝－1＝，h(－x)＝＝＝－h(x)，即函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，因此函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，f(－x＋1)－1＝－[f(x＋1)－1]，即f(1－x)＋f(1＋x)＝2，两边求导得－f′(1－x)＋f′(1＋x)＝0，即f′(1－x)＝f′(1＋x)，因此函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，由函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B知，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2 024个交点关于点(1,1)对称，因此(xi＋yi)＝i＋i＝1 012×2＋1 012×2＝4 048，D正确．故选BCD. 答案　BCD 11．(2024·山东日照三模)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＝2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，则(　　) A．f(9)＝2f(7) B．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤6，则m的取值范围是 C．若方程f(x)＝m(x－5)恰有三个实数根，则m的取值范围是 D．函数f(x)在区间(2n－2,2n](n∈N*)上的最大值为an，若存在n∈N*，使得λan<2n－7成立，则λ∈ 解析　函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＝2f(x)，即f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，所以当x∈(2,4]时，x－2∈(0,2]，即f(x)＝2(x－2)(4－x)＝－2x2＋12x－16；当x∈(4,6]时，x－2∈(2,4]，即f(x)＝－4x2＋40x－96；…；当x∈(2n－2,2n](n∈Z)时，f(x)＝－2n－1x2＋2n(2n－1)x－2n－1·2n·(2n－2)＝－2n－1x2＋2n(2n－1)x－2nn(2n－2)．作出函数f(x)的图象，如图所示．对于A，由f(x＋2)＝2f(x)，令x＝7，得f(9)＝2f(7)，故A正确；对于B，对任意x∈(－∞，6]，都有f(x)≤4，当x∈(6,8]时，f(x)≤8，令f(x)＝－8x2＋112x－384＝6，解得x1＝<7，x2＝>7，又f(7)＝8，所以若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤6，则m的取值范围是，故B正确；对于C，易知当m＝－1时，y＝f(x)的图象与直线y＝m(x－5)有3个交点，故C错误；对于D，f(x)＝－2n－1x2＋2n(2n－1)x－2nn(2n－2)，当x∈(2n－2,2n](n∈N*)时，f(x)的最大值an＝2n－1×＝2n－1，若存在n∈N*，使得λan<2n－7成立，则λ<max，令bn＝，则bn＋1－bn＝，所以b1<b2<b3<b4<b5>b6>b7>…，又b5＝，所以λ∈，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 12．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝________. ①f(x)＝f(2－x)；②当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减． 解析　由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，故可考虑二次函数，二次函数的图象应开口向下，如f(x)＝－(x－1)2；也可考虑绝对值函数，如y＝－|x－1|等等． 答案　－(x－1)2(答案不唯一，－|x－1|也可) 13．(2024·湖北襄阳五中阶段考)已知函数f(x)＝(x－1)3＋1，且f(2a)＋f(b)＝2(a>－1，b>0)，则＋的最小值是________． 解析　∵y＝x3在R上单调递增且为奇函数，∴y＝x3的图象有且仅有一个对称中心(0,0)，∴f(x)＝(x－1)3＋1在R上单调递增，其图象有且仅有一个对称中心(1,1)，又f(2a)＋f(b)＝2(a>－1，b>0)，∴2a＋b＝2，则2(a＋1)＋b＝4，∴＋＝[2(a＋1)＋b]＝≥4＋2 ＝2，当且仅当＝，即a＝0，b＝2时，等号成立，∴＋的最小值是2. 答案　2 14．(2024·江西名校联盟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，若f(1)＝，则f(2 025)＝________. 解析　因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)　(*)，因为f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)　①，所以f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)　②，①＋②得f(x＋3)＝－f(x)，则f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数．在(*)中，令x＝1，则f(0)＝f(2)，在①中，令x＝0，则f(2)＝f(1)－f(0)，所以2f(2)＝f(1)，又f(1)＝，所以f(2)＝，f(3)＝f(2)－f(1)＝－＝－，所以f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$