专题10.4 排列与组合（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.4 排列与组合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 排列数的化简、计算】 1 【题型2 组合数的化简、计算】 2 【题型3 相邻、不相邻排列问题】 4 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型5 定序问题】 7 【题型6 涂色问题】 9 【题型7 组合计数问题】 11 【题型8 分组分配问题】 13 【题型9 排列组合综合】 15 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 排列数的化简、计算】 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由排列数公式计算即可. 【解答过程】因为， 所以，所以或（舍去）． 故选：B. 2．（25-26高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 3．（25-26高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【解题思路】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可. 【解答过程】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 4．（25-26高二下·新疆哈密·阶段检测）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【解答过程】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 【题型2 组合数的化简、计算】 5．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B. 6．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 【答案】C 【解题思路】根据组合数的性质可得或，解方程即可. 【解答过程】由， 可得或， 解得或5. 故选：C. 7．（25-26高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B 【解题思路】根据组合数的性质即可求解. 【解答过程】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5. 故选：B. 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据组合数的性质列方程，解方程即可得，再根据排列数与组合数的公式直接可得解. 【解答过程】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或， 故. 故选：C. 【题型3 相邻、不相邻排列问题】 9．（2026·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【解答过程】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 10．（2026·贵州安顺·二模）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【解题思路】利用插空法可求不同的排列方法. 【解答过程】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 11．（2026·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解题思路】利用不相邻问题插空，特殊元素法间接去求解即可. 【解答过程】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 12．（2026·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（    ） A．96种 B．60种 C．48种 D．36种 【答案】D 【解题思路】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得. 【解答过程】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊. 第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， 第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， 第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法. 则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种. 故选：D. 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 13．（2026·河南·模拟预测）有含甲在内的5名记者分别去2026美加墨世界杯A，B，C三个场馆进行现场报道．若每个场馆至少安排一名记者，且甲必去A馆，则不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．30种 C．32种 D．50种 【答案】D 【解题思路】根据分类加法计数原理，根据特殊元素甲和A馆，根据Ａ馆人数进行分类，利用分组分配方法计算． 【解答过程】分两类：①A馆只安排甲，另外4个人分配在B，C两馆，第一种情况每馆2人，有种方法， 第二种情况B，C两馆分别为3人和1人，有种方法； A馆安排2人以上，将4人分成三组，再分配到3个馆，有种． 不同的安排方法有种． 故选：D. 14．（2026·海南三亚·一模）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（    ） A．10 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【解题思路】先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列，结合排列数的计算公式，即可求解. 【解答过程】根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列， 可得不同的站法有种. 故选：B. 15．（2026·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【解题思路】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解． 【解答过程】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 16．（2026·陕西安康·模拟预测）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【解题思路】分同一家庭两个孩子在同一条船上或在两条不同船上，依照分类、分步计数原理可得答案. 【解答过程】由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或有一个家庭的两名孩子在两条不同船上. 若两户家庭孩子均在同一船上，则有种方法， 再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法， 则剩下的两名家长坐第3条船，有1种方法， 则此种情况共有种乘坐方案； 若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船有种情况， 则剩下的那两个孩子安排到第三条船，有1种方法， 对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种方法， 对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况， 再安排剩下的家长选择其余两船坐下，有2种情况， 则此种情况下有种乘坐方案； 故满足题意的乘坐方案有种， 故选：D. 【题型5 定序问题】 17．（25-26高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【解题思路】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【解答过程】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 18．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【解题思路】先从后排6人中抽出两名同学，再根据定序问题求解即可. 【解答过程】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 19．（2026·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有___________种不同的站法．（用数字作答） 【答案】56 【解题思路】利用排列中的定序问题的处理方法求解． 【解答过程】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变， 所以共有种不同站法， 故答案为：56． 20．（25-26高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【解题思路】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【解答过程】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 【题型6 涂色问题】 21．（25-26高二下·广东·阶段检测）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【解题思路】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 22．（25-26高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 【答案】D 【解题思路】根据题意，分选三种颜色与选四种颜色讨论，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【解答过程】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D. 23．（2026·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案． 【答案】96 【解题思路】根据使用颜色的数量进行分类计算即可． 【解答过程】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种， 故答案为：96． 24．（2026·贵州黔西南·一模）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有__________种．    【答案】216 【解题思路】应用分步计数原理结合排列组合数计数求解. 【解答过程】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法． 再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类： ①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种； ②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种． 可得，故不同的涂法有216种. 故答案为：. 【题型7 组合计数问题】 25．（2026·陕西·模拟预测）某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【解题思路】首先分别计算从男生中选7人的选法种数和从女生中选11人的选法种数，然后根据分步乘法计数原理，将这两个结果相乘即可得到总的选法种数. 【解答过程】根据题意，从男生中选7人的选法种数为： . 从女生中选11人的选法种数为： . 所以总的选法种数为：. 故选：B. 26．（2026·辽宁·三模）9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，则不同的取法有（   ）种． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，将取书转换为放书，再由每次只能从其中一摞的最上面取一本确定每摞书的顺序唯一确定，再由组合数即可得到结果. 【解答过程】对取出的书进行编号，记取出的第一本书为，第二本书为，依次类推，最后取出的书为， 则不同的取法对应这个编号的书在书堆中的排列， 因此不同的取法数目等于不同的排列数目， 即将本书分成三摞的摆放方法数， 又因为每次只能从其中一摞的最上面取一本， 故每摞书的编号从上往下依次增大， 因此再摆放时每摞书的顺序唯一确定， 从本书中选三本放在第一摞，有种方法， 再从剩下的本书中选三本放在第二摞，有种方法， 最后剩下的本书中选三本放在第三摞，有种方法， 综上，共有种方法. 故选：B. 27．（2026·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 28．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 【答案】D 【解题思路】要从后排7人中抽2人调整到前排，因要保持其他人的相对顺序不变，故可采用两次插空法，即将其中1人先在前排3人的4个空中插入，再将另一人在前排已经排好的4人的5个空中插入即可. 【解答过程】从后排7人中选2人共有种选法，这2人插入前排3人中且保证前排人的顺序不变， 则可先从3人中的4个空挡插入1人，有种插法；余下的1人则要插入前排4人的5个空挡中，有种插法， 则不同调整方法的种数是种． 故选：D. 【题型8 分组分配问题】 29．（2026·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解题思路】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【解答过程】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责一个任务，则先在中选取一个任务分给甲， 然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙､丙两人， 有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：C. 30．（2026·安徽·模拟预测）2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 【答案】B 【解题思路】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【解答过程】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 31．（2026·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【解题思路】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可得答案. 【解答过程】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 32．（2026·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【解题思路】将6种美食平均分成3组，再排到3天去品尝即可. 【解答过程】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为种. 故选：A. 【题型9 排列组合综合】 33．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【解题思路】利用分步乘法计数原理列式计算. 【解答过程】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 故选：C. 34．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数，结合隔板法及排列组合综合问题列式求解. 【解答过程】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 故选：B. 35．（2026·山东潍坊·模拟预测）两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先算出8张卡片排成一排的总方案数，再结合捆绑法、插空法算出恰有3对相邻的方案数，根据古典概型即可求解. 【解答过程】由题意，两位小朋友共有8张卡片， 由于相同数字的卡片不可区分，所以总的排列方案有种， 从4个数字中选出3个数字，每个数字的两张卡片捆绑在一起，形成相邻对，有种， 再将其进行排列，有种， 3个捆绑单元排好后产生4个空隙，将剩下的2张相同卡片插入不同的空隙中，有种， 综上，这8个数字恰有3对相邻的方案共有种， 所以这8个数字恰有3对相邻的概率为. 故选：D. 36．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 【答案】B 【解题思路】先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果. 【解答过程】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1， 所以，又因为， 所以总方案数， 若A、B安排在同一天：共分组方式， 又因为三个组分配到3天，共种排列， 因此A、B同天的方案数， 所以，即不同的安排方案种数为72. 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）计算的值是（    ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：B. 2．（2026·新疆·模拟预测）从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（   ） A．210 B．195 C．194 D．184 【答案】C 【解题思路】直接计算可得结果. 【解答过程】用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况， . 故选：C． 3．（2026·安徽六安·模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（   ） A．72 B．88 C．100 D．144 【答案】C 【解题思路】先确定甲，再安排剩下人，按照将剩下人分三组和分两组讨论，结合分类加法与分步乘法计数原理可得解. 【解答过程】第一步，安排甲种； 第二步，安排剩下四人；①人分三组种；②人分两组种； 综上：种. 故选：C. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【解题思路】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【解答过程】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 故选：D. 5．（2026·重庆九龙坡·三模）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 【答案】B 【解题思路】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【解答过程】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 6．（2026·四川·三模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 【答案】C 【解题思路】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可. 【解答过程】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法， 所以不同坐法种数共有种． 故选：C. 7．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出从点出发沿实线走到点的情况数，再求出从点出发沿实线走到点经过点C的情况数，两个作商即可. 【解答过程】从点到点一共有（一共六步需要向下走两步），点到点一共有（一共四步向右走一步）， 则根据分步计数原理得从A点出发沿实线走到点经过点的情况数为；如图连接， 则从点A点出发沿实线走到点又经过的情况为：， 同理经过另外一条不连上的线情况为， 则从点A点出发沿实线走到点的情况为：故距离最短的走法中，经过点的概率为． 故选：C. 8．（2026·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【解答过程】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 二、填空题 9．（2026·湖南永州·模拟预测）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为____________． 【答案】 【解题思路】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种数，综合可得结果. 【解答过程】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 故答案为：. 10．（2026·四川成都·模拟预测）甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有____________种. 【答案】420 【解题思路】利用分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的计算方法求解即可. 【解答过程】甲、乙选看的电影中最多有1部相同包括： （1）两人选看的电影均不相同，不同选法有（种）； （2）两人选看的电影有且仅有一部相同，不同选法有（种）， 不同的选法总共有（种）. 故答案为：420. 11．（2026·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【解题思路】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【解答过程】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 12．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解题思路】用分类加法计数原理和“捆绑法”求解即可. 【解答过程】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起， 然后让3个白球排列后形成4个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让3个白球排列后形成4个空位， 从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的3个空位选出2个空位放不相邻的红球即可，此时有， 所以共有种. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·辽宁·模拟预测）从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解题思路】先求出排法总数及女生与男生甲同列时的排法为，做差得出女生与男生甲不同列排法即可. 【解答过程】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为， 当女生与男生甲同列时，排法总数为， 所以女生与男生甲不同列排法总数为. 故选：C. 2．（2026·河南南阳·模拟预测）有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（    ） A．8 B．144 C．120 D．280 【答案】D 【解题思路】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按指定顺序放入，再列式计算即得. 【解答过程】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入， 相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法， 由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为. 故选：D. 3．（2026·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率. 【解答过程】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类： （1）正面数字为偶数的卡片翻一次： ①掷3次骰子1次偶数2次奇数：种，其中恰有一次点数为2有27种， ②掷3次骰子2次同一个偶数1次奇数：种， ③掷3次骰子3次同一个偶数：3种， （2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次：种，其中恰有一次点数为2有6种， 所以骰子恰有一次点数为2的概率为. 故选：C. 4．（2026·江苏南京·二模）现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有（ ） 种. A．54 B．55 C．56 D．58 【答案】A 【解题思路】由题设条件有，设，则，还有一个数为，则，，讨论并结合排列数，即可求所有情况数. 【解答过程】由，得， 则，不妨设，则， 还有一个数为，显然，，对于任意取值，都有如下情况： 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 所以一共有种. 故选：A. 二、填空题 5．（2026·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为_____________．（用数字作答） 【答案】969 【解题思路】根据给定条件，利用隔板法列式求出正整数解个数即可. 【解答过程】点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则 当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为； ，当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为， 所以三棱锥内部的整点的个数为 . 故答案为：969. 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．已知该市，四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为_____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 【答案】 【解题思路】根据题意分析，可先选两校分别在号位和号位同有两人，共有种方法，其中号位有种安排方法，再根据这6种排法，分前排同校两人间有两人或前排同校两人间有一人两类情况，最后考虑同一学校的位置上两人又可互换位置，故得方法总数为，利用古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】由题意得8名学生任意坐有种不同坐法. 号位有3个不同学校的学生， 则前排号位有同一学校的两名学生，后排号位也有余下学校的两名学生， 其他两校的两生，在前、后两排各有一人.先选两校分别在号位和号位同有两人，共有种方法. 在号位的同校两人不相邻，不同校的两人先排序有种排法， 再在3个空中选两个位给同校两人有种排法，所以号位有种安排方法. 这6种排法中，若前排同校两人间有两人（有2种情况，如)，则后排有3种排法； 若前排同校两人间有一人（有4种情况，如)，则后排有4种排法， 此时有种不同安排方法满足条件， 同一学校的位置上两人又可互换位置，故总共有种不同的坐法， 使同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生， 故所求概率为， 故答案为：. 三、解答题 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人，将擅长足球的运动员进行插空，结合插空法可求得结果； （2）对两项运动都擅长的人中所选的人数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果. 【解答过程】（1）根据题意，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人， 将人排成一排，先将只擅长篮球的人进行排序， 再将擅长足球的人插入只擅长篮球的人所形成的个空位中的个， 所以，擅长足球的运动员互不相邻的排法有种． （2）根据题意，分种情况讨论： ①选出的人中没有两项都擅长的运动员，有种选法， ②从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， ③从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， 故有种选法． 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1）144； （2）140； （3）378. 【解题思路】（1）先将2名女生捆绑在一起，然后先排两端，再全排即可； （2）用总的选法减去男生甲与女生乙都没有参加的选法即可； （3）分是否含0讨论即可得解. 【解答过程】（1）将2名女生排成一排有种排法， 再从4名男生中选2名男生排在两端，有种排法， 最后，将2名女生看成一个元素和剩余2名男生全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，总的排法有种. （2）10名同学中选取4人，共有种选法， 男生甲与女生乙都未参加的选法有种选法， 所以男生甲与女生乙至少有1人参加的选法有种选法. （3）不含0时：可以组成没有重复数字的四位数有个； 含0时：第一步，偶数的取法有种，奇数的取法有种，共种； 第二步，从不为0的3个数字中选择1个排在首位，其余3个数字全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，共有个 所以，一共可以组成个没有重复数字的四位数. 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【解题思路】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【解答过程】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 故选：C. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解答过程】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C. 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有___________种选法. 【答案】6 【解题思路】结合组合知识求解即可. 【解答过程】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为___________． 【答案】 【解题思路】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【解答过程】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有___________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 【答案】24；112 【解题思路】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【解答过程】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 排列与组合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 排列数的化简、计算】 1 【题型2 组合数的化简、计算】 2 【题型3 相邻、不相邻排列问题】 2 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 2 【题型5 定序问题】 3 【题型6 涂色问题】 4 【题型7 组合计数问题】 5 【题型8 分组分配问题】 5 【题型9 排列组合综合】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 排列数的化简、计算】 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 3．（25-26高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 4．（25-26高二下·新疆哈密·阶段检测）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【题型2 组合数的化简、计算】 5．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 7．（25-26高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 相邻、不相邻排列问题】 9．（2026·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 10．（2026·贵州安顺·二模）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 11．（2026·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 12．（2026·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（    ） A．96种 B．60种 C．48种 D．36种 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 13．（2026·河南·模拟预测）有含甲在内的5名记者分别去2026美加墨世界杯A，B，C三个场馆进行现场报道．若每个场馆至少安排一名记者，且甲必去A馆，则不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．30种 C．32种 D．50种 14．（2026·海南三亚·一模）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（    ） A．10 B．12 C．16 D．24 15．（2026·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 16．（2026·陕西安康·模拟预测）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【题型5 定序问题】 17．（25-26高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 18．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 19．（2026·重庆·模拟预测）有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有___________种不同的站法．（用数字作答） 20．（25-26高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答） 【题型6 涂色问题】 21．（25-26高二下·广东·阶段检测）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 22．（25-26高二下·河北保定·期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 23．（2026·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案． 24．（2026·贵州黔西南·一模）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有__________种．    【题型7 组合计数问题】 25．（2026·陕西·模拟预测）某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 26．（2026·辽宁·三模）9本不同的书平均分成三摞，如图所示，现将这9本书全部取走，且每次只能从其中一摞的上面取一本，则不同的取法有（   ）种． A． B． C． D． 27．（2026·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 28．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 【题型8 分组分配问题】 29．（2026·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 30．（2026·安徽·模拟预测）2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 31．（2026·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 32．（2026·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【题型9 排列组合综合】 33．（2026·山西忻州·模拟预测）某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 34．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 35．（2026·山东潍坊·模拟预测）两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）计算的值是（    ） A．41 B．61 C．62 D．82 2．（2026·新疆·模拟预测）从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（   ） A．210 B．195 C．194 D．184 3．（2026·安徽六安·模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（   ） A．72 B．88 C．100 D．144 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 5．（2026·重庆九龙坡·三模）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 6．（2026·四川·三模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 7．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 9．（2026·湖南永州·模拟预测）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为____________． 10．（2026·四川成都·模拟预测）甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有____________种. 11．（2026·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 12．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为__________.（用数字作答） 一、单选题 1．（2026·辽宁·模拟预测）从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 2．（2026·河南南阳·模拟预测）有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（    ） A．8 B．144 C．120 D．280 3．（2026·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·二模）现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有（ ） 种. A．54 B．55 C．56 D．58 二、填空题 5．（2026·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为_____________．（用数字作答） 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．已知该市，四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为_____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 三、解答题 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有___________种选法. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为___________． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有___________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $