专题5 微专题16 圆锥曲线热点问题(二)——推理证明类（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

解答题 1．(2024·北京海淀区二模)抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线E交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|＝4. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点C(2,0)，直线AC，BC与抛物线E除A，B外的交点分别为M，N，直线MN是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由． 解析　(1)由题可知F，∴当l⊥x轴时，xA＝xB＝，根据抛物线的定义可得|AB|＝xA＋＋xB＋＝2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)直线MN过定点，理由如下：设A(t，2t1)，B(t，2t2)，M(t，2t3)，N(t，2t4)，∴直线AB的方程为x－t＝(y－2t1)，即2x－(t1＋t2)y＋2t1t2＝0，∵直线AB过点F(1,0)，∴t1t2＝－1.直线AM的方程为x－t＝(y－2t1)，即2x－(t1＋t3)y＋2t1t3＝0， ∵直线AM过点C(2,0)，∴t1t3＝－2.同理可得t2t4＝－2，∴t1t2t3t4＝4，∴t3t4＝－4.∵直线MN的方程为2x－(t3＋t4)y＋2t3t4＝0，即2x－(t3＋t4)y－8＝0，∴当y＝0时，x＝4，∴直线MN恒过定点(4,0)． 2．(2024·湖北省部分重点中学摸底联考)已知点A在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率之积为－. (1)求椭圆C的方程； (2)不经过点A的直线m：y＝x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于点M，N，求证：|AM|＝|AN|. 解析　(1)设直线OA的斜率为kOA，直线l的斜率为kl. 由题意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，即a2＝4b2. 又点A在椭圆上，则＋＝1，可得a＝2，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(－x1，－y1)，由消去y并整理，得x2＋tx＋t2－1＝0，Δ＝3t2－4(t2－1)＝－t2＋4>0，即－2<t<2. x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1. 证法一　要证|AM|＝|AN|，只需证直线AQ的斜率kAQ与直线AR的斜率kAR互为相反数，即证kAQ＋kAR＝0. 而kAR＋kAQ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0， 所以|AM|＝|AN|. 证法二　设M(0，yM)，N(0，yN)，要证|AM|＝|AN|，即证＝－. 直线AQ的方程为y＋＝(x－1)，令x＝0，得yM＝－，直线AR的方程为y＋＝(x－1)，令x＝0，得yN＝－. 则yM＋yN＝＋－＝0－＝－，即＝－， 所以|AM|＝|AN|. 3．(2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. 解析　(1)由题设，得 解得a＝3，b＝2. 所以E的方程为＋＝1. (2)证明　设直线PD的方程为y＝k(x－3)，其中k<－. 由得P. 直线BC的方程为y＝－x－2. 由得M. 直线PA的方程为y＝－x＋2. 令y＝－2，得N. 设直线MN的斜率为k1，则k1＝＝＝＝. 又直线CD的斜率为，且直线MN与直线CD不重合，所以MN∥CD. 4．(2024·江苏七市三调)已知双曲线－＝1的左、右顶点分别为A，B，M(x1，y1)和N(x1，－y1)是双曲线上两个不同的动点． (1)求直线AM与BN交点的轨迹C的方程； (2)已知点F(1,0)，过点A且斜率为k(k>0)的直线交曲线C于另一点P，直线l：x＝2，延长AP交直线l于点Q，线段BQ的中点为E，求证：点B关于直线EF的对称点在直线PF上． 解析　(1)设直线AM与BN的交点为G(xG，yG)， ∵A，B分别是双曲线－＝1的左、右顶点， ∴A(－2,0)，B(2,0)， ∴直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，则y＝(x－4)． 又点M(x1，y1)在双曲线－＝1上，∴－＝1(x1≠±2)，即＝－， ∴y＝－(x－4)， 化简得4y＋3x＝12，即＋＝1. 又当yG＝0时，不合题意，故yG≠0. ∴直线AM与BN的交点的轨迹C的方程是＋＝1(y≠0)． (2)证明　根据题意作出示意图如图所示，由题意知直线AP的方程为y＝k(x＋2)，将x＝2代入上式得y＝4k，∴Q(2,4k)． ∵E为线段BQ的中点，∴E(2,2k)， ∵点F的坐标为(1,0)， ∴直线EF的斜率kEF＝2k. 由 消去y得关于x的一元二次方程(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，Δ>0， ∴由根与系数的关系得－2xP＝， ∴xp＝，∴P， ∴直线PF的斜率kPF＝＝＝. 直线EF的斜率为2k，设∠EFB＝θ，则tan θ＝2k，又tan∠PFB＝＝＝tan 2θ， ∴∠PFB＝2∠EFB，故点B关于直线EF的对称点在直线PF上，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$