专题4 微专题11 随机变量及其分布列（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

解答题 1．(2024·江苏连云港阶段性调研)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； (2)用X表示取出的2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望． 解析　(1)设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为A， 则为一次取出的2个小球数字相同， 所以P＝＝，所以P(A)＝1－＝. (2)由题意X所有可能的取值为1,2,3,4,5. P＝＝； P＝＝； P＝＝＝； P＝＝； P＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 2．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭． (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率． 解析　(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3， P＝3＝， P＝C××2＝， P＝C×2×＝， P＝3＝. ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ∵X～B，∴E(X)＝3×＝. (2)击中一次被扑灭的概率为P1＝C×1×2×＝； 击中两次被扑灭的概率为P2＝C×2××＝； 击中三次被扑灭的概率为P3＝3＝， ∴所求概率P＝＋＋＝. 3．“五一”期间，某商场为吸引顾客，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种．方案一，消费金额不满300元，不予优惠，消费金额满300元减60元．方案二，消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球(这些小球除颜色不同外其余均相同)，抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下： 抽到的红球个数 0 1 2 3 优惠折扣 无折扣 九折 八折 七折 (1)现有甲、乙两位顾客各获得一次抽奖机会，求这两位顾客中恰好有一人获得八折优惠的概率； (2)若李女士在该商场的消费金额为x(x>300)元，请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议． 解析　(1)设事件A＝“抽奖的顾客获得八折优惠”，则P(A)＝＝. 因为甲、乙两位顾客获得八折优惠的概率均为， 所以甲、乙两位顾客中恰好有一人获得八折优惠的概率P＝C××＝. (2)方案一：设实付金额为X1元，则X1＝x－60(x>300)． 方案二：设实付金额为X2元，则X2的可能取值为x,0.9x,0.8x,0.7x(x>300)． 所以P(X2＝x)＝＝，P(X2＝0.9x)＝＝，P(X2＝0.8x)＝，P(X2＝0.7x)＝＝， 所以E(X2)＝x＋×x＋×x＋×x＝x. ①若x－60<x，即300<x<400，则选择方案一； ②若x－60＝x，即x＝400，则选择方案一、方案二均可； ③若x－60>x，即x>400，则选择方案二． 所以当消费金额大于300元且小于400元时，选择方案一； 当消费金额等于400元时，选择方案一、方案二均可； 当消费金额大于400元时，选择方案二． 4．(2024·广东梅州一模)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“P20(k)”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中k＝0,1，2，…，20.当P20(k)最大时，写出k的值． 解析　(1)由频率分布直方图得： 2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01)＝1，解得a＝0.10； 这500名学生中参加公益劳动时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的分别为500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人，若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在(14,16]内的学生中抽取×10＝4人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3， P＝＝＝， P＝＝＝， P＝＝＝， P＝＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则其期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)由(1)可知参加公益劳动时间在(10,12]的概率P＝0.1×2＝0.2， 所以P20(k)＝C0.2k20－k＝C0.2k·0.820－k，依题意 即 即 解得≤k≤， 因为k为非负整数，所以k＝4， 即当P20(k)最大时，k＝4. 5．(2024·湘豫名校联考)象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏．某地举办象棋比赛．规定：每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局． (1)若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，先得3分者夺冠，比赛结束． ①求比赛结束时，恰好进行了3局的概率； ②若前两局甲、乙各胜一局，记X表示到比赛结束还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望； (2)统计发现，本赛季参赛选手总得分Y近似地服从正态分布N(12.16，9)．若μ－σ≤Y≤μ＋2σ，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”；若Y>μ＋2σ，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”．若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数．(结果保留整数) 附：若X～N，则P≈0.682 7，P≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解析　(1)①比赛结束时恰好进行了3局，甲夺冠的概率为P1＝3＝，乙夺冠的概率为P2＝3＝，所以比赛结束时恰好进行了3局的概率为P＝P1＋P2＝＋＝＝. ②X的可能取值为2,3， 因为P＝2＋2＝， P＝1－P＝， 所以X的分布列如下 X 2 3 P 故E(X)＝2×＋3×＝. (2)因为比赛成绩Y近似地服从正态分布N，所以比赛选手可获得“参赛纪念证书”的概率： P＝P＋P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6. 200×0.818 6＝163.72≈164， 所以估计获得“参赛纪念证书”的选手人数为164. 6．(2024·重庆三模)某大学图书馆对当地一中所有学生开放图书借阅．已知小张同学在该大学的图书馆借阅规律如下：他只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍．第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. (1)设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望； (2)若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由． 解析　(1)设Ai表示第i次借阅“期刊杂志”，则i表示第i次借阅“文献书籍”，i＝1,2. 则P(A1)＝P(1)＝；P(A2|A1)＝，P(A2|1)＝. 依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝P(1·2)＝P(1)P(2|1)＝×＝； P(X＝2)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下： 第一次借阅“期刊杂志”的条件概率P(A1|2)＝＝＝＝·； 第一次借阅“文献书籍”的条件概率P(1|2)＝＝＝＝·. 而·>·，所以在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下，他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大． 学科网（北京）股份有限公司 $$