专题4 微专题10 概率（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·山东日照一模)已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则P(A)＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D．1 解析　由题意，P(A)＝，P(B)＝，P＝，∴P＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立，则A与也相互独立，∴P＝P(A)P()＝P(A)＝×＝，故选A. 答案　A 2．(2024·湘豫名校联考)某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理．现有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为(　　) A.　　 B． C.　　 D．. 解析　将5名志愿者分配到4个场馆，共有CA种不同的方法，其中A，B两名志愿者在同一个场馆共有A种不同的方法，所以A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为P＝1－＝.故选D. 答案 D 3．(2024·山东济南三模)某市计划开展“争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名男性和5名女性，并从中随机选取4人组成代表队参赛，则在代表队中既有男性又有女性的条件下，男性甲被选中的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　记“随机选取4人”为事件Ω，“代表队中既有男性又有女性”为事件A，“男性甲被选中”为事件B，则n(A)＝C－C＝65，n(AB)＝C＝35，所以P(B|A)＝＝＝＝＝，故在代表队中既有男性又有女性的条件下，男性甲被选中的概率为.故选C. 答案　C 4．(2024·河南南阳三模)甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是(　　) A．事件A，B，C是两两互斥的事件 B．事件A与事件D为相互独立事件 C．P＝ D．P(D)＝ 解析　由题意可得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，显然事件A，B，C是两两互斥的事件，故A正确； P(D)＝P＋P＋P＝×＋×＋×＝，故D正确； P(AD)＝×＝＝，P(A)P(D)＝×＝，所以P(AD)≠P(A)P(D)，故事件A与事件D不是相互独立事件，故B错误； P(D|A)＝＝＝，故C正确；故选B. 答案　B 5．(2024·河南信阳二模)某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是(　　) A. B． C. D． 解析　设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，由题意可知：P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P＝，P＝，P＝，则P(D)＝P(A)P＋P(B)P＋P(C)P＝×＝，P＝P(A)P＝×＝，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P＝＝＝.故选B. 答案　B 6．(2024·江西重点中学协作体第一次联考)为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　三队中选一队与丙比赛，丙输的概率为C×，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意． 若丙全赢时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，(1)若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是C2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是， (2)若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意， (3)若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是2，乙丁这场比赛只能平，概率是. 综上，概率为C××2× ＝＝，D正确．故选D. 答案 D 二、多项选择题 7．(2024·山东烟台一模)先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，设事件A＝“log(x＋1)y为整数”，B＝“x＋y为偶数”，C＝“x＋2y为奇数”，则(　　) A．P(A)＝ B．P＝ C．事件B与事件C相互独立 D．P＝ 解析　先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，则基本事件总数为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，满足事件A的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(3,4)，(4,1)，(4,5)，(5,6)，(5,1)，(6,1)，共12种，其概率P(A)＝＝，故A错误； 满足事件B的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18种，故P(B)＝＝； 满足事件AB的有(1,1)，(3,1)，(5,1)，共3种，所以P＝＝，故B正确； 满足事件C的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，共18种， 故P(C)＝＝，满足事件BC的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9种，所以P(BC)＝＝＝P(B)P(C)，所以事件B与事件C相互独立，故C正确； 满足事件AC的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(3,1)，(3,4)，(5,6)，(5,1)，共7种，所以P＝，则P＝＝＝，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 8．(2024·广东佛山二模)某校组织学生征文比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干(三等奖作品数是二等奖作品数的2倍)，其中高一年级作品分别占，，.现从获奖作品中任取一件，记“取出i等奖作品”为事件Ai(i＝1,2,3)，“取出获奖作品为高一年级”为事件B，若P(A1B)＝，则(　　) A．一、二、三等奖的作品数之比为1∶1∶2 B．P(A3B)＝ C．P(B)＝ D．P(B|1)＝ 解析　依题意设一等奖x件，二等奖y件，则三等奖2y件，高一年级获一、二、三等奖作品数分别为x，y，y.非高一年级获一、二、三等奖作品数分别为x，y，y.因为P(A1B)＝＝，所以x＝y.则一、二、三等奖的作品数之比为x∶y∶2y＝1∶1∶2，故A正确；因为P(A3B)＝＝，故B正确；P(B)＝＝，故C错误；因为P(1B)＝＝，且P(1)＝＝，所以P(B|1)＝＝＝，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 9．(2024·浙江宁波二模)某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是________． 解析　设在200米比赛中站上领奖台为事件A，在100米比赛中站上领奖台为事件B，则P＝，P＝，P＝，P(B)＝1－P＝，则P＝P＋P－P＝＋－＝，则P＝1－P＝，故P＝＝＝. 答案　 10．(2024·河南周口模拟)某商家为举办抽奖活动，准备了n(n>2，n∈N*)个相同的盒子，里面均装有n张形状完全相同的卡片，一部分卡片为写有“谢谢惠顾”的无效卡，另一部分卡片为写有“100元”的代金券，第k个盒子中有k张代金券，n－k张无效卡．现将这些盒子混合，任选1个盒子，并且依次从中不放回地取出2张卡片，若第二次取出无效卡的概率不超过，则n的最大值为________． 解析　设Ak＝“取出盒中有k(k＝1,2,3，…，n)张代金券”，B＝“从盒中依次不放回地取出2张卡片，第二次取出无效卡”，则P(Ak)＝，P＝，由全概率公式可得P(B)＝(B|Ak)·P＝＝＝，由题意可得≤，解得n≤5，且n>2，n∈N*，所以n的最大值为5. 答案　5 四、解答题 11．某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，比赛采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响．经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.(注：比赛结果没有平局) (1)求甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场的概率； (2)已知甲队最终以2∶1获胜，求种子选手M上场的概率． 解析　(1)设事件Ai＝“种子选手M第i(i＝1,2,3)局上场”，事件B＝“甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场”，由全概率公式知，P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)．因为每名队员上场顺序随机，所以P(Ai)＝，P(B|A1)＝××＋××＝，P(B|A2)＝××＋××＝，P(B|A3)＝C×××＝，所以P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝×＋×＋×＝，所以甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场的概率为. (2)设事件A0＝“种子选手M未上场”，事件C＝“甲队最终以2∶1获胜”，P(A0)＝＝，则P(0)＝1－＝，P(C|A0)＝C×××＝，所以P(C)＝P(B)＋P(C|A0)·P(A0)＝＋×＝.因为P(0|C)＝，P(0C)＝P(B)＝，所以P(0|C)＝＝＝，所以已知甲队最终以2∶1获胜，则种子选手M上场的概率为. 12．(2024·安徽安庆二模)某高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3 000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动． 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值ξ≥12.2时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束． 经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布N(9,2.56)． 参考数值：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 3. (1)请估计该高中遴选学生符合身体体能指标的人数(结果取整数)； (2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立． ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率； ②若解答A，B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望． 解析　(1)P＝P＝＝0.022 75. 所以符合该项指标的学生人数为3 000×0.022 75＝68.25≈68. (2)①记A1表示解答A类试题第一次测试合格， B1，B2分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，则P＝，P＝P＋P＝××＋××＝，P＝＝＝＝. ②设X的取值为0,1,2，P＝×＝， P＝××＋×××＝， P＝1－P－P＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$